দ্বিতীয় অর্ডার হেক্সাহেড্রাল সসীম উপাদানগুলির জন্য কি 8 গাউস পয়েন্ট দরকার?

Question

আনফিজিকাল মোডের পরিচয় না দিয়েই কি 8 টিরও কম গস পয়েন্ট সহ হেক্সাহেড্রাল সসীম উপাদানগুলির জন্য দ্বিতীয় আদেশের যথার্থতা পাওয়া সম্ভব? একটি একক কেন্দ্রীয় গাউস পয়েন্ট একটি আনফিজিকাল শিয়ারিং মোডের সাথে পরিচয় করিয়ে দেয় এবং 8 টি গাউস পয়েন্টের মানসম্মত প্রতিসাম্য বিন্যাসটি টেটারহেড্রাল বিচক্ষণতার তুলনায় ব্যয়বহুল।

সম্পাদনা : কেউ সমীকরণ চেয়েছিল। আমি যে সমীকরণগুলিতে আগ্রহী সেগুলি হ'ল নৈমিত্তিক স্থিতিস্থাপকতা, হয় গতিশীল বা কুইসিস্ট্যাটিক। কোয়াস্টিস্টিক সমীকরণগুলি

$$\nabla \cdot P\left(\nabla \phi \right) = 0$$

$\phi : \Omega \to \mathbf{R}^3$$\Omega \subset \mathbf{R}^3$$P : \mathbf{R}^{3 \times 3} \to \mathbf{R}^{3 \times 3}$

$$P(F) = \mu (F - F^{-T}) +\lambda F^{-T} \log \det F$$

Comments

আপনি ঠিক কি অনুকরণ করছেন?

— ড্যান

এই মুহুর্তে লিনিয়ার স্থিতিস্থাপকতা, তবে প্রশ্নটি সাধারণভাবে ননলাইনার স্থিতিস্থাপকতা সম্পর্কে।

— জেফ্রি ইরভিং

আপনার সম্ভবত আগ্রহী সমীকরণগুলি অন্তর্ভুক্ত করা উচিত, যেহেতু "অফফিজিক্যাল" সংজ্ঞা তাদের উপর নির্ভর করে। অথবা কমপক্ষে "শারীরিক" ফাংশনগুলির স্থান নির্দিষ্ট করে নিন।

— ডেভিড কেচসন

সমীকরণ যুক্ত হয়েছে।

— জেফ্রি ইরভিং

ডিফি / ডিএক্স সহ, আপনি গ্রেডিয়েন্ট বলতে চান?

— ওল্ফগ্যাং ব্যাঙ্গার্থ

Answer 1

যতক্ষণ না সীমাবদ্ধ উপাদান কঠিন মেকানিক্স সিমুলেশনগুলির সাথে সম্পর্কিত, আপনি স্থিতিশীলতা বাহিনী ব্যবহার না করে 8 টিরও কম চতুর্ভুজ পয়েন্ট ব্যবহার করতে পারবেন না। সংকোচনের উপাদানগুলির ক্ষেত্রে (আপনার ক্ষেত্রে), নির্ভুলতার উদ্দেশ্যে সর্বাধিক সমাধান হ'ল মিশ্র সূত্র ব্যবহার। আপনি সিমো এবং হিউজেস বইটি উল্লেখ করতে পারেন: http://books.google.fr/books/about/Computational_inelasticity.html?hl=fr&id=ftL2AJL8OPYC ।

Answer 2

এটি তুলনামূলকভাবে সুস্পষ্ট যে আপনি সাধারণভাবে স্বাধীনতার ডিগ্রি থাকার চেয়ে প্রতি সেল প্রতি কম চতুষ্কোণ পয়েন্ট নিয়ে দূরে যেতে পারবেন না। 3 ডি হেক্সাহেড্রোনে ট্রিলিনিয়ার উপাদানগুলির ক্ষেত্রে, 8 ডিগ্রি স্বাধীনতা রয়েছে (প্রতি শীর্ষে এক) তাই চতুর্ভুজ পয়েন্টের সর্বনিম্ন সংখ্যাও আট হবে।

যা অবিচ্ছিন্ন এবং ফলস্বরূপ সম্পূর্ণ অকেজো নয়। কারণটি হ'ল এক-পয়েন্ট চৌম্বক সূত্রটি চতুর্ভুজ বিন্দুতে সমান মূল্যযুক্ত সমস্ত লিনিয়ার ফাংশন (ট্রায়াল স্পেসের অংশ) এর মধ্যে পার্থক্য করতে পারে না; অন্য কথায়, মিডপয়েন্ট রুলের জন্য শেপ ফাংশন 'x' ফাংশন '0' এর মতোই 'ফাংশন' -x 'এর মতোই। অন্য কথায়, যখন ট্রায়াল স্পেসের সঠিক অবিচ্ছেদ্যগুলির সাথে মাত্রা 2 থাকে, তবে মিডপয়েন্ট রুলের জন্য স্পেসের মাত্রা 1 থাকে, যদিও সেখানে দুটি ডিগ্রি স্বাধীনতা রয়েছে - এটি কোনও স্থানের সংজ্ঞা নয় যা অবিচ্ছিন্ন নয়)) মিডপয়েন্ট রুলের জন্য, 'x' ফাংশনটি 'x' ফাংশন '-x' এর মতোই আকৃতি ফাংশন 'x' একই হয়। অন্য কথায়, যখন ট্রায়াল স্পেসের সঠিক অবিচ্ছেদ্যগুলির সাথে মাত্রা 2 থাকে, তবে মিডপয়েন্ট রুলের জন্য স্পেসের মাত্রা 1 থাকে, যদিও সেখানে দুটি ডিগ্রি স্বাধীনতা রয়েছে - এটি কোনও স্থানের সংজ্ঞা নয় যা অবিচ্ছিন্ন নয়)) মিডপয়েন্ট রুলের জন্য, 'x' ফাংশনটি 'x' ফাংশন '-x' এর মতোই আকৃতি ফাংশন 'x' একই হয়। অন্য কথায়, যখন ট্রায়াল স্পেসের সঠিক অবিচ্ছেদ্যগুলির সাথে মাত্রা 2 থাকে, তবে মিডপয়েন্ট রুলের জন্য স্পেসের মাত্রা 1 থাকে, যদিও সেখানে দুটি ডিগ্রি স্বাধীনতা রয়েছে - এটি কোনও স্থানের সংজ্ঞা নয় যা অবিচ্ছিন্ন নয়))

Comments

আমি মনে করি জিওফের প্রশ্নটি আরও সূক্ষ্ম। ভাল-আকৃতির ডোমেনগুলিতে টেট্রেহেডারে অবিচ্ছিন্ন সীমাবদ্ধ উপাদান জায়গাগুলির জন্য (যেমন বিচ্ছিন্ন উপাদানগুলি ছাড়াই), আপনি একক-পয়েন্ট চৌম্বকগুলি দিয়ে দূরে সরে যেতে পারেন যা স্পষ্টতই সংহত-অন্তর্ভুক্ত is হেক্সাহেড্রাল উপাদানগুলির সাথে কোনও উপায়ে আন্ডার-ইন্টিগ্রেট করাও সম্ভব কিনা তা প্রশ্ন is আমি উত্তরটি জানি না, তবে আমি নিশ্চিত নই যে এটি কত বড় চুক্তি কারণ চতুর্ভুজ পয়েন্টগুলির জন্য অতিরিক্ত মেমরি গতির প্রয়োজন হয় না। একবার আপনি সীমাবদ্ধ উপাদান অবশিষ্ট অবধি মূল্যায়ন ভেক্টরাইজ করার পরে, এটি মেমরির সাথে আবদ্ধ হওয়া সাধারণ, তাই আপনি ফ্লপগুলি ব্যবহার করা থেকে ভাল better

— জেড ব্রাউন

স্মৃতি গতি সম্পর্কে ভাল পয়েন্ট।

— জেফ্রি ইরভিং

জেদের বিন্দুতে প্রসারিত করার জন্য: উপরোক্ত "সুস্পষ্ট" যুক্তিটি যে কারণে মিথ্যা, তা হ'ল প্রতিটি চতুর্ভুজ বিন্দু ম্যাট্রিক্স দেখায় । তেত্রহেদ্রের জন্য, এটি অভিন্ন অনুবাদ ব্যতীত সকল প্রান্তের গতিগুলিকে কভার করে, যা শক্তি বা বাহিনীকে প্রভাবিত করে না, সুতরাং প্রথম অর্ডার যথার্থতার জন্য একটি চতুর্ভুজ বিন্দু যথেষ্ট। $3 \times 3$

— জেফ্রি ইরভিং 21

বরং অসুবিধাজনক যে মন্তব্যগুলিতে নিউলাইনগুলি অন্তর্ভুক্ত করা যায় না।

— জেফ্রি ইরভিং 21

@ জেডব্রাউন: ভালো কথা। টেজে লিনিয়ার ফাংশনগুলির গ্রেডিয়েন্টটি ধ্রুবক এবং সুতরাং আমি ভর ম্যাট্রিক্সের জন্য যুক্তিটি অনুসরণ করে একক চতুর্ভুজ বিন্দু যথেষ্ট (স্টাফনেস ম্যাট্রিক্স গ্রেডিয়েন্টগুলির জন্য ভর ম্যাট্রিক্স :-)। অন্যদিকে, হেক্সাহেদ্রে ট্রিলিনিয়ার ফাংশনগুলির গ্রেডিয়েন্টগুলি (অ্যানিসোট্রপিক) চতুর্ভুজীয় ক্রিয়া হয় সুতরাং স্থানাঙ্কের দিকের জন্য প্রতি এক চতুর্ভুজ বিন্দুর চেয়ে অবশ্যই আরও বেশি প্রয়োজন needs

— ওল্ফগ্যাং ব্যাঙ্গার্থ