ম্যাট্রিক্সকে ইনভার্ট করার জন্য "কোফ্যাক্টর টেকনিক" এর কোন ব্যবহারিক তাত্পর্য আছে?

শিরোনামটি প্রশ্ন। এই কৌশলটিতে "কোফ্যাক্টরগুলির ম্যাট্রিক্স", বা "অ্যাডজুগেট ম্যাট্রিক্স" ব্যবহার করা জড়িত এবং একটি বর্গ ম্যাট্রিক্সের বিপরীত উপাদানগুলির জন্য সুস্পষ্ট সূত্র দেয়। বলুন, চেয়ে বড় ম্যাট্রিক্সের পক্ষে হাতে করা সহজ নয় $3\times 3$ । একটি $n\times n$ ম্যাট্রিক্সের জন্য, এটি ম্যাট্রিক্সের নিজেই নির্ধারককে গণনা করা এবং ম্যাট্রিকের $n^2$ নির্ধারকগুলির গণনা করা প্রয়োজন । সুতরাং আমি অনুমান করছি যে এটি অ্যাপ্লিকেশনগুলির জন্য কার্যকর নয়। তবে আমি নিশ্চয়তা চাই। $(n-1)\times(n-1)$

আমি ম্যাট্রিক্স সম্পর্কে উপপাদ্য প্রমাণ করার কৌশলটির তাত্ত্বিক তাত্পর্য সম্পর্কে জিজ্ঞাসা করছি না।

linear-algebra matrix complexity

— স্টিফান স্মিথ
সূত্র

উত্তর:

আপনি ঠিক বলেছেন - এটির গণনার ক্ষেত্রে এর কোনও ব্যবহারিক প্রাসঙ্গিকতা নেই। নির্ধারককে একটি অপারেশন হিসাবে গণনা করা হলেও , পদ্ধতির জটিলতা কমপক্ষে এবং ফলস্বরূপ, গাউসিয়ান নির্মূলের মতো একই জটিলতার। অনুশীলনে, একটি ম্যাট্রিক্সের নির্ধারককে গণনা করা আসলে তাত্পর্যপূর্ণ জটিলতা, এই পদ্ধতিটি সম্পূর্ণ অকেজো করে তোলে। $O(n)$ $O(n^3)$

— ওল্ফগ্যাং ব্যাঙ্গারথ
সূত্র

O (n!)

$O(n!)$

O (n^{3})

$O(n^3)$

O (n!)

$O(n!)$

det (A B) = det (A) det (B)

$\det(\mathbf A\mathbf B)=\det(\mathbf A)\det(\mathbf B)$

O (n^{3})

$O(n^3)$

হ্যাঁ, আপনি সঠিক - নির্ধারণকারীকে একটি পচনের ব্যয়ে গণনা করা যেতে পারে । (পুনরাবৃত্ত বিস্তৃতি ব্যবহার করে পাঠ্য পুস্তকগুলিতে যে নিখরচায় পথ দেখানো হয়েছে তা হ'ল - পল দ্বারা উল্লিখিত জটিলতা)। তবে এটি এখনও প্রস্তাবিত অ্যালগরিদমের জন্য এর সামগ্রিক জটিলতা অর্জন করে - গাউসিয়ান নির্মূলের চেয়ে অনেক বেশি, যদি কেউ এটি ব্যবহার করে তবে এটি পুনরাবৃত্ত সমাধানকারীদের চেয়েও বেশি।

L U

$LU$

n

$n$

n!

$n!$

O (n^{5})

$O(n^5)$

— ওল্ফগ্যাং ব্যাঙ্গারথ

সঠিক। সারি হ্রাস হ'ল পচনকে এক অর্ধেক । এটি কে ফ্যাক্টর হ্রাস করে । বাকি অর্ধেক কাজ একই আইটেমটি পরিচয় ম্যাট্রিক্স থেকে শুরু করে ম্যাট্রিক্স উপস্থাপন করছে। এটি সত্য যে আপনি পরবর্তী বিষয়গুলি যদি নির্ধারক হয় তবে আপনি পরবর্তীটিকে এড়াতে পারবেন।

L U

$LU$

A

$A$

U

$U$

L

$L$

— ওল্ফগ্যাং ব্যাঙ্গার্থ

আমি ভিড়ের বিরুদ্ধে যাচ্ছি - সংযুক্ত ম্যাট্রিক্স আসলে বিশেষ মাত্রার ক্ষুদ্র মাত্রা (যেমন চার বা তার কম) সহ কিছু বিশেষ প্রয়োগের জন্য খুব দরকারী, বিশেষত যখন আপনার ম্যাট্রিক্সের বিপরীত প্রয়োজন তবে স্কেলের কোনও যত্ন নেই।

দুটি উদাহরণের মধ্যে একটি বিপরীত হোমোগ্রাফির গণনা এবং খুব ছোট সমস্যাগুলির জন্য রায়লেগ ভাগফলের পুনরাবৃত্তি অন্তর্ভুক্ত থাকে (যা অ্যাডজুগেটের সাহায্যে সরলকরণের পাশাপাশি সংখ্যাটি আরও ভাল)।

— nonbasketless
সূত্র

আমি সম্পূর্ণরূপে একমত, কিছু ক্ষেত্রে আছে (সাধারণভাবে ছোট ম্যাট্রিক্স সহ) যেখানে এটি অনেক সহায়তা করে! (উদাহরণস্বরূপ, একটি ছোট

— সিম্পলেক্সে বেরিয়েনট্রিক