আমি মাতলাব থেকে এই সংখ্যার ট্রিপল অবিচ্ছেদ্য বিশ্বাস করতে পারি?

গণনা বিজ্ঞানের লোকেরা:

আমি এই প্রশ্নটি মূলত ম্যাথ স্ট্যাক এক্সচেঞ্জে পোস্ট করেছি এবং কেউ মন্তব্য করেছেন যে আমি এখানে "আরও ভাল" উত্তর পেতে পারি:

আমি সংখ্যা পদ্ধতিতে মতলব এবং মতলব। আমি নিম্নলিখিত দুটি ট্রিপল ইন্টিগ্রালের সমষ্টি মূল্যায়নের চেষ্টা করছি (এটি সম্ভবত আরও সহজভাবে লেখা যেতে পারে, তবে আপনি এখনও এটি প্রতীকীভাবে (?)) মূল্যায়ন করতে পারবেন না। পেতে আমার সমস্যা হচ্ছে $\LaTeX$ এখানে কাজ করতে, তাই আমি অনিচ্ছায় এটিকে এখানে টুকরো টুকরো করে ফেললাম: আমি এর যোগফলটি খুঁজতে চাই

\frac{2}{((1 / 0.3) - 1)^{2}} (\int_{1}^{1 / 0.3} \int_{1}^{R_{1}} \int_{0}^{R_{1} - R_{0}} {এফ}_{1} (R_{0}, R_{1}, টি) মেপুঃ (- \frac{(0.3)^{2} {টি}^{2}}{4}) ঘ টি ঘ R_{0} ঘ R_{1}),

$\frac{2}{((1/0.3) - 1)^2}\left(\int_1^{1/0.3}\int_1^{r_1}\int_0^{r_1-r_0}F_1(r_0,r_1,t)\exp(-\frac{(0.3)^2 t^2}{4})\,dt\,dr_0\,dr_1 \right),$

এবং

\frac{2}{((1 / 0.3) - 1)^{2}} (\int_{1}^{1 / 0.3} \int_{1}^{r_{1}} \int_{r_{1} - r_{0}}^{r_{1} + r_{0}} F_{2} (r_{0}, r_{1}, t) \exp (- \frac{(0.3)^{2} t^{2}}{4}) d t d r_{0} d r_{1}),

$\frac{2}{((1/0.3) - 1)^2}\left(\int_1^{1/0.3}\int_1^{r_1}\int_{r_1-r_0}^{r_1+r_0} F_2(r_0,r_1,t)\exp(-\frac{(0.3)^2 t^2}{4})\,dt\,dr_0\,dr_1 \right),$

কোথায়

{এফ}_{1} (R_{0}, R_{1}, টি) = \frac{{টি}^{2} R_{0}^{3} * (0.3)^{3}}{2 R_{1}^{3} \sqrt{π}}

$F_1(r_0,r_1,t)=\frac{t^2 r_0^3*(0.3)^3}{2r_1^3\sqrt{\pi}}$

এবং

{এফ}_{2} (R_{0}, R_{1}, টি) = \frac{(0.3)^{3} π^{3 / 2} (R_{0} + + R_{1} - টি)^{4} ({টি}^{2} + + 2 টি (R_{0} + + R_{1}) - 3 (R_{1} - R_{0})^{2})^{2}}{288 (\frac{4}{3} π R_{0}^{3}) (\frac{4}{3} π R_{1}^{3})} ।

$F_2(r_0,r_1,t)=\frac{(0.3)^3\pi^{3/2}(r_0+r_1-t)^4 (t^2+2t(r_0+r_1)-3(r_1-r_0)^2)^2}{288(\frac{4}{3}\pi r_0^3)(\frac{4}{3}\pi r_1^3)}.$

সম্পাদনা (মার্চ 2 2013): কেউ প্রতিক্রিয়া জানিয়েছে যে তারা ম্যাথামেটিকাকে প্রতীকীভাবে ইন্টিগ্রালগুলি করার জন্য পেয়েছে। আমি কেবল এটি করার চেষ্টা করেছি (ইন্টিগ্রালগুলির সরল সংস্করণ সহ) এবং ম্যাথেমেটিকা কেবল প্রথমটির বাইরের দুটি করতে পেরেছিল এবং দ্বিতীয়টিতে থামিয়ে দিয়েছিল। আমি কিছু সাহায্য কৃতজ্ঞ হবে। এখানে আমি যা করেছি:

আমি মূল্যায়ন করার চেষ্টা করেছি

মাধ্যমে

\int_{1}^{2} \int_{1}^{r_{2}} \int_{0}^{r_{2} - r_{1}} \frac{r_{1}^{3} t^{2} \exp (- t^{2})}{r_{2}^{3}} d t d r_{1} d r_{2}

$\int_1^2 \int_1^{r_2} \int_0^{r_2-r_1} \frac{r_1^3 t^2 \exp(-t^2)}{r_2^3}\,dt\,dr_1\,dr_2$

একীভূত করুন [r1 ^ 3 / r2 ^ 3 * t ^ 2 * Exp (-t ^ 2), {t, 0, r2 - r1}, {r1, 1, r2}, {r2, 1, 2}]

এবং ম্যাথামেটিকা ফিরে আসে ( সাথে আমার সমস্যা হয়েছিল এখানে কারণ ফলাফল দীর্ঘ। আমি এটিকে দুটি সমীকরণে ভেঙেছি। যদি কেউ এটিকে প্রদর্শন করার ভাল উপায় জানেন তবে দয়া করে আমাকে বলুন): $\LaTeX$

\int_{1}^{2} \frac{1}{64 r 2^{2}} e^{- 1 - r 2^{2}} (2 e^{2 r 2} (25 + r 2 (19 + 2 r 2 (1 + r 2))) -

$\int_1^2 \frac{1}{64r2^2} e^{-1-r2^2}(2e^{2r2}(25+r2(19+2r2(1+r2)))-$

ই^{1 + + R 2^{2}} (32 R 2 (2 + + R 2^{2})) + + \sqrt{π} (11 + + 4 R 2^{2} (9 + + R 2^{2})) ERF [1 - R 2]) ঘ R 2।

$e^{1+r2^2}(32r2(2+r2^2)) +\sqrt{\pi}(11+4r2^2(9+r2^2))\operatorname{Erf}[1-r2])\,dr2.$

তারপরে আমি মূল্যায়নের চেষ্টা করেছি

\int_{1}^{2} \int_{1}^{R_{2}} \int_{R_{2} - R_{1}}^{R_{2} + + R_{1}} ...

$\int_1^2\int_1^{r_2}\int_{r_2-r_1}^{r_2+r_1} \ldots \qquad \qquad \qquad$

... \frac{মেপুঃ (- {টি}^{2}) (R_{1} + + R_{2} - টি)^{4} ({টি}^{2} + + 2 টি (R_{1} + + R_{2}) - 3 (R_{2} - R_{1})^{2})^{2}}{R_{1}^{3} R_{2}^{3}} ঘ টি ঘ R_{} ঘ R_{2}

$\ldots\frac{\exp(-t^2)(r_1+r_2-t)^4(t^2+2t(r_1+r_2)-3(r_2-r_1)^2)^2}{r_1^3 r_2^3}\,dt\,dr_\,dr_2$

ব্যবহার

একীভূত করুন [(আর 1 + আর 2 - টি) * 4 * (টি ^ 2 + 2 * টি * (আর 1 + আর 2) - 3 * (আর 2 - আর 1) ^ 2) ^ 2 * এক্সপ্রেস [-t ^ 2] / আর 1 ^ 3 / আর 2 ^ 3, {আর 2, 1, 2}, {আর 1, 1, আর 2}, {টি, আর 2-আর 1, আর 2 + আর 1}]

ঠিক এখনই, এবং ম্যাথামেটিকা প্রায় আধ ঘন্টা পরে কোনও উত্তর ফেরেনি (তবে আমি এই মুহূর্তে কম্পিউটার নেটওয়ার্কের সমস্যায় আছি, এবং তারা দায়ী হতে পারে)।

[মার্চ 2 সম্পাদনার সমাপ্তি]

আমি মাতলাবের "ট্রিপলকোয়াড" কমান্ডটি ব্যবহার করেছি, কোনও অতিরিক্ত বিকল্প ছাড়াই। হেভিসাইড ফাংশনগুলির মাধ্যমে আমি সংহতকরণের পরিবর্তনশীল সীমা পরিচালনা করেছি, কারণ আমি এটি করার অন্য কোনও উপায় জানতাম না। মতলব আমাকে দিয়েছে । $0.007164820144202$

আমি জানি মাতলাব একটি ভাল সফ্টওয়্যার, তবে আমি শুনেছি যে সংখ্যাসূচক ট্রিপল ইন্টিগ্রালগুলি সঠিকভাবে করা শক্ত, এবং গণিতবিদদের সন্দেহ আছে বলে মনে করা হচ্ছে, তাই আমি এই উত্তরের যথার্থতা যাচাই করার জন্য কিছু উপায় চাই। ইন্টিগ্রালগুলি একটি নির্দিষ্ট পরীক্ষার প্রত্যাশিত মান দেয় (যদি কেউ চায় তবে আমি পরীক্ষার বর্ণনা দেওয়ার জন্য এই প্রশ্নটি সম্পাদনা করতে পারি): আমি মতলবটিতে যথাযথভাবে এলোমেলোভাবে উত্পন্ন সংখ্যা, এক মিলিয়ন বার ব্যবহার করে পরীক্ষার প্রয়োগ করেছি এবং ফলাফলগুলি গড় করেছি। আমি এই প্রক্রিয়াটি চারবার পুনরাবৃত্তি করেছি। এখানে ফলাফলগুলি রয়েছে (আমি যদি "ট্রায়াল" শব্দটি ভুলভাবে ব্যবহার করি তবে আমি ক্ষমা চাইছি):

$0.007133292603256$

$0.007120455071989$

$0.007062595022049$

$0.007154940168452$

$0.007215000289130$

যদিও প্রতিটি পরীক্ষায় এক মিলিয়ন নমুনা ব্যবহৃত হয়েছিল, সিমুলেশন মানগুলি কেবল প্রথম উল্লেখযোগ্য অঙ্কে একমত হয়। সংখ্যাসূচক ট্রিপল অবিচ্ছেদ্য সঠিক কিনা তা নির্ধারণ করার জন্য তারা আমার জন্য একে অপরের নিকট পর্যাপ্ত নয়।

সুতরাং কেউ কি আমাকে বলতে পারবেন যে আমি এখানে "ট্রিপলকোয়াড" এর ফলাফলকে বিশ্বাস করতে পারি, এবং কোন পরিস্থিতিতে কেউ সাধারণভাবে এটি বিশ্বাস করতে পারে?

ম্যাথ স্ট্যাক এক্সচেঞ্জে আমার একটি পরামর্শ হ'ল ম্যাথমেটিকা, অক্টাভা, ম্যাপেল এবং সায়পাইয়ের মতো অন্যান্য সফ্টওয়্যার চেষ্টা করা। এই ভাল পরামর্শ? লোকেরা আসলে গাণিতিক এবং ম্যাপেলে সংখ্যার কাজ করে? অক্টাভা এক মতলব ক্লোন, তাই আমি কি ধরে নিতে পারি এটি একই সংহত অ্যালগরিদম ব্যবহার করে? আমি এর আগেও সায়পাইয়ের কথা শুনিনি এবং এ সম্পর্কে কোনও মতামতকে প্রশংসা করব।

$0.007163085468$

$\LaTeX$

matlab

— স্টিফান স্মিথ
সূত্র

0.00713726

$0.00713726$ শুধুমাত্র

- 1.11

$-1.11$ মতলব যে ফিরিয়েছিল তার চেয়ে কম স্ট্যান্ডার্ড ত্রুটিগুলি। এফডাব্লুআইডাব্লু, ম্যাথমেটিকা ফিরে এসেছে

0.00716308537 \dots

$0.00716308537\ldots$ । এটি বহুবিধ এবং ত্রুটির কার্যকারিতা হিসাবে এই সংহতগুলি প্রতীকীভাবে মূল্যায়ন করতে পারে।

— শুক্রবার

@ শুভ ধন্যবাদ আমি শপথ করতে পারি আমি এটি ম্যাপেলটিতে প্রতীকীভাবে চেষ্টা করেছি এবং ম্যাপেল এটি করতে পারে না। আমি ম্যাপেলে আবার চেষ্টা করব, এবং যদি এটি কাজ না করে, আমি ম্যাথামেটিকায় চেষ্টা করব। বিটিডাব্লু, আমি ম্যাপলে একইরকম অবিচ্ছেদ্য কাজ করেছি এবং আমি একটি বিশাল প্রতীকী উত্তর পেয়েছি। এটি খুব বড় সংখ্যার সমষ্টি এবং পার্থক্য বলে মনে হয়েছিল যার গ্র্যান্ড টোটালটি খুব কম ছিল। আমার সন্দেহ হয় রাউন্ডঅফ ত্রুটি সম্ভবত চূড়ান্ত উত্তরে ছিল। এই জাতীয় সমস্যায় আপনার কি প্রতীকী উত্তরটি ব্যবহার করা উচিত, বা কেবল সংখ্যাসূচকভাবে করা উচিত?

— স্টিফান স্মিথ

প্রতীকী উত্তরের ফাংশনগুলির সংমিশ্রণ হওয়ার সুবিধা রয়েছে যা (প্রায়শই) দক্ষতার সাথে নির্বিচারে নির্ভুলতার সাথে গণনা করা যায়। সাধারণত, পরামিতিগুলি পৃথক হলে প্রতীকী দ্রবণটি দ্রুত পুনঃবিয়োগের জন্য নিজেকে ধার দেয়। এই কারণে প্রায়শই একটি প্রতীকী সমাধান খোঁজা সার্থক।

— whuber

@ হুবার: আমি গাণিতিকায় কিছু মূলত সমতুল্য ইন্টিগ্রালগুলি (কিছু স্থির পরিবর্তন এবং কিছু গুণক ধ্রুবক অপসারণ) করার চেষ্টা করেছি, এবং ম্যাথামেটিকা কেবল প্রথম ইন্টিগ্রালের বাইরের দুটি সমন্বয় করতে পেরেছিল এবং মনে হয় দ্বিতীয়টিতে স্থির হয়েছে। আমি আমার কোড এবং ফলাফল উপরে পোস্ট করেছি।

— স্টিফান স্মিথ

2 শে মার্চ সম্পাদনা: ট্রিপল ইন্টিগ্রালকে প্রতীকীভাবে একটি একক অবিচ্ছেদে হ্রাস করে (আপনার ইন্টিগ্রালের প্রথমার্ধে) আপনি অনেক অর্জন করেছেন। ইন্টিগ্রান্ডটি খুব সুন্দরভাবে আচরণ করা হয় এবং এক সেকেন্ডের ভগ্নাংশের মধ্যে অত্যন্ত উচ্চ নির্ভুলতার সাথে সংখ্যায়িকভাবে সংহত করা যায়।

— whuber

প্রথমত, এটি কোনও সফটওয়্যার নয় (বা কমপক্ষে এটি হওয়া উচিত নয়) যা সমস্যার সমাধানের গুণমান নির্ধারণ করে, এটি প্রয়োগ করা অ্যালগরিদমের গুণমান এবং যথাযথতা। মতলবতে ট্রিপলকোয়াড দ্বারা কোন অ্যালগরিদম ব্যবহার করা হচ্ছে তা পরীক্ষা করা উচিত (আমি অনুমান করব যে এটি নেস্টেড অ্যাডাপটিভ গাউসিয়ান চতুর্ভুজ ব্যবহার করে)। এবং আপনার অনুরোধ করা সহনশীলতাগুলি কী তা পরীক্ষা করা উচিত (নিরঙ্কুশ এবং আপেক্ষিক সহনশীলতা প্রয়োজন)। সম্ভাবনাগুলি হ'ল, ডিফল্টরূপে, এটি কেবল তার জন্য বলে $10^{-8}$ আপেক্ষিক নির্ভুলতা।

ম্যাপেল থেকে আসা উত্তর সম্ভবত কম্পিউটার বীজগণিত দ্বারা সম্পন্ন হয়েছে এবং সম্ভবত এটি একটি বদ্ধ সমাধানের সন্ধান করতে পারে যা ডাবল নির্ভুলতা ভাসমান পয়েন্ট ব্যবহার করে মূল্যায়ন করা হয়েছিল। এটির সুবিধাটি রয়েছে যে আপনি একটি সীমাবদ্ধ সমষ্টি দ্বারা অবিচ্ছেদ্যটির সমীকরণ করছেন না (এবং ফলে আনুমানিক ত্রুটিগুলি প্রবর্তন করছেন) তবে কম্পিউটার বীজগণিত সিস্টেমটি ইন্টিগ্রালের জন্য একটি অভিব্যক্তি খুঁজে পাবে যা এর পরে মূল্যায়ন করা যেতে পারে। অবশ্যই, এই অভিব্যক্তিটি মূল্যায়ন করার সময় অবশ্যই যত্ন নেওয়া উচিত (রাউন্ড অফের জন্য)।

আপনি যদি সায়পাইয়ের সাহায্যে এটি করতে চান তবে আপনাকে অন্তর্নিহিত কোয়াডপ্যাক (পাইসসেন এট আল।) রুটিনগুলি ব্যবহার করে নেস্টেড অভিযোজিত গাউসিয়ান চতুর্ভুজটি অবলম্বন করতে হবে। অষ্টাভে, আপনার একই পন্থা থাকবে। আর আমি খুব যদি মতলব এছাড়াও সমচতুষ্কোণতা ইঞ্জিন হিসাবে Quadpack ব্যবহার (যেহেতু এটা বিস্মিত হবে না উল্লেখ)।

— GertVdE
সূত্র

@ গ্রেটভিডিই: তথ্যের জন্য ধন্যবাদ আমি প্রথমে প্রতীকীভাবে অবিচ্ছেদ্য মূল্যায়নের চেষ্টা করেছি এবং ম্যাপেল এটি করতে পারেনি (সুতরাং এটি সম্ভবত অসম্ভব, মানক ফাংশনগুলি ব্যবহার করে), তাই আমি ম্যাপেলকে এটি সংখ্যাসূচকভাবে করতে বলি। আমি জানি না এটি কী অ্যালগরিদম ব্যবহার করেছিল।

— স্টিফান স্মিথ

@StefanSmith: আপনি ম্যাপেল মধ্যে infolevel সেটিং দ্বারা খুঁজে বের করতে পারেন: infolevel[`evalf/int`] := 4। আপনি কি নিশ্চিত যে ম্যাপ কোনও বদ্ধ সমাধান খুঁজে পাচ্ছেন না? অবিচ্ছেদ্য খুব জটিল বলে মনে হচ্ছে না। আপনি কি নিজের ম্যাপল শীটটি কোথাও পাবলিক করতে পারবেন?

— GertVdE

@ স্টেফানস্মিথ: আমি উপরের প্রশ্নে ম্যাপেল কোডটি পোস্ট করব।

— GertVdE

আমি এখনই ম্যাপেলকে আমার সিস্টেমে কাজ করতে পারি না, তবে আমি ম্যাথমেটিকাতে সমতুল্য ইন্টিগ্রালগুলি চেষ্টা করেছি এবং ম্যাথমেটিকা প্রথম ট্রিপল ইন্টিগ্রালের কেবল অভ্যন্তরীণ দুটি করেছিলেন, এবং দ্বিতীয় ট্রিপল ইন্টিগ্রালের উপর স্থির হয়েছি। সম্পাদিত প্রশ্ন দেখুন।

— স্টেফান স্মিথ