ছোট রৈখিক সিস্টেমের সংখ্যাগতভাবে স্থিতিশীল সুস্পষ্ট সমাধান

Question

আমার একটি অসাধারণ লিনিয়ার সিস্টেম রয়েছে

$$Ax=b$$

যেখানে হ'ল ম্যাট্রিক্স যেখানে । এর nullspace তাই সমীকরণ একটি অনন্য বিপরীত হয়েছে শূন্য মাত্রা হতে নিশ্চিত করা হয় । যেহেতু ফলাফলটি একটি ওডিইয়ের ডানদিকে প্রবেশ করে, যা আমি একটি অভিযোজিত পদ্ধতি ব্যবহার করে সমাধান করার ইচ্ছা করি, তাই জরুরী যে সমাধানটি এবং এর উপাদানগুলির ক্ষুদ্রতর পরিবর্তনের ক্ষেত্রে সাবলীল । এই প্রয়োজনীয়তা এবং ছোট মাত্রিকতার কারণে আমি সুস্পষ্ট সূত্রগুলি প্রয়োগ করতে ভেবেছিলামn × n n ≤ 4 এ x = এ - 1 বি এ বি এ - 1$A$$n\times n$$n\leq 4$$A$$x=A^{-1} b$$A$$b$$A^{-1} b$। উপাদানগুলি হুবুহু হতে পারে বা খুব আলাদা মান নিতে পারে। আমার প্রশ্নটি যদি এটি আপনার কাছে বোঝায় এবং যদি এর জন্য পরিচিত স্থিতিশীল অভিব্যক্তি পাওয়া যায়। আমি x86 সিস্টেমের জন্য সি তে কোডিং করছি।

Comments

আমি জানি এটি খুব দেরীতে এসেছিল, তবে এখানে আমার পরামর্শ: মোট পাইভটিংয়ের সাথে গাউসিয়ান নির্মূল স্থিতিশীল হিসাবে পরিচিত, তাই এটি ক্ষুদ্র আকারের জন্য অ্যালগোরিদমকে কঠোর-কোডে উপলব্ধি করতে পারে। পাইভটিটিং বিষয়গুলিকে জটিল করে তোলে কারণ The ধারাবাহিক পিভটগুলি বেছে নেওয়ার উপায়, যার ফলে বিভিন্ন সূত্রের সেট; অদলবদল করা দরকার কি অদলবদল করে আপনি এই জটিলতা হ্রাস করতে পারবেন, কেসের সংখ্যা হ্রাস করুন । ( এন ! ) 2 1 2 + 2 2 + ⋯ n $(n!)^2$$(n!)^2$$1^2+2^2+\cdots n^2$

— ইয়ভেস দাউস্ট

Answer 1

সুস্পষ্ট সূত্রগুলি প্রয়োগ করার আগে, আমি নিজেকে প্রশ্নটি জিজ্ঞাসা করতাম: "এটি কি এটির জন্য উপযুক্ত?":

• ক্লাসিকাল গাউসিয়ান নির্মূলকরণ ব্যবহার করে আপনি সহজেই বিএলএএস + ল্যাপাকের সাথে লিঙ্ক করতে পারলে এই স্পষ্ট সূত্রগুলি লেখার, ডিবাগিং এবং বৈধ করার জন্য কি সময় ব্যয় করা উচিত?
• আপনি কি স্থিতিশীলতা অর্জন আশা করেন? আমি মনে করি না যে বিপরীতে প্রোগ্রামিং স্পষ্ট সূত্রগুলি (ক্র্যামারের নিয়মের মতো) আপনাকে আরও ভাল স্থায়িত্ব দেবে।
• আপনি কি গতি অর্জন আশা করেন? আপনি কি ইতিমধ্যে আপনার পুরো প্রোগ্রামটি প্রোফাইল করেছেন? হি 4x4 সিস্টেম সমাধানে সময়টির কোন অংশটি ব্যয় করা হয়?
• এক বছরের মধ্যে আপনার মডেলটি উন্নত হওয়ার সম্ভাবনা কী এবং আপনার 4 এর পরিবর্তে 5 টি সমীকরণ প্রয়োজন?

আমার পরামর্শ: প্রথমে বিএলএএস / ল্যাপাক সংমিশ্রণটি ব্যবহার করুন, দেখুন এটি কার্যকর হয় কিনা, পুরো প্রোগ্রামটি প্রোফাইল করুন, একটি শিক্ষার্থীকে সুস্পষ্ট সূত্রগুলি প্রয়োগ করতে বলুন (দুঃখিত, এখানে ব্যঙ্গাত্মক হচ্ছে) এবং গতি এবং দৃust়তার সাথে তুলনা করুন।

Comments

এটি প্রয়োগের জন্য আমার যে প্রচেষ্টাটি লাগবে তা প্রায় 15 মিনিটের মতো, কারণ আমি কেবল একটি সাধারণ 1x1, 2x2, 3x3 এবং 4x4 ম্যাট্রিক্স একটি সিএএসে প্রবেশ করি (আমার জন্য ম্যাপেল) এবং এটিকে উল্টে ফেলি। এটি একটি সুস্পষ্ট (সি-মত) ফলাফল ফেরত দেবে (অনুমিতভাবে ক্রেমার নিয়মের ভিত্তিতে)। আপনার দ্বিতীয় বিষয়টি ঠিক আমার উদ্বেগের। ফলস্বরূপ ম্যাট্রিক্স উপাদানগুলির উচ্চতর অর্ডার পণ্য থাকবে। স্পষ্টতই এই বিভিন্ন পদ 'প্রায় বাতিল' কারণে ত্রুটি পরিচয় করিয়ে দিতে পারে। তবে প্রশ্নটি হচ্ছে, যদি এমন আকারে ফলাফলটি লেখা সম্ভব হয় যেখানে এটি ঘটে না। গতি এই জায়গায় প্রধান উদ্বেগ নয়।

— highsciguy

Answer 2

$\mathcal{O}(n^{3})$

$A$$A$$\det(A) \neq 0$বি x $x$$b$$x$$A$

নিরাপদ হতে, এটা সম্ভবত নিশ্চিত করো যে সেরা সংখ্যাসূচকভাবে র্যাঙ্ক ঘাটতি না হয় (অর্থাত, ছোট একবচন মান না)।$A$

ক্র্যামারের নিয়মের সমস্যাটি হ'ল (যা এগিয়ে স্থিতিশীল তবে পিছনে স্থিতিশীল নয়) ব্যতীত এর স্থায়িত্ব বৈশিষ্ট্য অজানা । ( এন। হিগামের সংখ্যাসূচক অ্যালগরিদমগুলির যথাযথতা এবং স্থায়িত্ব দেখুন , দ্বিতীয় সংস্করণ edition) এটি একটি নির্ভরযোগ্য অ্যালগরিদম হিসাবে বিবেচিত হয় না; আংশিক পাইভোটিং (জিইপিপি) সহ গাউসিয়ান নির্মূলকরণ অনুকূল।$n = 2$

আমি আশা করবো যে একটি ব্লুএস + ল্যাপাক ব্যবহার করে কোনও ওডিইর সমাধানে জিইপিপি চালিত করতে কোনও অন্তর্নিহিত ওডিই পদ্ধতিতে ব্যবহৃত সীমাবদ্ধ ভিন্নতা হবে। আমি জানি যে লোকেরা ডান হাতের মূল্যায়নের অংশ হিসাবে লিনিয়ার প্রোগ্রামগুলিকে সমাধান করেছে এবং তারা এতটা নির্বাকভাবে করেছে (কেবল লিনিয়ার প্রোগ্রামটি ডান হাতের মধ্যে সমাধান করেছে, একটি সিমপ্লেক্স অ্যালগরিদমকে ডেকে নিয়েছে), তারা তাদের যথার্থতাকে ব্যাপকভাবে হ্রাস করেছে গণিত সমাধান এবং সমস্যা সমাধানের জন্য এটি যথেষ্ট সময় বৃদ্ধি করেছিল। আমার এক জনসাধারণ কীভাবে এই জাতীয় সমস্যাগুলি আরও বেশি দক্ষ, নির্ভুল পদ্ধতিতে সমাধান করবেন তা নির্ধারণ করেছিলেন; তার প্রকাশনাটি প্রকাশিত হয়েছে কিনা তা আমাকে দেখতে হবে। আপনি জিইপিপি বা ক্রেমার বিধি ব্যবহার না করা নির্বিশেষে আপনার একই সমস্যা হতে পারে।

আপনার সমস্যার জন্য যদি কোনও বিশ্লেষণযোগ্য জ্যাকবিয়ান ম্যাট্রিক্স গণনা করতে পারেন তবে নিজেকে কিছু সংখ্যক মাথাব্যাথা বাঁচাতে আপনি এটি করতে ইচ্ছুক হতে পারেন। সীমাবদ্ধ পার্থক্যের আনুমানিকতার চেয়ে মূল্যায়ন করা সস্তা এবং সম্ভবত আরও নির্ভুল হবে। আপনার যদি প্রয়োজন হয় তবে ম্যাট্রিক্স ইনভার্সের ডেরাইভেটিভের জন্য অভিব্যক্তিগুলি এখানে পাওয়া যাবে । ম্যাট্রিক্স বিপরীতটির ডেরাইভেটিভের মূল্যায়ন দেখে মনে হচ্ছে এটি কমপক্ষে দুই বা তিনটি লিনিয়ার সিস্টেম সলভ করে, তবে সেগুলি একই ম্যাট্রিক্স এবং বিভিন্ন ডান হাতের পাশে থাকবে, সুতরাং এটি কোনও একক লিনিয়ার সিস্টেমের চেয়ে যথেষ্ট ব্যয়বহুল হবে না would সমাধান.

এবং যদি কোনও উপায় থাকে তবে আপনি আপনার গণিত সমাধানটিকে ज्ञात প্যারামিটার মানগুলির সাথে সমাধানের সাথে তুলনা করতে পারেন, আমি তা করবো, যাতে আপনি নির্ণয় করতে পারেন যে আপনি এই সংখ্যার কোনও সমস্যার মুখোমুখি হয়েছেন কিনা।

Comments

আপনি যখন এখানে মসৃণ লেখেন, আপনি কি বোঝাতে চেয়েছেন যে সীমাবদ্ধ নির্ভুলতার সাথে মূল্যায়ন করার সময় এটিও মসৃণ হয়, যেমন স্থিতিশীল (এটিই আমি বলার চেষ্টা করেছি)। গার্টভিডিইয়ের উত্তরে আমার মন্তব্যও দেখুন। আমি মনে করি যে আমি প্রায় একক ম্যাট্রিকগুলি বাদ দিতে পারি (আমি মনে করি যে এই জাতীয় ক্ষেত্রে আমার শারীরিক সমস্যার বিশ্লেষণ অবশ্যই সংশোধন করা উচিত)।

— হাইস্কিগুয়ে

$A$$\det(A) \neq 0$

$n$$A$

Answer 3

এটি যে সাহায্য করতে পারে তা নিশ্চিত নয় তবে আমি স্থির সমাধান সম্পর্কে যখন কথা বলি তখন আপনি কেবল আনুমানিক পদ্ধতি সম্পর্কে কথা বলছেন think আপনি যখন বিষয়গুলি স্পষ্ট করে গণনা করেন, স্থিরতার সংবেদন থাকে না। এটি বলে যে আপনি যদি অক্ষমতা অর্জন করতে চান তবে আপনাকে একটি আনুমানিক সমাধান গ্রহণ করতে হবে।

Comments

স্থিরতার দিকে এলে সমস্ত ভাসমান-পয়েন্ট আনুমানিক (বৃত্তাকার বন্ধ, বাতিলকরণ ইত্যাদি) সমস্ত গণনা। উত্তরের জন্য আপনার কাছে কোনও সূত্র থাকলেও, এটি সীমাবদ্ধ-নির্ভুলতা পাটি থেকে সঠিকভাবে গণনা করা যায় কিনা তা নিয়ে আপনাকে কাজ করতে হবে।

— বিল বার্থ

এই উত্তরটিকে নেতিবাচক হিসাবে দেখছি না অন্যরা দেখে মনে হয়। অবশ্যই স্থিতিশীলতার বিষয়টি সুস্পষ্ট ফলাফলের জন্যও বিদ্যমান। তবে আমি বিশ্বাস করি যে সিটিএনজিউইন কেবল একটি আনুমানিক সমাধান বলতে চেয়েছিলেন যেমন একটি স্বল্প পরিমাণে প্রসারণ আসলে সম্পূর্ণ স্পষ্ট ফলাফলের চেয়ে আরও সুনির্দিষ্ট হতে পারে যা আমার ধারণা, সঠিক। এক অর্থে আমি সুস্পষ্ট সমাধানের জন্য জিজ্ঞাসা করি যা এইরকম কঠিন ক্ষেত্রে চিকিত্সা করে, যেমন সূত্র সর্বদা স্থিতিশীল থাকে।

— highsciguy