ম্যাট্রিক্স আর্গুমেন্ট সহ একটি রৈখিক সিস্টেম সমাধান করা

10

আমরা সবাই স্ট্যান্ডার্ড লিনিয়ার সিস্টেমটি সমাধান করার জন্য প্রচুর গণ্য পদ্ধতির সাথে পরিচিত

A x = b .

$Ax=b.$ তবে, আমি আগ্রহী যদি ফর্মের আরও সাধারণ (সীমাবদ্ধ মাত্রিক) রৈখিক ব্যবস্থা সমাধানের জন্য কোনও "মানক" গণনা পদ্ধতি আছে

L A = B,

$LA=B,$ যেখানে, বলুন, একটি হল ম্যাট্রিক্স, একটি হল ম্যাট্রিক্স, এবং একটি রৈখিক অপারেটর গ্রহণ করার ম্যাট্রিক্স ম্যাট্রিক্স, যা vectorizing সঙ্গে যুক্ত নয় ম্যাট্রিকগুলি , অর্থাত্ সবকিছুকে ফর্মে রূপান্তর করা ।

A

$A$

m_{1} \times n_{1}

$m_1\times n_1$

B

$B$

m_{2} \times n_{2}

$m_2\times n_2$

L

$L$

m_{1} \times n_{1}

$m_1\times n_1$

m_{2} \times n_{2}

$m_2\times n_2$

A x = b

$Ax=b$

কারণ আমি জিজ্ঞাসা আমি জন্য নিম্নলিখিত সমীকরণ সমাধান প্রয়োজন : $u$

(R^{*} R + λ I) u = f

$(R^*R+\lambda I)u=f$ যেখানে ডি 2 ডি রেডন রূপান্তর, its এর সামঞ্জস্য, এবং এবং উভয়ই 2 ডি অ্যারে (চিত্র)। এই সমীকরণটি ভেক্টরাইজ করা সম্ভব, তবে এটি একটি ব্যথা, বিশেষত যদি আমরা 3D তে যাই।

R

$R$

R^{*}

$R^*$

u

$u$

f

$f$

আরও সাধারণভাবে, অ্যারে সম্পর্কে কি ? উদাহরণস্বরূপ, যেখানে এবং 3 ডি অ্যারে রয়েছে সেখানে সমাধান করা (আমাকে রেডন ট্রান্সফর্মের সাথে কিছু সময় এগুলি করতে হবে)। $nD$ $LA=B$ $A$ $B$

এগিয়ে ধন্যবাদ, এবং আপনি যদি প্রয়োজন বোধ করেন তবে নির্দ্বিধায় আমাকে অন্য স্ট্যাক এক্সচেঞ্জে প্রেরণ করুন।

linear-algebra

— icurays1
সূত্র

1

আপনি কার্যকর মাল্টিলেভেল পূর্বশর্ত তৈরি করতে সক্ষম হতে পারেন তারপর কনজুগেট গ্রেডিয়েন্ট ব্যবহার করতে পারেন। আমার অনুরূপ সমস্যা রয়েছে যেখানে এটি বেশ কার্যকর এবং খুব সমান্তরাল। আপনি যদি সরাসরি পদ্ধতি চান তবে লায়াপুনভ সমীকরণ সম্পর্কে এই পত্রিকায় যেমন শুরুর ফর্মটি হ্রাসের কথা বিবেচনা করুন: cs.cornell.edu/cv/ResearchPDF/Hessenberg.Schur.Method.pdf

— নিক

দুর্দান্ত, রেফের জন্য ধন্যবাদ! আমি কার্যকরভাবে কাজ করার জন্য সিজি পেয়েছি, তাই আমি খুশি।

— icurays1

9

হ্যাঁ, আপনি এটি সঠিক পেয়েছেন এবং আপনি 3-ডি-তে আপগ্রেড করার সময় এটি কার্যকরভাবে কাজ করবে। সবচেয়ে সহজ অংশটি, প্রকৃতপক্ষে, অভ্যন্তরীণ পণ্য --- কেবল সমান, নিবন্ধিত ভেক্টরগুলির উপর একটি স্ট্যান্ডার্ড ডট পণ্য করুন । যেহেতু আপনার সম্ভবত ডেটাটি স্বচ্ছন্দভাবে যে কোনও উপায়ে সংরক্ষণ করা হবে, আপনি এই জায়গায় রেখে এটি করতে পারেন। এটি জটিল ভেক্টর স্পেসগুলির সাথেও কাজ করে --- জটিল মূল্যবোধকে আসল মানগুলির জোড় হিসাবে বিবেচনা করে। এটি কারণ জন্য আপনার প্রকৃত অভ্যন্তরীণ পণ্য প্রয়োজন । $\mathbb{R}^n$ $\langle y, x\rangle\triangleq \mathop{\textrm{Re}}(y^Hx)$

সাধারণ লিনিয়ার অপারেটরগুলির সাথে আপনি যখন সিজি (বা অনুরূপ পুনরাবৃত্ত পদ্ধতির) প্রয়োগ করছেন তখন আপনাকে অবশ্যই সাবধান হওয়া উচিত আপনার লিনিয়ার অপারেটরটির অ্যাডেজমেন্ট সঠিকভাবে প্রয়োগ করা । অর্থাৎ লোকেরা প্রায়শই ডান পায় তবে প্রয়োগ করতে ভুল করে । $y=F(x)$ $z=F^*(y)$

আমি একটি সাধারণ পরীক্ষা কার্যকর করার পরামর্শ দিচ্ছি যা নিম্নলিখিত পরিচয়টির সুবিধা গ্রহণ করে: যে কোনও মানিয়ে নেওয়া এবং , সুতরাং আপনি যা করছেন তা হল এবং এর এলোমেলো মান উত্পন্ন করা , যথাক্রমে আপনার এগিয়ে এবং স্থগিত অপারেশনগুলির মাধ্যমে চালানো এবং উপরের দুটি অভ্যন্তরীণ পণ্যগুলি গণনা করুন। তারা যুক্তিসঙ্গত নির্ভুলতার সাথে মেলে কিনা তা নিশ্চিত করুন এবং কয়েকবার পুনরাবৃত্তি করুন। $x$ $y$

⟨ y, F (x) ⟩ = ⟨ F^{*} (y), x ⟩ .

$\langle y, F(x) \rangle = \langle F^*(y), x \rangle.$

x

$x$

y

$y$

সম্পাদনা: আপনার লিনিয়ার অপারেটরটি প্রতিসাম্য বলে মনে করা হয় তবে আপনি কী করবেন? ঠিক আছে, আপনার সেই প্রতিসাম্যতাও যাচাই করা দরকার। সুতরাং একই পরীক্ষাটি ব্যবহার করুন, কেবল উল্লেখ করুন যে --- একই ক্রিয়াকলাপটি এবং তে প্রয়োগ করুন । অবশ্যই, ওপিতে একটি অসম্পূর্ণ অপারেটর এবং প্রতিসাম্য উভয়ই রয়েছে ... $F=F^*$ $x$ $y$

— মাইকেল গ্রান্ট
সূত্র

ধন্যবাদ @ ক্রিশ্চিয়ান ক্লাসন! আমি অভিজ্ঞতার কাছ থেকে জানি হিসাব নিরূপণে হতাশার ত্রুটিগুলি কী হতে পারে। :) আমাদের প্যাকেজ টিএফোকস-এ আমরা linop_test.mএই কারণে একটি রুটিন প্রয়োগ করেছি । এই প্যাকেজটি ভেক্টর স্পেসে ম্যাট্রিক্স, অ্যারে এবং কার্টেসিয়ান পণ্যগুলিকে সমর্থন করে।

— মাইকেল গ্রান্ট

3

দেখা যাচ্ছে যেহেতু আমার সিস্টেমটি প্রতিসম এবং ধনাত্মক সুনির্দিষ্ট (যেহেতু আমার লিনিয়ার অপারেটরটি হিসাবে লেখা হয়েছে ), এই ধরণের সমীকরণকে পুনরাবৃত্তভাবে সমাধান করতে কনজুগেট গ্রেডিয়েন্টটি মানিয়ে নেওয়া যেতে পারে। কেবলমাত্র অভ্যন্তরীণ পণ্যগুলি গণনা করার সময় আসে - অর্থাত্ সিজি-তে একটি সাধারণ অভ্যন্তরীণ পণ্য গণনা দেখতে বা । পরিবর্তিত সংস্করণে, আমরা ফ্রোবিনিয়াস অভ্যন্তরীণ পণ্য ব্যবহার করি, যা হাদামারড (পয়েন্টওয়াইজ) পণ্যটির প্রবেশদ্বারগুলি সংক্ষেপণের দ্বারা গণনা করা যেতে পারে। অর্থাত $R^*R+\lambda I$ $r_k^Tr_k$ $p_k^TAp_k$

⟨ A, B ⟩ = \sum_{i, j} A_{i j} B_{i j}

$\langle A,B\rangle=\sum_{i,j}A_{ij}B_{ij}$

আমি সন্দেহ করি যে আমি 3 ডি অ্যারে আপগ্রেড করার সময় এটি ঠিক জরিমানার মধ্য দিয়ে যাবে, যদিও এখনও 3 ডি অ্যারেতে সংজ্ঞায়িত ফ্রোবিনিয়াস অভ্যন্তরীণ পণ্যটি দেখতে পাইনি (আমি এই ধারনাটির অধীনে কাজ করব যে আমি আবার কেবল পয়েন্টওয়াইজ পণ্যটি যোগ করতে পারি)।

কারও কারও জানা থাকলে আমি আরও সাধারণ পদ্ধতিতে আগ্রহী হব!

— icurays1
সূত্র