অনেকগুলি ডান হাতের জন্য বিচ্ছিন্ন রৈখিক দ্রাবক

Question

আমার অনেকগুলি ডান হাতের (300 থেকে 1000) সমান বিচ্ছিন্ন রৈখিক সিস্টেম (300x300 থেকে 1000x1000) সমাধান করতে হবে। এই প্রথম সমস্যাটি ছাড়াও, আমি বিভিন্ন সিস্টেমগুলি সমাধান করতে চাই, তবে একই অ-শূন্য উপাদানগুলির সাথে (কেবলমাত্র বিভিন্ন মান), এটি ধ্রুবক স্পারসিটি প্যাটার্ন সহ অনেকগুলি স্পার সিস্টেম। আমার ম্যাট্রিকগুলি অনির্দিষ্ট।

ফ্যাক্টরাইজেশন এবং ইনিশিয়ালাইজেশনের পারফরম্যান্স গুরুত্বপূর্ণ নয়, তবে সমাধানের পর্যায়ে পারফরম্যান্স। বর্তমানে আমি প্যাসটিএক্স বা উমফপ্যাক বিবেচনা করছি এবং আমি সম্ভবত পেটস্কের সাথে ঘুরে দেখব (যা উভয়ই সমাধানকারীকে সমর্থন করে) এমন কোনও গ্রন্থাগার রয়েছে যা আমার নির্দিষ্ট প্রয়োজনের (ভেক্টরাইজেশন, মাল্টি-থ্রেডিং) সুবিধা নিতে সক্ষম বা আমার সাধারণ সমাধানকারীদের উপর নির্ভর করা উচিত, এবং আমার প্রয়োজনের জন্য সেগুলি কি সামান্য পরিবর্তন করতে পারেন?

স্পার্স ম্যাট্রিক্স যদি পর্যন্ত বড় হয় তবে কী হবে ?$10^6 \times 10^6$

Answer 1

প্রত্যক্ষ বা পুনরাবৃত্ত সমাধানকারী ব্যবহার করতে হবে কিনা তা নিয়ে আলোচনা না করেই আমি কেবল দুটি পয়েন্ট যুক্ত করতে চাই:

1. একাধিক ডান হাতের সিস্টেমগুলির জন্য ক্রিলোভ পদ্ধতি রয়েছে (যা ব্লক ক্রিলোভ পদ্ধতি বলে )। একটি অতিরিক্ত বোনাস হিসাবে, ক্রেলভ স্থানটি ভেক্টরগুলির বৃহত্তর সংগ্রহ থেকে তৈরি হওয়ায় এগুলি প্রায়শই স্ট্যান্ডার্ড ক্রিলোভ পদ্ধতির তুলনায় দ্রুত অভিযোজন করে। দেখুন দায়ানি পি O'Leary, ব্লক অনুবন্ধী গ্রেডিয়েন্ট অ্যালগরিদম ও সংশ্লিষ্ট পদ্ধতি । লিনিয়ার বীজগণিত এবং এর অ্যাপ্লিকেশনগুলি 29 (1980), পৃষ্ঠা 239-322 -3 এবং মার্টিন এইচ। গুটকেচেট, একাধিক ডান হাতের লিনিয়ার সিস্টেমগুলির জন্য ব্লক ক্রিলোভ স্থান পদ্ধতি: একটি ভূমিকা (2007)।

2. যদি আপনার একই স্পারসিটি প্যাটার্নের সাথে আলাদা আলাদা ম্যাট্রিক থাকে তবে আপনি প্রথম ম্যাট্রিক্সের জন্য একটি প্রতীকী ফ্যাক্টেরাইজেশনকে বাধা দিতে পারেন, যা এটি এবং পরবর্তী ম্যাট্রিকগুলির জন্য সংখ্যাসূচক গুণনীয়করণের পুনরায় ব্যবহার করা যেতে পারে। (ইউএমএফপ্যাক এ, আপনি ফলাফলটি ব্যবহার করে umfpack di symbolicএবং পাস করে এটি করতে পারেন umfpack_di_numeric))

Answer 2

$O(N)$

Comments

$O(N^2)$$O(N^{4/3})$$O(N^{4/3})$$N$

$O(N)$$O(N^{4/3})$

$10^5$$n<300k$

Answer 3

আপনি যখন "একই অ-শূন্য উপাদান (কেবল ভিন্ন ভিন্ন মান)" সম্পর্কে কথা বলছেন তখন আপনি সমস্যার বিবৃতিতে একেবারেই পরিষ্কার নন আপনি কি বলছেন যে ম্যাট্রিক্সের একটি ধ্রুবক স্পারসিটি প্যাটার্ন রয়েছে তবে প্রকৃত মান পরিবর্তন হয়? বা, আপনি কি বলছেন যে ম্যাট্রিক্স আসলে ধ্রুবক?

$PA=LU$$O(n^2)$

একাধিক ডানদিকে এবং এই আকারের সমীকরণের সিস্টেমগুলির জন্য, পুনরাবৃত্তি পদ্ধতিগুলি সাধারণত উপযুক্ত নয়।

আপনি উল্লিখিত সমস্ত প্যাকেজগুলি প্রত্যক্ষ ফ্যাক্টেরাইজেশন পদ্ধতিগুলি সরবরাহ করে (যদিও পেটএসসি বেশিরভাগ ক্ষেত্রে পুনরাবৃত্তকারী সমাধানকারীদের জন্য পরিচিত)) তবে আপনার সিস্টেমগুলি এতটাই ছোট যে আপনি যথেষ্ট পরিমাণে সমান্তরাল গতিপথ অর্জন করতে পারবেন না, বিশেষত বিতরণযোগ্য মেমরির পরিবেশে।

আমি এই কাজের জন্য উমফপ্যাকটি ব্যবহার করার পরামর্শ দেব - প্যাসটিক্স এবং পেটএসসি ওভারকিল ill

Comments

আপনার উত্তরের জন্য ধন্যবাদ. স্পষ্ট করার জন্য: আমি প্রথমে অনেকগুলি ডান হাতের সাথে একটি একক ম্যাট্রিক্সের জন্য জিজ্ঞাসা করেছি এবং তারপরে, অন্য সমস্যাটি একই স্পারসিটি প্যাটার্ন সহ ম্যাট্রিকগুলির সংগ্রহ যা মান পরিবর্তিত হয়, তাদের প্রত্যেককে অবশ্যই অনেকগুলি আরএইচএসের জন্য সমাধান করতে হবে। সহায়ক সহায়ক: স্পার্স ম্যাট্রিক্স এখন 10 ^ 5x10 ^ 5 থেকে 10 ^ 6x10 ^ 6 হলে কী হবে?

— নাট চৌফ

$10^5$

কেবলমাত্র একক ডান হাত দিয়ে আপনার বৃহত সিস্টেমে পুনরাবৃত্তি পদ্ধতিটি ব্যবহার করা বোধগম্য হতে পারে, বিশেষত যদি আপনার খুব সঠিক সমাধানের প্রয়োজন না হয় এবং বিশেষত যদি আপনি কোনও কার্যকর পূর্বশর্ত খুঁজে পেতে পারেন বা আপনার সিস্টেমগুলি ইতিমধ্যে কন্ডিশনড রয়েছে। তবে, যদি আপনার সিস্টেমগুলি খারাপভাবে কন্ডিশনার হয় তবে আপনার সঠিক সমাধানের দরকার হয় এবং আপনি কোনও ভাল পূর্বশর্ত খুঁজে পেতে পারেন না, তবে সম্ভবত আপনি সরাসরি ফ্যাক্টরাইজেশন দিয়ে আরও ভাল থাকবেন।

— ব্রায়ান বোর্চারস

$N$$10^6$