সীমাবদ্ধ উপাদানগুলির সাথে এককভাবে বিরক্ত প্রতিক্রিয়া-প্রসারণ সমস্যাগুলির দোলনা

Question

FEM-discretizing এবং একটি প্রতিক্রিয়া-আশ্লেষ সমস্যা, যেমন, সমাধানে যখন সঙ্গে 0 < ε « 1 (একবচন ব্যাকুলতা), বিযুক্ত সমস্যা সমাধান সাধারণত দোদুল্যমান স্তর সীমানা পাসে প্রদর্শন করা হবে। সঙ্গে Ω = ( 0 , 1 ) , ε = 10 - 5 এবং সসীম উপাদান রৈখিক, সমাধান U জ মত দেখাচ্ছে

$$- \varepsilon \Delta u + u = 1 \text{ on } \Omega\\ u = 0 \text{ on } \partial\Omega$$ $0 < \varepsilon \ll 1$$\Omega = (0,1)$$\varepsilon=10^{-5}$$u_h$

আমি দেখতে পাচ্ছি যে এগুলি অযাচিত প্রভাবগুলির জন্য প্রচুর সাহিত্যের বাইরে রয়েছে যখন তারা সংশ্লেষের কারণে ঘটে (যেমন, বিবেচনার বিপরীতে), কিন্তু যখন প্রতিক্রিয়া আসে তখন লোকেরা পরিশ্রুত জাল (শিশ্কিন, বখভালভ) এর দিকে মনোনিবেশ করে বলে মনে হয়।

এমন বিচ্ছিন্নতা এড়ানোর মতো বিচক্ষণতা রয়েছে, যা একঘেয়েমি সংরক্ষণ করে? এই প্রসঙ্গে আর কী কার্যকর হতে পারে?

Comments

কেন্দ্রীয় পার্থক্য প্রকল্পটি একঘেয়েমি সংরক্ষণ করে না কেননা এটি এম-ম্যাট্রিক্সের দিকে পরিচালিত করে ?

— হুই ঝাং

$\langle 1 \phi_i, \phi_j\rangle > 0$

@ হুইজ্যাং সীমাবদ্ধ পার্থক্যের ক্ষেত্রে আপনি অবশ্যই ঠিক আছেন (এবং সীমাবদ্ধ পরিমাণেও)। আমি উত্তরে আরও স্পষ্টভাবে উত্তরটি মানিয়ে নেব যে আমি সীমাবদ্ধ উপাদানগুলিতে আগ্রহী।

— নিকো Schlömer

এ জাতীয় সমস্যার জন্য বিচ্ছিন্ন গ্যালার্কিন পদ্ধতিগুলি বেশ জনপ্রিয় হয়ে উঠেছে - আপনি কি ডি পিয়েট্রো এবং এরনের বইটি দেখেছেন?

— খ্রিস্টান ক্লাসন

Answer 1

আপনি প্রদর্শিত ক্ষেত্রে, সমাধান একটি সীমানা স্তর আছে। যদি আপনি এটি সমাধান করতে না পারেন কারণ আপনার জাল খুব মোটা হয়, তবে সমস্ত ব্যবহারিক ক্ষেত্রে সমাধানটি সংখ্যা সংক্রান্ত স্কিমের থেকে বিরত থাকে।

$N$

$\varepsilon$$h\rightarrow 0$

Answer 2

টিএল; ডিআর: আপনার বিকল্পগুলি সীমাবদ্ধ 1) নির্ভুল এবং ব্যয়বহুল সমাধানের জন্য ব্রুটি ফোর্স অভিযোজিত 2) কম নির্ভুল তবে স্থিতিশীল সমাধানের জন্য সংখ্যারিক বিস্তারটি ব্যবহার করুন (বা আমার প্রিয়) 3) এটি একক বিশৃঙ্খলাজনিত সমস্যা এবং সমাধানের বিষয়টি প্রমাণ করুন দুটি সস্তা অভ্যন্তরীণ / বাহ্যিক সমস্যা এবং ম্যাচিং অ্যাশেম্পোটিকগুলি যাদু করতে দেয়!

---

$\delta = \mathcal{O}(\sqrt{\epsilon})$

$x = \mathcal{O}(\delta)$$\eta = x/\delta$

$$-\Delta u_i + u_i = 1$$

$u(0) = 0$$u_i(\eta\rightarrow\infty) = u_o(x\rightarrow0)$$u_o$$x = \mathcal{O}(1)$$u$$1$$u_0 = 1$ সহজেই অভ্যন্তরীণ সমাধান - এই ক্ষেত্রে এমনকি বিশ্লেষণাত্মকভাবে ically

এটি আসলে সেই প্রযুক্তিটি ছিল যা (এবং এখনও রয়েছে) দিনের দিকে তরল যান্ত্রিকগুলিতে লামিনার সীমানা স্তর সমস্যা সমাধানের জন্য খুব জনপ্রিয় ছিল। প্রকৃতপক্ষে আপনি যদি নেভিয়ার-স্টোকস সমীকরণগুলিতে নজর রাখেন, উচ্চ রেইনল্ডস সংখ্যায়, আপনি কার্যকরভাবে একক একক পেরিটোইথলেস সমস্যার মুখোমুখি হচ্ছেন, যা আপনি এখানে উল্লিখিত মত একটি সীমানা স্তর বিকাশ করেছেন (মজাদার ঘটনা: শব্দভাণ্ডারে শব্দ "সীমানা স্তর" বিশ্লেষণ আসলে তরল সীমানা স্তর সমস্যা থেকে আসে যা আমি স্রেফ বর্ণনা করেছি)।

$u_0 = 1$