বড় ঘন নিম্ন স্তরের কার্যভার সমস্যা problem

Question

বৃহত্তর, ঘন, নিম্ন স্তরের কার্যনির্বাহী সমস্যা সমাধানের জন্য কি যুক্তিসঙ্গত সস্তা পদ্ধতি আছে? $\max_\pi \sum_i A_{\pi i,i}$, যেখানে $\pi$ সমস্ত অনুক্রমের উপরে চলে যায় of $1:n$ ?

এখানে $A$ হ'ল একটি $n\times n$ ম্যাট্রিক্স নিম্ন র‌্যাঙ্কের $r$ । টিপিক্যাল মাপগুলি $n=10000~~$ (সম্ভবত আরও বড়), $r=15$ ।

Comments

দ্বারা আপনি পণ্য বোঝাতে চেয়েছেন, যাতে আপনি ভিন্ন ম্যাট্রিক্স পার হবে striding ? $\pi i$$\pi$

— বিল বার্থ

$\pi$ সমস্ত অনুমতি ছাড়াই চলে।

— আর্নল্ড নিউমায়ার

না এটি হওয়া উচিত তারপর? $A_{\pi(i),i}$

— জ্যাক পলসন

@ জ্যাকপলসন: perm এবং অনুমানের অধীনে চিত্রটির জন্য দুটি আলাদা স্বরলিপি । $\i(i)$$\pi i$$i$$\pi$

— আর্নল্ড নিউমায়ার

মজার প্রশ্ন! আপনি কি কেবল স্টোরেজ কারণে কম র‌্যাঙ্কের কাঠামোটি কাজে লাগিয়ে দেখছেন --- অর্থাৎ, aতিহ্যবাহী অ্যাসাইনমেন্ট অ্যালগরিদম প্রয়োগ করার সময় পুরো ম্যাট্রিক্সটি তৈরি করা থেকে বাঁচানো? অথবা আপনি অনুসন্ধানকে ত্বরান্বিত করার জন্য নিম্ন স্তরের শোষণের কোনও উপায় খুঁজছেন?

— মাইকেল গ্রান্ট

Answer 1

যেহেতু সাথে , তাই আমাদের যেখানে সংশ্লিষ্ট বিন্যাস ম্যাট্রিক্স হয় ।$A=R_1R_2^T$$R_1, R_2\in \mathbb{R}^{n \times r}$

$$\sum_i A_{\pi i, i} = \sum_i (P_{\pi} A)_{i, i} = \text{trace}(P_{\pi}R_1R_2^T)$$ $P_{\pi}$$\pi$

কোন , ট্রেস হিসেবে নির্ণিত করা যেতে পারে (এই পরিমাণটি ফ্রোবেনিয়াস পণ্য হিসাবে পরিচিত , )।$\pi$

$$\text{trace}(P_{\pi}R_1R_2^T) = \sum_{i} \sum_{k} (P_{\pi}R_1)_{i,k} (R_2^T)_{k,i} = \sum_{i,k} ((P_{\pi}R_1)\circ R_2)_{i,k}.$$ $P_{\pi}R_1:R_2$

এই ধারণাটি সর্বাধিক সমস্ত ফ্রোবিনিয়াস পণ্যের সর্বাধিক সন্ধানের এবং ব্রুট-ফোর্স অনুসন্ধানের মধ্য দিয়ে যাওয়ার না এবং প্রকৃতপক্ষে গণনা করার মতোই গাণিতিক জটিলতা রয়েছে । যাইহোক, এটা অনেক কম মেমরির প্রয়োজনীয়তা যেহেতু আপনি আসলে গঠন করতে হবে না হয়েছে ।$A=R_1R_2^T$$A$