নির্দিষ্ট সংখ্যক আরএইচএস মূল্যায়নের জন্য অনুকূল ওডিই পদ্ধতি

Question

অনুশীলনে, সংখ্যাগতভাবে IVP ˙ x ( t ) = f ( t , x ( t ) ) সমাধান করার রানটাইম এক্স ( T 0 ) = এক্স 0 প্রায়ই মূল্যায়নের ডানদিকে (RHS) সময়কাল দ্বারা প্রভাবিত হয় চ । আসুন সুতরাং ধরে নেওয়া যাক যে সমস্ত অন্যান্য ক্রিয়াকলাপ তাত্ক্ষণিক (অর্থাত্ গণনা ব্যতীত)। IVP সমাধানে জন্য সামগ্রিক রানটাইম সীমাবদ্ধ তাহলে এই মূল্যায়ন সংখ্যা সীমিত সমতূল্য চ কিছু এন ∈ এন ।

$$\dot{x}(t) = f(t, x(t)) \quad \text{ for } t \in [t_0, t_1]$$ $$x(t_0) = x_0$$ $f$$f$$N \in \mathbb{N}$

আমরা কেবলমাত্র চূড়ান্ত মান ।$x(t_1)$

আমি তাত্ত্বিক এবং ব্যবহারিক ফলাফলগুলির সন্ধান করছি যা আমাকে এ জাতীয় সেটিংয়ের সেরা ওডিই পদ্ধতিটি চয়ন করতে সহায়তা করে।

যদি উদাহরণস্বরূপ, তারপর আমরা IVP প্রস্থ দুই স্পষ্ট ইউলার পদক্ষেপ ব্যবহার সমাধান করতে পারে ( T 1 - টি 0 ) / 2 অথবা এক প্রস্থ পদক্ষেপ টন 1 - টি 0 মিডপয়েন্ট পদ্ধতি ব্যবহার করে। কোনটি পছন্দনীয় তা তা আমার কাছে তাত্ক্ষণিকভাবে পরিষ্কার নয়। বৃহত্তর এন এর জন্য , অবশ্যই একাধিক-পদক্ষেপের পদ্ধতিগুলি, পুনরাবৃত্ত রঞ্জ-কোট্টা স্কিম ইত্যাদি সম্পর্কে চিন্তাভাবনা করা যেতে পারে one$N = 2$$(t_1 - t_0)/2$$t_1 - t_0$$N$

আমি কি খুঁজছি বেশী যে অস্তিত্ব, উদাহরণস্বরূপ, সমচতুষ্কোণতা নিয়ম জন্য অনুরূপ ফলাফল নেই: আমরা বাছাই করতে পারেন ওজন { W আমি } এবং সংশ্লিষ্ট পয়েন্ট { এক্স আমি } যেমন যে সমচতুষ্কোণতা নিয়ম Σ এন আমি = 1 W আমি g ( x i ) সমস্ত বহুপদী g যেমন d e g ( g ) ≤ 2 n - 1 এর জন্য নির্ভুল ।$n$$\{w_i\}$$\{x_i\}$$\sum_{i = 1}^n w_i g(x_i)$$g$$deg(g) \le 2n - 1$

অত: পর আমি ODE পদ্ধতি বিশ্বব্যাপী সঠিকতা প্রসঙ্গে ঊর্ধ্ব বা নিম্ন সীমা খুঁজছেন করছি, RHS মঞ্জুরিপ্রাপ্ত মূল্যায়ন একটি সীমিত সংখ্যক দেওয়া । এটি ঠিক আছে যদি সীমাটি কেবল আরএইচএসের কয়েকটি শ্রেণির জন্য থাকে বা সমাধান x এর জন্য অতিরিক্ত বাধা সৃষ্টি করে (যেমন চতুর্ভুজ রুলের ফলাফলের জন্য যা কেবলমাত্র একটি নির্দিষ্ট ডিগ্রি পর্যন্ত বহুপদী থাকে)।$f$$x$

সম্পাদনা: কিছু পটভূমি তথ্য: এটি হার্ড রিয়েল-টাইম অ্যাপ্লিকেশনগুলির জন্য, অর্থাত্ অবশ্যই একটি নির্দিষ্ট সময়সীমার আগে অবশ্যই উপলব্ধ থাকতে হবে। সুতরাং আরএইচএস মূল্যায়নের সংখ্যাটির সীমা সীমাবদ্ধভাবে মূল প্রভাব ফ্যাক্টর হিসাবে N। সাধারণত আমাদের সমস্যাগুলি কঠোর এবং তুলনামূলকভাবে ছোট।$x(t_1)$$N$

সম্পাদনা 2: দুর্ভাগ্যক্রমে আমার কাছে সঠিক সময়ের প্রয়োজনীয়তা নেই, তবে এটি অনুমান করা নিরাপদ যে বরং ছোট হবে (অবশ্যই <100, সম্ভবত 10 এর কাছাকাছি)। রিয়েল-টাইম প্রয়োজনীয়তার পরিপ্রেক্ষিতে আমাদের মডেলগুলির যথার্থতা (আরএইচএসের দীর্ঘায়িত কার্যকর সময়ের সাথে আরও ভাল মডেল এবং এরপরে নিম্ন এন এর দিকে উন্নত মডেলগুলি ) এবং ওডিই পদ্ধতির নির্ভুলতার (আরও বেশি প্রয়োজনীয় প্রয়োজনীয় পদ্ধতির সাথে) মধ্যে একটি ট্রেড অফ খুঁজে পেতে হবে এন এর মান )।$N$$N$$N$

Comments

নিউটন-কোটেস পদ্ধতির সাথে স্থির পদক্ষেপের রানেজ-কত্তা পদ্ধতির স্বাভাবিক চিঠিপত্র IVP ক্ষেত্রে আর কে পদ্ধতি প্রয়োগের ক্ষেত্রে প্রযোজ্য ; উদাহরণস্বরূপ, সেই আইভিপিতে ক্লাসিকাল চতুর্থ-আদেশ পদ্ধতি প্রয়োগ করা f ( x ) এর উপর সিম্পসনের নিয়ম সম্পাদনের সমতুল্য । $y^\prime=f(x)$$f(x)$

— জেএম

@ জেএম: আমি এটি সম্পর্কে সচেতন। আমি কেবলমাত্র ফাংশন মূল্যায়নের সংখ্যা সীমাবদ্ধ থাকাকালীন নির্দিষ্ট ইনপুটগুলির জন্য একটি সংখ্যাগত পদ্ধতির যথার্থতা চিহ্নিতকরণের উদাহরণ হিসাবে চতুর্ভুজ নিয়মগুলি ব্যবহার করার উদ্দেশ্যেছিলাম। এটি বাদ দিয়ে আমি "সত্য" ওডিইএসে আগ্রহী, অর্থাত্ যা মানক সংহতকরণে হ্রাস পায় না।

— ফ্লোরিয়ান ব্রুকার

এটি আরও আকর্ষণীয় হয়ে উঠছে। এখন সংখ্যাটি নিজেই কিছু বোঝায় না। কি সহায়ক হতে পারে জানা λ এন / টি , যেখানে টি ইন্টিগ্রেশন মধ্যে ব্যবধান দৈর্ঘ্য এবং λ এর Lipschitz ধ্রুবক চ সম্মান সঙ্গে এক্স । এটি আমাদের বলবে যে সমস্যাটি আসলেই কড়া। এটি কঠোরভাবে ধরে নেওয়া, সম্ভাব্য প্রার্থী হ'ল ২ য় অর্ডার বিডিএফ পদ্ধতি। $N$$\lambda N/T$$T$$\lambda$$f$$x$

— ডেভিড কেচসন

@ ডেভিডকিচসন: নির্দিষ্ট সমস্যার জন্য সর্বোত্তম পদ্ধতির পরিবর্তে প্রদত্ত সমস্যার জন্য উপযুক্ত পদ্ধতি বেছে নেওয়ার জন্য আমি সাধারণ পদ্ধতির প্রতি আগ্রহী। আমাদের কাছে এমন একটি বৃহত সংখ্যক মডেল রয়েছে যা কঠোরতা এবং সময় প্রয়োজনের সাথে ব্যাপকভাবে পরিবর্তিত হয়।

— ফ্লোরিয়ান ব্রুকার

আপনি বলছেন যে মূল্যায়নের জন্য খুব ব্যয়বহুল। আপনি কি আদৌ কোনও জ্যাকবীয় গণনা করতে পারবেন? নীতিগত কঠোরতা সংশোধন করতে পারে এমন কিছু অনুমানের বিষয়ে কী? আপনার সমস্যাটি যদি খুব শক্ত হয় এবং আপনার এটি সংশোধন করার কোনও উপায় না থাকে তবে আপনি ভাল অবস্থানে নেই। $f$

— জেদ ব্রাউন

Answer 1

আমি মনে করি আপনার প্রশ্নের উত্তর দেওয়ার জন্য একটি মূল রেফারেন্স হেসিয়া এবং শম্পাইন এই পেপার । এখন আমি কিছু পটভূমি দেব।

সাধারণভাবে, সংখ্যার সাথে আইভিপি সংহত করার সময় আপনি যে পদক্ষেপের আকারটি ব্যবহার করতে পারেন তা স্থায়িত্ব বা নির্ভুলতার দ্বারা সীমাবদ্ধ করা যেতে পারে। আপনি যদি স্থিতির দিক থেকে সেরা সমাধানকারী চয়ন করতে চান তবে আপনাকে পরম স্থিতিশীলতার অঞ্চলটি বিবেচনা করা উচিত । এক-পদক্ষেপ পদ্ধতির জন্য এটি

$$S = \{ z \in {\mathbb C} : |P(z)|\le 1\}.$$

এখানে হল পদ্ধতির স্থায়িত্ব ফাংশন; যেমন হায়ার এট এর পাঠ্য দেখুন। অল। স্থিতিশীলতার জন্য প্রয়োজনীয় শর্ত যে λ জ ∈ S যেখানে λ এর jacobian এর eigenvalues উপর রেঞ্জ চ এবং জ পদক্ষেপ আকার। ননলাইনার সমস্যাগুলির জন্য এটি সর্বদা পর্যাপ্ত শর্ত নয় তবে এটি সাধারণত থাম্বের একটি ভাল নিয়ম এবং অনুশীলনে ব্যবহৃত হয়।$P(z)$$\lambda h \in S$$\lambda$$f$$h$

বৃহত স্থিতিশীল পদক্ষেপের মাপগুলিকে মঞ্জুরি দেওয়ার (স্পষ্ট) পদ্ধতিগুলির সমস্যার বিস্তৃত চিকিত্সার জন্য, স্থায়িত্বের বহুবর্ষ সম্পর্কে আমার এই গবেষণাপত্রটি এবং সংকোচনযোগ্য তরল সিমুলেশনগুলির জন্য রানজে-কত্তা পদ্ধতির অনুকূলিতকরণের জন্য এটি দেখুন ।

স্থিতিশীলতা হ'ল প্রাসঙ্গিক উদ্বেগ যদি আপনি দেখতে পান যে বৃহত্তম স্থিতিশীল ধাপের আকারটি ইতিমধ্যে আপনাকে পর্যাপ্ত নির্ভুলতা দেয়। অন্যদিকে, পদক্ষেপের আকারটি আপনার নির্ভুলতার প্রয়োজনীয়তার দ্বারা সীমাবদ্ধ হতে পারে। সাধারণত যা করা হয় তা হ'ল স্থানীয় ত্রুটি নিয়ন্ত্রণ। সমাধান দুটি পদ্ধতি ব্যবহার করে গণনা করা হয়, এবং তাদের পার্থক্যটি কম নির্ভুল একটিতে ত্রুটির অনুমান হিসাবে ব্যবহৃত হয়। ধাপের আকারটি যথাযথভাবে নির্ধারিত সহনশীলতা অর্জনের জন্য অভিযোজিতভাবে নির্বাচন করা হয়।

দুটি তাত্ত্বিক ব্যবস্থা যথাযথ দক্ষতার পূর্বাভাস দেওয়ার মূল চাবিকাঠি। প্রথমটি হ'ল পদ্ধতির যথার্থতার ক্রম , যা ধাপের আকার হ্রাস হওয়ার সাথে সাথে ত্রুটি শূন্যের কাছে পৌঁছায় এমন হারকে বর্ণনা করে। দ্বিতীয়টি হ'ল নির্ভুলতা দক্ষতা সূচক (উপরের প্রথম বাক্যে সংযুক্ত হোসিয়া এবং শ্যাম্পিনের কাগজটি দেখুন) যা ত্রুটির শর্তগুলিতে উপস্থিত হওয়া ধ্রুবকগুলিকে বিবেচনা করে এবং একই ক্রমের পদ্ধতির মধ্যে তুলনা করার অনুমতি দেয়।

বিস্তৃত পদ্ধতির যথার্থতা এবং স্থায়িত্ব দক্ষতা নোডপাই (অস্বীকৃতি: নোডপাই আমার দ্বারা বিকাশকৃত) ব্যবহার করে একটি সহজ এবং স্বয়ংক্রিয় পদ্ধতিতে গণনা করা যেতে পারে ।

Comments

ধন্যবাদ. হোসিয়া এবং শ্যাম্পিনের কাগজটি সত্যই আকর্ষণীয়। আপনি কি কঠোর সমস্যার জন্য একই রকম ফলাফল সম্পর্কে জানেন? আমি সচেতন যে একজন সাধারণত সেগুলির জন্য অন্তর্ভুক্ত পদ্ধতিগুলি ব্যবহার করে, তবে আরএইচএস মূল্যায়নের সংখ্যার সাথে এগুলির কোনও অগ্রাধিকার আবদ্ধ নেই, তাই আমার ক্ষেত্রে এগুলি খুব কম ব্যবহার করে।

— ফ্লোরিয়ান ব্রুকার

কড়া সমস্যার জন্য আমি এর মতো কিছু জানি না, তবে আমার সন্দেহ আছে যে কিছু আছে। আপনি যেমনটি বলেছেন, অন্তর্নিহিত পদ্ধতিগুলি ব্যবহার করার সময় প্রশ্নটি আরও সূক্ষ্ম হয়। একটি পদ্ধতির মধ্যে রোজনব্রক পদ্ধতি ব্যবহার করা হতে পারে, যা কঠোর সমস্যাগুলি ভালভাবে পরিচালনা করে তবে একটি নির্দিষ্ট সংখ্যক আরএইচএস মূল্যায়ন রয়েছে।

— ডেভিড কেচসন

Answer 2

এই দিকটিতে অনেকগুলি ফলাফল নেই কারণ এটি কেবল নির্ভুলতা নির্ধারণের চেয়ে আরও বেশি কঠিন, কারণ স্থায়িত্বের বিবেচনায় প্রায়শই আপনাকে সময়-পদক্ষেপগুলি বেছে নেওয়া প্রয়োজন যা আপনি যে সঠিকতার চেয়ে প্রয়োজন তার চেয়ে ছোট are সুতরাং ফলাফলগুলি কঠোর এবং অ-কড়া মামলার মধ্যে বিভক্ত হয়। পূর্ববর্তী ক্ষেত্রে সময়-পদক্ষেপ এবং আরএইচএস মূল্যায়নের প্রয়োজনীয়তাগুলি যথার্থতার দ্বারা পরিচালিত হয় না এবং পরবর্তী ক্ষেত্রে তারা হয়।

আমি স্পষ্ট পদ্ধতিতে ফোকাস করতে যাচ্ছি, যেহেতু অন্তর্নিহিত কেসটি আপনাকে কতটা আরএইচএস মূল্যায়ন ব্যবহার করতে হবে তা খুব কম স্পষ্ট .. এটি সম্পূর্ণরূপে নির্ভর করে যে আপনি কীভাবে ফলাফলের সিস্টেমটি সমাধান করার সিদ্ধান্ত নিয়েছেন।

অ-কঠোর সিস্টেমগুলির জন্য:

সুস্পষ্ট রঞ্জ-কত্তা পদ্ধতির মঞ্চ সীমাবদ্ধতা রয়েছে যার জন্য নির্দিষ্ট নির্দিষ্ট ক্রম অর্জনের জন্য কত ধাপ (আরএইচএস মূল্যায়ন) প্রয়োজন তা বলা হয়েছে। চতুর্থ ক্রমের পরে পর্যায়ে সংখ্যা যথাযথতার ক্রম ছাড়িয়ে যায় এবং বৈষম্য বাড়তে থাকে। কসাইরের বড় ওডিই বই: http://books.google.com/books/about/Numerical_Methods_for_Ordinary_Differences.html?id=opd2NkBmMxsC

এই 'অ-অস্তিত্ব' প্রমাণগুলির কিছু ব্যাখ্যা করার জন্য একটি ভাল কাজ করে।

আপনার চৌম্বকীয় নিয়মের উদাহরণটি হয় অ্যাডামস-বাশফোর্থের মতো একটি মাল্টিস্টেপ ধরণের পদ্ধতিতে বা এখন বর্ণালী-স্থগিত-সংশোধন পদ্ধতি হিসাবে পরিচিত যাকে বলে। অ্যাডামস-বাশফোর্থের জন্য আপনার প্রতি পদক্ষেপের জন্য কেবল একটি আরএইচএস মূল্যায়ন প্রয়োজন, তবে স্থায়িত্ব অঞ্চলগুলি এই পদ্ধতির জন্য সাধারণভাবে খুব কম হওয়ায় আপনি সাধারণত আরএইচএস মূল্যায়নের ক্ষেত্রে একই সাথে একটি রানেজ-কত্তা পদ্ধতি হিসাবে সমান পরিমাণ কাজ শেষ করেন same অর্ডার।

বর্ণালী স্থগিত সংশোধন সম্পর্কিত একটি কাগজ এখানে:

https://www.google.com/search?q=spectral+deferred+correction&aq=f&oq=spectral+deferred+correction&aqs=chrome.0.57j0l2j62.3336j0&sourceid=chrome&ie=UTF-8

আমি নিশ্চিত নই যে এই সংহতকরণের পদ্ধতিগুলি স্ট্যান্ডার্ড স্পষ্ট পদ্ধতিগুলির বিরুদ্ধে কীভাবে খেলবে, প্রায়শই চতুর্ভুজ নোডগুলিতে সমাধানের রাজ্যগুলি সংরক্ষণ করতে তাদের অনেক বেশি মেমরির প্রয়োজন হয় এবং তাই আমি সেগুলি নিজেই কখনও ব্যবহার করি নি।

কঠোর সিস্টেমের জন্য:

$S$$2S^2$$S-1$$S$

Comments

এটি ঘটতে পারে যে কোনও ভেরিয়েবল স্টেপ (বা এমনকি ভেরিয়েবল অর্ডার) পদ্ধতি ব্যবহার করা কুকুরের দ্বারা একটি নির্দিষ্ট পদক্ষেপের পদ্ধতিতে আটকে থাকার চেয়ে আরও দক্ষ হতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, কেউ বুলির্শ-স্টোয়ারের মতো একটি বহির্মুখী পদ্ধতি ব্যবহার করার বিষয়ে বিবেচনা করতে পারে: কয়েকটি পদক্ষেপে কয়েকটি মূল্যায়ন করুন এবং তারপরে এই পদক্ষেপগুলির ফলাফল থেকে আরও নিখুঁত অনুমান তৈরি করুন build

— জেএম

সত্য। প্রকৃতপক্ষে অনেকগুলি সর্বোত্তম পদ্ধতি এক অর্থে অন্য সময়ের স্টেপারের একটি পরিবর্তনশীল ধাপ সংস্করণের সমতুল্য। উদাহরণস্বরূপ রঞ্জ-কত্তা-চেভসেভকে দেখা যেতে পারে ফরোয়ার্ড অয়লারকে চেবিশেভ পয়েন্ট হিসাবে চলক সময়-পদক্ষেপের সাথে প্রয়োগ করা হয়েছিল।

— রিড.এচচসন

@ জেএম: হুবহু তবে এই পদ্ধতির যথাযথতা বিচারের কোনও উপায় কি সংখ্যার পরীক্ষাগুলি বাদ দিয়ে আরএইচএস মূল্যায়নের সংখ্যাকে কমিয়ে আনতে পারে (সম্ভাব্য পদ্ধতির উচ্চ সংখ্যার ভিত্তিতে খুব জড়িত হবে)?

— ফ্লোরিয়ান ব্রুকার

@ ফ্লোরিয়ান, সাধারণভাবে নয়। আমার ধারণা, আপনি লরেঞ্জের সমীকরণ শুনেছেন?

— জেএম

@ জেএম: হ্যাঁ :) সে কারণেই আমি চতুর্ভুজ উদাহরণটি উল্লেখ করেছি, যেখানে নির্ভুলতাটি মূল সমস্যার জায়গার একটি উপসেট (বহুভুজ) পরিমাপ করা হয়। আমি ফলাফলগুলি নিয়ে খুশি হব যা কেবলমাত্র সমস্যার নির্দিষ্ট উপসেটের জন্য কাজ করে।

— ফ্লোরিয়ান ব্রুকার

Answer 3

$10^{-14}$$f(x)$

অবশ্যই ব্যতিক্রম রয়েছে (খুব বড় সিস্টেম, খুব শক্ত সিস্টেম) তবে সম্প্রদায়ের একটি সাধারণ অনুভূতি হ'ল "স্ট্যান্ডার্ড" সিস্টেমগুলির জন্য ওডিই সলভার ডিজাইনের প্রশ্নটি একটি সমাধান হওয়া। ফলস্বরূপ, আমি মনে করি আপনি যে প্রশ্নটি উত্থাপন করেছেন এটি খুব আকর্ষণীয় নয় - এটি ওডিই সলভার ডিজাইনের এমন একটি উপাদানকে সম্বোধন করে যা এখন আর গুরুত্ব দেয় না। এটি বিষয়টিতে সাহিত্যের অভাবকেও ব্যাখ্যা করতে পারে।

Comments

+1 টি। যখনই কেউ দক্ষ ওডিই সলভার সম্পর্কে জিজ্ঞাসা করবেন, আমি কেবল ধরে নিই যে তারা পিডিই আধা-বিচক্ষণতা বা বৃহত্তর এন-বডি সমস্যা থেকে আসা ওডিইয়ের বিশাল সিস্টেমে আগ্রহী।

— ডেভিড কেচসন

এটি দয়া করে ব্যাখ্যা করতে পারেন যে এটি আমার প্রশ্নের সাথে কীভাবে সম্পর্কিত? আমি সংযোগটি দেখতে পাচ্ছি না, যেহেতু আমি সেই ক্ষেত্রে আগ্রহী যেখানে মূল্যায়ন f(x)নিখরচায় নয় বরং এত ব্যয়বহুল যে মূল্যায়নের সংখ্যা সীমিত।

— ফ্লোরিয়ান ব্রুকার

@ ডেভিডকেটসন: এখানে এটি হয় না। এটি বরং এটি যে আমাদের দুর্বল হার্ডওয়্যার (এম্বেডড ডিভাইস) এ খুব কঠোর সময় প্রয়োজন (হার্ড রিয়েল-টাইম) রয়েছে। ওডিই সিস্টেমগুলি নিজের তুলনামূলকভাবে ছোট।

— ফ্লোরিয়ান ব্রুকার

$N$$N$$N$$N$

$N$$N$$N<1000$

— ওল্ফগ্যাং ব্যাঙ্গারথ

Answer 4

$O(\mathit{dim}^3)$$O(\mathit{dim}^2)$

সুতরাং প্রথম বিষয়টি নিশ্চিত করা হয় যে আপনার আরএইচএস অন্তর্নিহিত লিনিয়ার বীজগণিতের তুলনায় সত্যিই বেশি ব্যয়বহুল।

দ্বিতীয় বিষয়: এটি সাহিত্যের থেকে জানা যায় যে "ব্যয়বহুল" পদ্ধতিগুলির (যেমন সুস্পষ্ট আরকে পদ্ধতিগুলি) এর উপর ভিত্তি করে সলভারগুলি কখনও কখনও "সস্তা" বিষয়গুলির (স্পষ্টত মাল্টিস্টেপ পদ্ধতি) এর চেয়ে দ্রুত সম্পাদন করে।

সংক্ষেপে, আমি মনে করি যে আপনি কেবল আরএইচএস মূল্যায়ন গণনা বিবেচনা করা উচিত নয়।

Comments

$N$