রৈখিক সীমাবদ্ধতার সাথে একটি উত্তল ফাংশন (একটি অবতল ফাংশন হ্রাস করা) সর্বাধিক করা

Question

সমস্যাটি

$$\max f(\mathbf{x}) \text{ subject to } \mathbf{Ax} = \mathbf{b}$$

যেখানে ,এক্স=[X1,x এর2,। । । ,xN]টি∈আরএন×1এবং এ∈আরএম×$f(\mathbf{x}) = \sum_{i=1}^N\sqrt{1+\frac{x_i^4}{(\sum_{i=1}^{N}x_i^2)^2}}$
$\mathbf{x} = [x_1,x_2,...,x_N]^T \in \mathbb{R}^{N\times 1}$
$\mathbf{A} \in \mathbb{R}^{M\times N}$

আমরা দেখতে পাচ্ছি যে √ আকারে রয়েছে $f(.)$ এবং এটি উত্তল ফাংশন। এটি এও দেখানো যেতে পারে যে চ (।) এর সাথে আবদ্ধ হয়[$\sqrt{1+y^2}$
।$[\sqrt{2}, 2]$

এটি একটি লিনিয়ার সীমাবদ্ধতার সাথে উত্তল কমানোর সমস্যা।

এই জাতীয় সমস্যা সমাধানের জন্য ব্যবহৃত স্ট্যান্ডার্ড অ্যালগরিদম কোনটি?

সমস্যার নির্দিষ্ট প্রকৃতি ব্যবহার করে কোনও মানক অপ্টিমাইজেশন সফ্টওয়্যার / প্যাকেজ ব্যবহার করে এটি সমাধান করা সম্ভব?

Comments

আপনি কি ল্যাঞ্জরেঞ্জের গুণকগুলি ব্যবহার করে দেখার চেষ্টা করেছেন যে এটি এটিকে আরও ট্র্যাকটেবল কিছুতে রূপান্তরিত করে?

— নাথানিয়েল

Answer 1

আপনি সমস্যার কাঠামোর সুবিধা নিতে পারেন, যদিও আমি জানি না এমন কোনও প্রিপেইকেজড সলভার যা আপনার পক্ষে এটি করবে।

মূলত, আপনি যা খুঁজছেন তা উত্তল পলিটোপ (বা উত্তল পলিহেড্রন) এর উপরের অবতল ফাংশনটি হ্রাস করা হচ্ছে। একটি দ্রুত অনুসন্ধান কয়েকটি প্রাসঙ্গিক উত্স টেনে নিয়েছে (চার বছর আগে আমি যখন ননলাইনার প্রোগ্রামিংয়ে ক্লাস নিয়েছিলাম তখন এগুলির একটির কথা আমি অস্পষ্টভাবে মনে করি):

ফালক, জেই এবং হফম্যান, কেএল কনক্যাভ মিনিমাইজেশন পলিটোপেসের মাধ্যমে , অপারেশনস গবেষণা, ১৯৮6, খণ্ড। 34, নং 6, পি। 919-929।

হফম্যান, কেএল বিশ্বব্যাপী উত্তল সেটগুলির উপর উত্তল ক্রিয়াকে হ্রাস করার একটি পদ্ধতি , গাণিতিক প্রোগ্রামিং, 1981, খণ্ড। 20, পি। 22-31।

বেনসন, এইচপি একটি পলিহেড্রন উপর অবতল মিনিমাইজেশন জন্য একটি সসীম অ্যালগরিদম , নেভাল রিসার্চ লজিস্টিকস, 1985, খণ্ড। 32, নং 1, পি। 165-177।

ক্রিস্টোফ মেয়ারের ওয়েবসাইটে রেফারেন্সের একগুচ্ছ ।

আরও বেশি উত্স রয়েছে যদি আপনি গুগল "পলিটোপের ওপরে অবতল ফাংশনটি ন্যূনতম করুন" (বা "পলিডোটন" "পলিহেড্রন" দিয়ে প্রতিস্থাপন করেন)।

Answer 2

আমি কয়েক বছর আগে অপ্টিমাইজেশন উপর একটি বক্তৃতা উপস্থিত ছিল। এরপরে আমরা YALMIP এর সাথে একত্রে মতলব ব্যবহার করি।

YALMIP উইকি

Answer 3

এই সমস্যাটি উত্তল কার্যকারিতা (ডিসি) প্রোগ্রামিং সমস্যার একটি পার্থক্য হিসাবে দেখা যায়। ডিসি প্রোগ্রামিংয়ে একটি বিস্তৃত সাহিত্য রয়েছে, আপনি সেখানে সম্পর্কিত গবেষণা সন্ধান করতে পারেন। সর্বাধিক পরিচিত পদ্ধতিগুলির মধ্যে একটি হ'ল ডিসিএ পদ্ধতি, উদাহরণস্বরূপ দেখুন: http://lma.univ-pau.fr/meet/mamern09/en/Lethi-MAMERN09.pdf

আর একটি সাম্প্রতিক কাগজ যা ডিসি সাহিত্যের কিছুটা সমীক্ষা করে এবং এটি কার্যকর হতে পারে তা হ'ল: https://arxiv.org/pdf/1511.01796.pdf

আপনি ননমসুথ সমস্যার জন্য আরও কিছু সাধারণ পদ্ধতি ব্যবহার করতে পারেন, উদাহরণস্বরূপ: এখানে দেওয়া প্রক্সি ভিত্তিক পদ্ধতি: http://num.math.uni-goettingen.de/~ssabach/BST2013.pdf

Answer 4

আমি আপনার বিবেচনার জন্য ফ্র্যাঙ্ক ওল্ফ অ্যালগরিদম এবং সম্পর্কিত পদ্ধতি অফার করব । মূলত, আপনি উদ্দেশ্য ফাংশনকে লিনিয়ারাইজ করে এবং প্রতিটি পুনরাবৃত্তিতে ফলাফলের এলপি সমাধান করেন। আমার মনে হয়, তবে আপনার সীমাবদ্ধতা যুক্ত করা দরকার$x$ এই পদ্ধতির কার্যকর করতে।