সিস্টেমের আকারের সাথে ঘনত্বের ক্রিয়ামূলক তত্ত্ব কীভাবে স্কেল করে?

তাত্ত্বিকভাবে, বৈদ্যুতিনের সংখ্যার সাথে ঘনত্বের ক্রিয়ামূলক তত্ত্ব (ডিএফটি) গণনা স্কেল করার সময়টি কীভাবে হয়? আমি "সাধারণ" ডিএফটি বাস্তবায়নে যেমন ভিএএসপি, এবিনিআইটি ইত্যাদিতে আগ্রহী, ও (এন) কোডগুলি নয়।

density-functional-theory

— সর্বোচ্চ র‌্যাডিন
সূত্র

সরলতম সঠিক উত্তর যে DFT মধ্যে হয় । এটি এই ধারণা থেকে আসে যে আপনি শেষ পর্যন্ত নির্বাচনের সংখ্যার সাথে আনুপাতিক মাত্রার সাথে একটি হ্যামিল্টোনীয়কে তির্যক করে তুলছেন এবং তির্যক প্রযুক্তিগতভাবে । $O(N_e^3)$ $O(n^3)$

বাস্তবে, ডিএফটি হ'ল এক ধাপ এবং বিভিন্ন পদক্ষেপ বিভিন্ন প্রসঙ্গে হার-সীমাবদ্ধ। আমরা যদি প্লেন ওয়েভ (পিডাব্লু) ডিএফটি (ভিএএসপি, এবিনিট, কিউই এবং অন্যান্য) এর মধ্যে নিজেকে সীমাবদ্ধ রাখি তবে আমরা কিছু জোরদার বিবৃতি দিতে পারি। পিডাব্লু ডিএফটি কোডগুলি বোঝার জন্য একটি গুরুত্বপূর্ণ ধারণা হ্যামিলটোনিয়ান কখনও বড় ম্যাট্রিক্স হিসাবে সংরক্ষণ করা হয় না; পরিবর্তে, হ্যামিলটোনীয় অপারেটরের ক্রিয়াটি গণনা করা হয় এবং সাধারণত house ঘরের ক্ষেত্রে 'পুনরাবৃত্তীয় ডায়াগোনালাইজারগুলি (কনজুগেট গ্রেডিয়েন্ট, ডেভিডসন ইত্যাদি) ব্যবহার করা হয়। এই ডায়াগোনালাইজারগুলি আনুষ্ঠানিকভাবে , যেখানে হ্যামিলটোনীয়দের ক্রিয়া গণনার জন্য ব্যয় হয় তবে বৃহত্তর স্ব-ধারাবাহিক অ্যালগরিদমে তাদের ভূমিকা দেওয়ার কারণে তারা আরও দ্রুত সঞ্চালনের ঝোঁক রাখে। $O(n_e MV)$ $MV$

হ্যামিলটোনীয়দের ক্রিয়া গণনার প্রক্রিয়া কয়েক ধাপে ঘটে:

আসল স্থানের স্থানীয় সম্ভাব্যতার জন্য একটি এফএফটি, $O(n_v \ln n_v)$
অভিক্ষেপ যথাক্রমে আসল বা জি-স্পেস, বা ঘটতে পারে $O(n_a n_p)$ $O(n_a n_p n_v)$
স্থানীয় নয় এমন সম্ভাব্য হয় যথাক্রমে তির্যক বা ব্লক তির্যক, বা $O(n_a n_p)$ $O(n_a n_p^2)$

এই সমস্তগুলি একবার ইলেকট্রন (সত্যই, তরঙ্গ-ফাংশন) একবার ঘটতে হবে, সুতরাং তাদের সকলের সাথে এর একটি উপাদান যুক্ত করুন। $n_e$

কিছু উপায়ে (গ্রাম-শ্মিট, উদাহরণস্বরূপ) ওয়েভ-ফাংশনগুলি (হ্যামিলটোনিয়ানদের ইগেনফিউশনস) অবশ্যই একে অপরের কাছে অর্থোগোনাল রাখতে হবে, $O(n_e^2 n_v)$

অবশেষে, তরঙ্গ-ক্রিয়াকলাপগুলি একটি বৈদ্যুতিন-ঘনত্বের মধ্যে রচনা করা দরকার। পিডাব্লু কোডগুলিতে, এটি ওয়েভ-ফাংশন (এবং একটি যোগফল), একটি শেষ এফএফটি দিয়ে সম্পন্ন হয় । $O(n_e n_v \ln n_v)$

নোট করুন যে আমি কয়েকটি ভিন্ন মধ্যে রেখেছি : ভলিউমের সাথে সম্পর্কিত (সত্যই, এটি ভিত্তির আকার), হল প্রতি পরমাণুতে প্রজেক্টরের সংখ্যা, হল পরমাণুর সংখ্যা এবং এবং ইলেক্ট্রনের সংখ্যা। সাধারণত , , এবং সমস্ত একে অপরের সাথে রৈখিকভাবে সম্পর্কিত ( $n$ $n_v$ $n_p$ $n_a$ $n_e$ $n_v$ $n_a$ $n_e$ $n_p$ এটি একটি ছোট পূর্ণসংখ্যা) তবে আপনি কল্পনা করতে পারেন স্থির সংখ্যক ইলেক্ট্রন (স্ল্যাব / তারের জ্যামিতিতে শূন্যতা যোগ করা) বা পরমাণু এবং ইলেকট্রনের সংখ্যক প্রজেক্টরের সংখ্যা বাড়ানো (আরও সঠিক সিউডো-সম্ভাবনা ব্যবহার করে) imagine

$O(n^2 \ln n)$

— ম্যাক্স হাচিনসন
সূত্র

আপনার কি সত্যই পুরো আইজেন্ডেকম্পজেশন বা স্পেকট্রামের একটি ছোট্ট অংশের প্রয়োজন?

— ভিক্টর লিউ

O (n_{e})

$O(n_e)$

n_{e} / 2

$n_e /2$

আপনার উত্তরের জন্য ধন্যবাদ! আপনি কি এমন কোনও কাগজপত্র সুপারিশ করতে পারেন যা এই সমস্যাটি নিয়ে আলোচনা করেছে বা বেঞ্চমার্ক করেছে?

— সর্বাধিক রেডিন

জি। ক্রেস, কম্পিউটেশনাল মেটেরিয়ালস সায়েন্স 6, 15 (1996) হ'ল ভিএএসপির মানক ভূমিকা; আপনি বিভাগ 6 দিয়ে শুরু করতে চাইতে পারেন আরএম মার্টিন, বৈদ্যুতিন কাঠামো: বেসিক তত্ত্ব এবং ব্যবহারিক পদ্ধতি (কেমব্রিজ ইউনিভ প্র, 2004) ডিএফটি (প্লেন-তরঙ্গ এবং অন্যথায়) এর দুর্দান্ত পরিচয়, তবে সম্ভবত জটিলতা সম্পর্কে খুব কম স্পষ্ট হয়।

— সর্বাধিক হাচিনসন