ডেরিভেটিভস সহ সংখ্যা চতুর্ভুজ ad

19

চতুর্ভুজটির সর্বাধিক সংখ্যক পদ্ধতিগুলি ইন্টিগ্রেন্ডকে একটি ব্ল্যাক-বাক্স হিসাবে বিবেচনা করে। আমাদের আরও তথ্য থাকলে কী হবে? বিশেষত, ইন্টিগ্রান্ডের প্রথম কয়েকটি ডেরিভেটিভ জেনে আমরা কী উপকার পেতে পারি? অন্য কোন তথ্য মূল্যবান হতে পারে?

বিশেষত ডেরিভেটিভগুলির জন্য: মৌলিক চতুর্ভুজগুলির জন্য ত্রুটির অনুমানগুলি (আয়তক্ষেত্র / ট্র্যাপজয়েড / সিম্পসনের বিধি) খুব ঘনিষ্ঠভাবে সম্পর্কিত। সম্ভবত গতিশীল অ্যাডাপটিভিটির উপর নির্ভর করার পরিবর্তে স্যাম্পলিং রেজোলিউশনের প্রাক-নির্বাচনের কোনও উপায় আছে?

আমি অবিবাহিত এবং বহুমাত্রিক উভয় ক্ষেত্রেই আগ্রহী।

quadrature error-estimation

— MRocklin
সূত্র

3

কেবলমাত্র একটি ছোট্ট সংশোধন: আয়তক্ষেত্র, ট্র্যাপিজয়েড এবং সিম্পসনের নিয়মটি নিউটন-কোটস ধরণের নিয়ম, গাউসিয়ান চতুর্ভুজ নয় not

— পেড্রো

20

আমি মনে করি এটি আপনার মনে যা ছিল তা পুরোপুরি নয়, তবে সম্পূর্ণতার স্বার্থে আসুন কয়েকটি বেসিক দিয়ে শুরু করা যাক। নিউটন-কোটস এবং গাউসের মতো বেশিরভাগ চৌম্বক সূত্রগুলি এই ধারণার উপর ভিত্তি করে তৈরি করা হয় যে কোনও ফাংশনের অবিচ্ছেদ্য মূল্যায়নের জন্য, আপনি কার্যটি আনুমানিক দ্বারা নির্ধারণ করতে পারেন, উদাহরণস্বরূপ, এমন একটি বহুভুজ যা আপনি ঠিক তখনই সংহত করতে পারবেন:

\int_{a}^{b} f (x) d x \approx \int_{a}^{b} \sum_{j} c_{j} p_{j} (x) d x = \sum_{j} c_{j} \int_{a}^{b} p_{j} (x) d x .

$\int_a^b f(x) \,dx \approx \int_a^b \sum_j c_j p_j(x)\,dx = \sum_j c_j\int_a^b p_j(x) \,dx.$

নিউটন-কোটস এবং গাউস লাগ্রঞ্জ ইন্টারপোলেশন ভিত্তিক , যার অর্থ আপনি প্রদত্ত ফাংশনটি নোডের একটি সেট ( ) এর তার মানগুলি ব্যবহার করে (যা নিউটন-কোটেসের জন্য অভিন্নভাবে ব্যবধানযুক্ত এবং গৌসের জন্য নির্দিষ্ট অর্থে অনুকূলভাবে নির্বাচিত)। এই ক্ষেত্রে, , এবং নোডাল ভিত্তিক ফাংশন এর সাথে হুবহু চতুর্ভুজ ওজন। $x_j$ $c_j = f(x_j)$ $p_j$

একই পদ্ধতি হর্মাইট অন্তরঙ্গকরণের সাথে কাজ করে , অর্থাত্ কোনও ফাংশনের মান এবং এর ডেরাইভেটিভগুলি নোডের সেটগুলিতে একটি নির্দিষ্ট ক্রম পর্যন্ত ব্যবহার করে অন্তরঙ্গকরণ works কেবলমাত্র ফাংশন এবং প্রথম ডেরাইভেটিভ মানের ক্ষেত্রে, আপনার কাছে ( এটির একটি মতলব বাস্তবায়ন রয়েছে, যদি আপনি এটি দেখতে কীভাবে দেখতে চান তবে))

\int_{a}^{b} f (x) d x \approx \int_{a}^{b} \sum_{j} f (x_{j}) p_{j} (x) + f^{'} (x_{j}) q_{j} (x) d x = \sum_{j} f (x_{j}) w_{j} + f^{'} (x_{j}) {\bar{w}}_{j} .

$\int_a^b f(x) \,dx \approx \int_a^b \sum_j f(x_j) p_j(x) + f'(x_j) q_j(x)\,dx = \sum_j f(x_j) w_j+f'(x_j) \bar w_j.$

এটি গাউস-লেজেন্ড্রে চতুর্ভুজ নামে পরিচিত গৌস চতুর্ভুজ সম্পর্কিত একটি বৈকল্পিকের সাথে সম্পর্কিত, যেখানে করার জন্য নোডগুলি নিখুঁতভাবে নির্বাচিত করা হয় ( (যা নোডের সাথে গাউসের চতুর্ভুজটি সঠিকভাবে যথাযথ) )। আমি মনে করি এটি অন্তত আংশিকভাবে আপনার প্রশ্নের দ্বিতীয় অনুচ্ছেদে উত্তর দেয়। এই কারণে গস চতুর্ভুজটি সাধারণত হার্মাইটের দ্বিচারের পরিবর্তে ব্যবহৃত হয়, যেহেতু আপনি একই সংখ্যক পয়েন্টের সাথে একই ক্রম পান তবে ডাইরিভেটিভ তথ্যের প্রয়োজন হয় না। $\bar w_j$ $N$ $2N-1$

বহুমাত্রিক চতুষ্পদ জন্য, আপনি সমস্যার মুখোমুখি হোন যে ক্রমটি বৃদ্ধি পাওয়ার সাথে সাথে ডারাইভেটিভগুলির সংখ্যা (মিশ্র ডেরিভেটিভস সহ) মূল্যায়নের জন্য আপনার প্রয়োজন খুব দ্রুত grows

আপনার প্রশ্নে ফিরে আসছি: ডেরিভেটিভ তথ্যগুলি ব্যবহারের সোজা উপায় হ'ল আপনার ইন্টিগ্রেশন ডোমেনের একটি মহকুমা ব্যবহার এবং প্রতিটি বিভাগের জন্য একটি পৃথক চতুর্ভুজ ব্যবহার করা। আপনি যদি জানেন যে ডোমেনের কিছু অংশে আপনার ফাংশনটির ডেরাইভেটিভগুলি বড়, তবে আপনি ছোট ডোমেন (কার্যত, একটি সংক্ষিপ্ত চতুর্ভুজ সূত্র) বা উচ্চতর চতুর্ভুজ ক্রম ব্যবহার করবেন। সীমাবদ্ধ উপাদান পদ্ধতিতে এটি যথাক্রমে h- এবং p-adaptivity সম্পর্কিত ।

— খ্রিস্টান ক্লাসন
সূত্র

6

বেশ কয়েকটি "সংশোধিত" সংহত বিধি রয়েছে যা শেষ পয়েন্টগুলির ডেরিভেটিভগুলি ডাকে। এর একটি সহজ উদাহরণ হ'ল সংশোধন করা ট্র্যাপিজয়েডাল নিয়ম। মনে করুন আমরা ইন্টিগ্রাল আনুমানিক করতে চান

\int_{a}^{b} f (x) d x .

$\int_a^bf(x)\,dx.$

যাক একটি পূর্ণসংখ্যা, এবং হতে । তারপরে ট্র্যাপিজয়েডাল নিয়ম $n$ $h=(b-a)/n$

T = \frac{h}{2} (f (a) + 2 f (a + h) + 2 f (a + 2 h) + \dots + 2 f (a + (n - 1) h) + f (b))

$T = \frac{h}{2}\bigl(f(a)+2f(a+h)+2f(a+2h)+\cdots+2f(a+(n-1)h)+f(b)\bigr)$

ক্রম ত্রুটি সহ অখণ্ডে একটি সাধারণ অনুমান সরবরাহ করে । তবে, "সংশোধন" ট্র্যাপিজয়েডাল নিয়ম: $h^2$

T^{'} = T - \frac{h^{2}}{12} (f^{'} (b) - f^{'} (a))

$T'=T-\frac{h^2}{12}\bigl(f'(b)-f'(a)\bigr)$

যথার্থতা বৃদ্ধি করে উদাহরণস্বরূপ, বিবেচনা করুন

I = \int_{0}^{1} e^{- x^{2}} d x

$I=\int_0^1 e^{-x^2}\,dx$

এবং নির্বাচন করুন । সঠিক মান , 14 দশমিক স্থানে $n=8$ $I$

0.74682413281243

$0.74682413281243$

আর মান এবং হয় $T$ $T'$

0.7458656148457, 0.74682363422375

$0.7458656148457,\quad 0.74682363422375$

যথাক্রমে। ত্রুটিগুলি হয়

| I - T | = 9.5851796673207534 \times 10^{- 4}

$|I-T|=9.5851796673207534 \times 10^{-4}$

এবং

| I - T^{'} | = 4.9858868145236102 \times 10^{- 7}

$|I-T'|=4.9858868145236102 \times 10^{-7}$

নির্ভুলতায় উল্লেখযোগ্য বৃদ্ধি দেখানো হচ্ছে। উচ্চতর ডেরাইভেটিভগুলির সাথে জড়িত আরও অন্যান্য সংশোধনী রয়েছে বা নিউটন-কোটস বিধি বা গাউসিয়ান ধরণের বিধিগুলি থেকে শুরু করে।

— এলেসডের
সূত্র

5

অন্যান্য উত্তরে উল্লিখিত নিউটন-কোটসের উপর ভিত্তি করে পদ্ধতিগুলি ছাড়াও এখন গৌস-তুরান চতুষ্কোণ বলা হয় (উদাহরণস্বরূপ এটি এবং এটি , পাশাপাশি ওয়াল্টার গাউটস্কির সম্মানজনক রেফারেন্স )। এটি সাধারণ গাউসিয়ান চতুর্ভুজটির একটি সাধারণীকরণ, যেখানে এখন অ্যাবসিসাস এবং ওজনগুলির একটি সর্বোত্তম সেট সন্ধানের ক্ষেত্রে কোনও ফাংশনের ডেরিভেটিভসের জ্ঞানকে কাজে লাগাতে পারে যা ফর্মটির ফাংশনগুলিকে একীভূত করে এমন একটি চৌম্বকীয় নিয়ম দেয় yield $\text{polynomial}\times\text{weight function}$ ঠিক। যেমনটি প্রত্যাশা করা হয়েছিল, এই নিয়মটি ব্যবহার করার জন্য, এখন কেউ আপনার ফাংশন এবং এর সংখ্যক ডেরাইভেটিভকে নির্বিচারে বাস্তব পয়েন্টগুলিতে মূল্যায়ন করতে সক্ষম হবে বলে আশা করা হচ্ছে। সাধারণ জায়গাগুলিতে অনুসন্ধানের জন্য আরও কয়েকটি তথ্যসূত্র সন্ধান করতে সক্ষম হওয়া উচিত।

— জে এম
সূত্র

4

যদিও এই থ্রেডটি বেশ পুরানো, আমি ভেবেছিলাম কিছু সাধারণ চতুর্ভুজ বিধিগুলির সাধারণীকরণের জন্য পিয়ার-পর্যালোচিত কাগজের একটি উল্লেখ পাওয়া কার্যকর হবে।

নেনাড উজেভিচ, "সংশোধিত সিম্পসনের নিয়ম এবং ত্রুটির সীমার একটি সাধারণীকরণ", আঞ্জিয়াম জার্নাল, খণ্ড Vol 47, 2005।

http://journal.austms.org.au/ojs/index.php/ANZIAMJ/article/view/2/1268

আমি ভেবেছিলাম যে অবাধে অ্যাক্সেসযোগ্য একটি ভাল রেফারেন্স দেওয়া কার্যকর হবে এবং এতে অন্যান্য কাগজপত্রগুলির উল্লেখ রয়েছে।

আলাসদায়ের যেমন উপরে উল্লিখিত হয়েছে, শেষ পয়েন্টগুলির ডেরিভেটিভগুলি সহ নির্ভুলভাবে উল্লেখযোগ্যভাবে বৃদ্ধি করতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, উজেভিক এবং রবার্টস দেখিয়েছেন যে সিম্পসনসের নিয়মে প্রথম ডেরিভেটিভ যুক্ত করা গ্রিডের ব্যবধানে ত্রুটিটি 6th ষ্ঠ ক্রমে হ্রাস করে, যেখানে ডেরিভেটিভ ছাড়াই এটি চতুর্থ ক্রম। উজেভিক কাগজটি দেখায় যে এমনকি কঠোর ত্রুটির সীমাও পাওয়া যেতে পারে।

এন উজেভিক এবং এজে রবার্টস, একটি সংশোধন চতুর্ভুজ সূত্র এবং অ্যাপ্লিকেশন, আনজিয়াম জে।, 45 (ই), (2004), ই 41 – ই 57। http://anziamj.austms.org.au/V45/E051

(খ্রিস্টান ক্লাসন পরামর্শ দিয়েছিলেন যে আমি একটি মন্তব্য আমি উত্তরে সরিয়ে নিয়েছি কারণ তিনি ভেবেছিলেন যে আমার দেওয়া উল্লেখগুলি ভাল এবং তারা যদি কোনও পর্যায়ে মন্তব্যগুলি স্ক্র্যাব করা হয় তবে সেগুলি হারিয়ে যেতে পারে।)

— Lysistrata
সূত্র

আপনি নিবন্ধে উপস্থাপিত ফলাফল সম্পর্কে মন্তব্য করতে পারেন?

— নিকোগুয়ারো

আমার এখন পর্যাপ্ত রেপ পয়েন্ট রয়েছে! আমি ভেবেছিলাম যে অবাধে অ্যাক্সেসযোগ্য একটি ভাল রেফারেন্স দেওয়া কার্যকর হবে এবং এতে অন্যান্য কাগজপত্রগুলির উল্লেখ রয়েছে। আলাসদায়ের যেমন উপরে উল্লিখিত হয়েছে, শেষ পয়েন্টগুলির ডেরিভেটিভগুলি সহ নির্ভুলভাবে উল্লেখযোগ্যভাবে বৃদ্ধি করতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, আমি যে পেপারটির সাথে লিঙ্ক করেছি তার 6 টি রেফারেন্সে রবার্টস এবং উজেভিক দেখিয়েছেন যে সিম্পসনের নিয়মে প্রথম ডেরিভেটিভ যুক্ত করা গ্রিডের ব্যবধানে 6th ষ্ঠ ক্রমে ত্রুটি হ্রাস করে, যেখানে ডেরিভেটিভগুলি ছাড়াই এটি চতুর্থ ক্রম। উজেভিক কাগজটি দেখায় যে এমনকি কঠোর ত্রুটির সীমাও পাওয়া যেতে পারে।

— লাইস্টিস্ট্রতা

1

@ লাইস্টিস্ট্রতা এটি একটি দুর্দান্ত রেফারেন্স। আপনি কি নিজের মন্তব্যে উত্তরটি সম্পাদনা করতে পারবেন? মন্তব্যগুলি দূরে যেতে পারে, এবং সেগুলি হারাতে পারা উচিত।

— খ্রিস্টান ক্লাসন