একটি প্রতিসম ধনাত্মক সুনির্দিষ্ট ম্যাট্রিক্সের তির্যক আপডেট

Question

$A$ হ'ল একটি প্রতিসম ধনাত্মক সুনির্দিষ্ট (এসপিডি) স্পার্স ম্যাট্রিক্স। একটি বিচ্ছিন্ন তির্যক ম্যাট্রিক্স। বড় ( > 10000) এবং ননজারের সংখ্যা সাধারণত 100 ~ 1000 হয়।জি এন এন $n \times n$$G$$n$$n$$G$

$A$ হিসাবে cholesky আকারে factorized হয়েছে ।$LDL^T$

কিভাবে আপডেট করতে এবং ডি দক্ষতার যখন একজন হয়ে প্রথম সারির জি ?ডি এ এ + $L$$D$$A$$A+G$

Comments

জি এর কি কেবল ইতিবাচক উপাদান রয়েছে? যদি তা হয় তবে এখানে একটি তুচ্ছ ওপরের সীমানা: তির্যক আপডেটটি এক র‌্যাঙ্কের আপডেটের সমষ্টি হিসাবে দেখুন। র‌্যান্ড-ওয়ান আপডেটের এলডিএল factor টি ফ্যাক্টেরাইজেশন গণনা করার জন্য ও (এন ^ 2) পদ্ধতি রয়েছে (গুগল অনুসন্ধান উদাহরণ সরবরাহ করে)। তারপরে আপনার তির্যক আপডেটটি ও (rn ^ 2) এ চলবে যেখানে জি-এর শূন্য-বিহীন তির্যক সংখ্যার সংখ্যা। O (rn ^ 2) এর নীচে ক্রম হ্রাস করুন।

আমি সম্মত- আমি বিশ্বাস করি না যে কোলেস্কি ফ্যাক্টরীকরণের জন্য তির্যক আপডেটগুলি দ্রুত করার জন্য দ্রুততর কোনও উপায় আছে, তবে কেবলমাত্র $O(m^2)$ সময়ে আপডেট করা যেতে পারে এবং আপনাকে কেবল একটি কাজ করতে হবে জি এর তির্যক প্রতিটি ননজারো $G$।

— ব্রায়ান বোর্চারস

জন্য $n \sim 10^4$ এবং $\mathrm{nnz}(G)$ শত শত, এটা refactoring বীট হার্ড থাকব $A$ । আকার যদি $A$ অনেক বড় হয়ে যায় এবং $G$ খুব বিক্ষিপ্ত, এটা মিটান পারে। যে কোনও ক্ষেত্রে, সম্ভাব্য আপডেটগুলি এবং আনুমানিকতাগুলি গভীরতার সাথে আচ্ছাদিত হয় তির্যক প্লাস স্থিরীকৃত প্রতিসাম্য রৈখিক সিস্টেমগুলি পূর্বগঠনের পরে চতুর্ভুজ সময়ে সমাধান করা যেতে পারে? ।

— জেদ ব্রাউন

জেড, আমি মনে করি আপনার এখানে একটি উত্তরের জন্য আপনার মন্তব্য প্রচার করা উচিত।

— মাইকেল গ্রান্ট

Answer 1

CHOLMOD স্যুটস্পার্স প্যাকেজের সর্বশেষ সংস্করণ (বিটা ৪.৪.৫) একটি ম্যাটল্যাব (এবং সি) এপিআই ব্যবহার করে $LDL^T$ dec টি পচন জন্য একটি প্রতিসম সারি / কলাম (র‌্যাঙ্ক 2 আপডেট) সংশোধন করে। আমি আমার প্রকল্পের একটিতে এটি সফলভাবে ব্যবহার করেছি।

আপনি এটিকে ফ্যাক্টরীকরণের জন্য $nnz(G)$ আপডেট করতে ব্যবহার করতে পারেন । এটি এই কাগজের উপর ভিত্তি করে ।

সুতরাং জটিলতাটি $O(nnz(G)*nnz(L))$ । কোথায় $nnz(L)$ যখন একটি ব্যবহার উল্লেখযোগ্যভাবে কমে যাবে ভরাট বিন্যাস হ্রাস একটি বিক্ষিপ্ত জন্য $A$

প্যাকেজটি এখান থেকে ডাউনলোড করা যায়

নীচে প্যাকেজ মালিকের দেওয়া কয়েকটি নোট রয়েছে (অধ্যাপক টিম ডেভিস):

এপিআই:

LD = ldlrowmod (LD, k) সারি / কলাম কে মুছে ফেলবে, A (:, k) এবং A (k, :) কে পরিচয়ের কলথ সারি / কুল স্থাপন করে।

এলডি = এলডি্ল্রোমোড (এলডি, কে, সি) এর কাঠের সারি / কর্নের পরিবর্তে (যা অবশ্যই কাঠের সারি / পরিচয়ের কোল হতে হবে) বিচ্ছিন্ন কলাম সি দিয়ে প্রতিস্থাপন করে

জটিলতা:

সারি যোগ করুন / মুছুন লাগে সর্বাধিক সময়, তাই যদি হল , তারপর সময় সবচেয়ে হয় ।$O(nnz(L))$$nnz(L)$$O(n)$$O(n)$

ক্রম হ্রাস পূরণ করুন:

কদাচ এটি একটি ভাল ধারণা, একটি ব্যবহারকারীর ম্যাট্রিক্স উত্পাদক করার জন্য হিসাবে = উ পরিবর্তে, আমরা পরস্পর বিনিময় করা = যাতে অতি কম nonzeros হয়েছে।$LDL^T$$LDL^T$$PAP^T$$L$