সিজি ব্যবহার করে

11

আমি কনজুগেট গ্রেডিয়েন্ট (সিজি) পদ্ধতিটি ব্যবহার করে একটি বিশাল স্পারস পজিটিভ সুনির্দিষ্ট ম্যাট্রিক্স জন্য সমাধান করছি solving এটা নির্ধারক গনা করা সম্ভব তথ্য সমাধান সময় উত্পাদিত ব্যবহার করছেন? $Ax=b$ $A$ $A$

— ম্যানুয়েল শ্মিড্ট
সূত্র

আপনি নির্ধারকটি গণনা করতে চান কেন? এই জাতীয় ফলাফল অবশ্যই কোনওভাবেই বিশাল ম্যাট্রিক্সের জন্য একটি আন্ডারফ্লো বা একটি ওভারফ্লো হবে। আপনি শর্ত নম্বর গণনা করতে বললে আমি আরও দাতব্য হয়ে উঠতাম তবে নির্ধারকটির উপর আপনার সময় অপচয় করবেন না!

আপনি সম্ভবত এটি ইতিমধ্যে জানেন, তবে কনজুগেট গ্রেডিয়েন্ট প্রক্রিয়া চলাকালীন রিটসের মানগুলি ম্যাট্রিক্সের ইগেনালুয়েসগুলিতে রূপান্তরিত করে এবং আপনি এ থেকে নির্ধারকটির পক্ষে সাধারণ অনুমান করতে পারেন।

— shuhalo

10

স্প্রেস ম্যাট্রিক্সের নির্ধারককে গণনা করা সাধারণত প্রত্যক্ষ সমাধানের মতোই ব্যয়বহুল এবং আমি সন্দেহ করি যে সিজি এটির গণনা করতে অনেক বেশি সহায়ক হবে। এটা তোলে জন্য তত্ত্বাবধায়ক চালানোর জন্য সম্ভব হবে পুনরাবৃত্তিও (যেখানে হয় আদেশের সমগ্র বর্ণালী জন্য তথ্য জেনারেট করতে ভাষায়) , এবং তারপর থেকে eigenvalues পণ্য হিসাবে নির্ধারক গনা, কিন্তু এই উভয় ধীর হতে হবে এবং সংখ্যাগতভাবে অস্থির $n$ $A$ $n \times n$ $A$

আপনার ম্যাট্রিক্সের স্পার-ডিরেক্ট কোলেস্কি ফ্যাক্টেরাইজেশন গণনা করা আরও ভাল ধারণা হবে, , যেখানে নিম্নতর ত্রিভুজাকার is তারপরে যেখানে কেবল ত্রিভুজাকৃতির ম্যাট্রিক্স ত্রিভুজাকৃতির ম্যাট্রিক্স এর তির্যক এন্ট্রিগুলির উত্পাদক হিসাবে এটি একটি ত্রিভুজাকৃতির ম্যাট্রিক্সের ইজেনভ্যালুগুলি তার তির্যক বরাবর থাকে। $A = L L^H$ $L$

det (A) = det (L) det (L^{H}) = | det (L) |^{2},

$\text{det}(A) = \text{det}(L) \text{det}(L^H) = |\text{det}(L)|^2,$

det (L)

$\text{det}(L)$

L

$L$

একটি সাধারণ অ-একবাক্য ম্যাট্রিক্সের ক্ষেত্রে, একটি পাইভেটেড এলইউ পচন ব্যবহার করা উচিত, , যেখানে একটি অনুমানের ম্যাট্রিক্স, তাই যেহেতু হ'ল মেট্রিক্স, এবং নির্মাণের দ্বারা, $PA=LU$ $P$

det (A) = det (P^{- 1}) \cdot det (L) \cdot det (U) .

$\text{det}(A) = \text{det}(P^{-1}) \cdot \text{det}(L) \cdot \text{det}(U).$

P

$P$

det (P) = \pm 1

$\text{det}(P)=\pm 1$

L

$L$ সাধারণত সকলের একটি তির্যক থাকে, যা বোঝায় যে

। আপনি এইভাবে কম্পিউট

যেমন

এবং আবার স্বীকার করি যে একটি ত্রিকোণ ম্যাট্রিক্স নির্ধারক কেবল তার তির্যক এন্ট্রির পণ্য। সুতরাং, নির্ধারকের গণনা ব্যয়টি মূলত কেবলমাত্র একটি ফ্যাক্টেরাইজেশনের জন্য।

det (L) = 1

$\text{det}(L)=1$

det (A)

$\text{det}(A)$

\pm det (U)

$\pm \text{det}(U)$

— জ্যাক পলসন
সূত্র

এটি সম্ভাবনার মধ্যে একটি হতে পারে (যদিও আমি কোলেস্কি ফ্যাক্টেরাইজেশন ব্যবহার করব) যদি ম্যাট্রিক্স ক্ষুদ্র হয় তবে

এর আকার ~

এবং তাই এটি পচা সম্ভব নয়

A

$A$

10^{6} x 10^{6}

$10^6 x 10^6$

— ম্যানুয়েল শ্মিড্ট

সীমাবদ্ধ-উপাদান ধরণের বিবেচনার ফলে @ ম্যানুয়েলস্কমিট স্পার্স ম্যাট্রিকগুলি সাধারণত (উদাহরণস্বরূপ) মাল্টিফ্রন্টাল পদ্ধতিতে সহজেই ফ্যাক্টর করা যায়। আমি সম্মত হই যে আপনার ম্যাট্রিক্সটি এইচপিডি হলে (এবং আমার উপরের যুক্তির জেনারালাইজেশন সুস্পষ্ট) হলে কোলেস্কি ফ্যাক্টরীকরণ ব্যবহার করা উচিত।

— জ্যাক পলসন

আপনার দ্রুত উত্তর এবং উত্তর দেওয়ার জন্য ধন্যবাদ। দুর্ভাগ্যক্রমে ম্যাট্রিক্সের কোনও স্পিজিয়াল কাঠামো নেই (যা একটি সহজ ফ্যাক্টরাইজেশনকে অনুমতি দেয়)।

— ম্যানুয়েল শ্মিট

2

আপনার কেন ম্যাট্রিক্সের নির্ধারক গণনা করা দরকার তা সম্পর্কে আমি আগ্রহী। সর্বাধিক এবং সর্বনিম্ন এগারুগ্যালগুলি কি পর্যাপ্ত নয়?

— জ্যাক পলসন

এটি একটি জটিল সম্ভাবনা বিতরণ ফাংশনের একটি অংশ এবং কেবলমাত্র একটি সাধারণীকরণের ধ্রুবক নয়। আমি জানি ডিস্ট্রিবিউশনগুলি ফ্যাক্টর করা যেতে পারে (এবং আমরা এই মুহুর্তে কী করছি তা নির্ধারণ করা যায়) তবে আমাদের কাছে মডেল করার জন্য প্রচুর পরিমাণে ডেটা রয়েছে এবং প্রতিটি কারণই বিশাল আকার ধারণ করে।

— ম্যানুয়েল শ্মিট

6

$A$ $B$ $\textrm{dim}A \ll \textrm{dim} B$ $\textrm{dim}B=\infty$

$B$ $A$ $B$ $A$ $B$ $\textrm{det}A$ $\textrm{det}B$ $A$ $B$

det A = \prod_{j = 1 \dots dim A} λ_{i} (A) \approx \prod_{j = 1 \dots dim A} λ_{i} (B) \prod_{j = dim A + 1 \dots dim B} λ_{i} (B)

$\textrm{det}A = \prod_{j=1\ldots \textrm{dim}A} \lambda_i(A) \approx \prod_{j=1\ldots \textrm{dim}A} \lambda_i(B) \prod_{j=\textrm{dim}A+1\ldots \textrm{dim}B} \lambda_i(B)$

B

$B$

A

$A$

dim B = \infty

$\textrm{dim}B=\infty$

det A

$\textrm{det}A$

det B

$\textrm{det}B$

— ওল্ফগ্যাং ব্যাঙ্গারথ
সূত্র

দেখা যাচ্ছে যে সেখানে আমাদের কিছু সত্যই সুন্দর এবং ব্যবহারিক অ্যালগরিদম রয়েছে যা বড় আকারের নির্ধারকদের গণনা জড়িত। পরীক্ষা করে দেখুন www-m3.ma.tum.de/foswiki/pub/M3/Allgemeines/...

— ম্যাট Knepley

2

কেন এবং কীভাবে নির্ধারকরা মন্দ, তা (আবার) না পেয়ে, ধরে নেওয়া যাক আপনার অপারেটরটি সহজেই ফ্যাক্টরিজেবল নয় বা ম্যাট্রিক্স হিসাবে মোটেও সহজলভ্য নয় এবং আপনাকে অবশ্যই তার নির্ধারকটি অনুমান করতে হবে।

$A$ $A$

বইয়ের of. -.৩ অনুচ্ছেদটি অনুসরণ করে সিজি-র মানক বাস্তবায়নের ক্ষেত্রে নির্ধারকের এই অনুমানটি কীভাবে আসে তা আপনি সম্ভবত বিপরীত প্রকৌশলী করতে পারেন।

— ডমিনিক
সূত্র

2

d e t (A) = \prod_{i = 1}^{n} α_{k}^{- 1},

$det(A) = \prod_{i = 1}^n \alpha_k^{-1},$

α_{k} = \frac{r_{k}^{T} r_{k}}{p_{k}^{T} A p_{k}}

$\alpha_k = \cfrac{r_k^Tr_k}{p_k^TAp_k}$

r_{k} \neq 0 \forall k = 1, \dots, n

$r_k \ne 0 \;\,\forall k=1, \ldots, n$

R

$R$

r_{k}

$r_k$

P

$P$

p_{k}

$p_k$

p_{k} = - r_{k} + \sum_{i = 1}^{k - 1} γ_{i} r_{i} .

$p_k = -r_k + \sum_{i=1}^{k-1}\gamma_i r_i.$

d e t (P) = (- 1)^{n} d e t (R)

$det(P) = (-1)^n det(R)$

r_{k}

$r_k$

p_{k}

$p_k$

A

$A$

\prod_{k = 1}^{n} α_{k} = \prod_{k = 1}^{n} \frac{r_{k}^{T} r_{k}}{p_{k}^{T} A p_{k}} = \frac{d e t (R^{T} R)}{d e t (P^{T} A P)} = \frac{d e t (R^{T} R)}{d e t (A) d e t (P^{T} P)} = (d e t (A))^{- 1} .

$\prod_{k = 1}^n \alpha_k = \prod_{k = 1}^n \frac{r_k^T r_k}{p_k^TAp_k} = \frac{det(R^TR)}{det(P^TAP)} = \frac{det(R^TR)}{det(A)det(P^TP)}= (det(A))^{-1}.$

— Yermek
সূত্র