সীমাবদ্ধ-ভলিউম প্রথম অর্ডার আপউইন্ড স্কিমের সাথে অ-ধ্রুবক সহগগুলি কীভাবে চিকিত্সা করা উচিত?

11

সংরক্ষণ ফর্মের মধ্যে advection সমীকরণ দিয়ে শুরু।

u_{t} = (a (x) u)_{x}

$u_t = (a(x)u)_x$

যেখানে হ'ল একটি বেগ যা স্থানের উপর নির্ভর করে এবং সংরক্ষিত একটি প্রজাতির ঘনত্ব। $a(x)$ $u$

ফ্লাক্সকে আকর্ষণ করা (যেখানে ফ্লাক্স , জাল পয়েন্টগুলির মধ্যে কোষগুলির প্রান্তে সংজ্ঞায়িত করা হয়) দেয়, $f=a(x)u$

u_{t} = \frac{1}{h} (f_{j - \frac{1}{2}} - f_{j + \frac{1}{2}})

$u_t = \frac{1}{h}\left( f_{j-{\frac{1}{2}}} - f_{j+{\frac{1}{2}}} \right)$

প্রথম অর্ডার আপওয়াইন্ড ব্যবহার করে আমরা ফ্লাক্সগুলি আনুমানিক হিসাবে নির্ধারণ করি,

যা দেয়,

f_{j - \frac{1}{2}} = a (x_{j - \frac{1}{2}}) u_{j - 1} f_{j + \frac{1}{2}} = a (x_{j + \frac{1}{2}}) u_{j}

$f_{j-{\frac{1}{2}}} = a(x_{j-\frac{1}{2}})u_{j-1} \\ f_{j+{\frac{1}{2}}} = a(x_{j+\frac{1}{2}})u_{j}$

u_{t} = \frac{1}{h} (a (x_{j - \frac{1}{2}}) u_{j - 1} - a (x_{j + \frac{1}{2}}) u_{j})

$u_t = \frac{1}{h} \left( a(x_{j-\frac{1}{2}})u_{j-1} - a(x_{j+\frac{1}{2}})u_{j} \right)$

যদি স্থির থাকে তবে এটি পরিচিত আপুইন্ড স্কিমটি হ্রাস করবে, $a(x)$ । $u_t = \frac{a}{h} \left( u_{j-1} - u_{j} \right)$

আমার প্রশ্ন হ'ল আমরা কীভাবে অ্যাডভেশন সমীকরণের অ-ধ্রুবক সহগগুলি আচরণ করতে পারি? বেগটি সেল কেন্দ্রগুলিতে সংজ্ঞায়িত করা হয়, সুতরাং একটি সহজ পদ্ধতির নিম্নলিখিতটি হবে,

a (x_{j - \frac{1}{2}}) \to a (x_{j - 1}) a (x_{j + \frac{1}{2}}) \to a (x_{j})

$a(x_{j-\frac{1}{2}}) \rightarrow a(x_{j-1}) \\ a(x_{j+\frac{1}{2}}) \rightarrow a(x_{j})$

এটি আমার পছন্দের পদ্ধতির কারণ এটি প্রয়োগ করা খুব সহজ।

তবে, আমরা ঘরের প্রান্তে বেগ নির্ধারণ করতে একটি গড় স্কিমও ব্যবহার করতে পারি (আমি অনুমান করছি),

a (x_{j - \frac{1}{2}}) \to \frac{1}{2} a (x_{j - 1}) + \frac{1}{2} a (x_{j}) a (x_{j + \frac{1}{2}}) \to \frac{1}{2} a (x_{j}) + \frac{1}{2} a (x_{j + 1})

$a(x_{j-\frac{1}{2}}) \rightarrow \frac{1}{2}a(x_{j-1} ) + \frac{1}{2}a(x_{j} ) \\ a(x_{j+\frac{1}{2}}) \rightarrow \frac{1}{2}a(x_{j} ) + \frac{1}{2}a(x_{j+1} ) \\$

ইন লেভেক এর বই তিনি বলেছেন,

$a(x)$ $a_j$ $a_{j−{\frac{1}{2}}}$

তবে তার পরে সে খুব বেশি বিস্তারিতভাবে বর্ণনা করে না। একটি সাধারণ পদ্ধতি কি?

আমি একটি সংরক্ষণ সমস্যার সমাধান করছি (আমি অ্যাডভেশন সমীকরণটি একটি ধারাবাহিকতা সমীকরণ হিসাবে ব্যবহার করছি) তাই আমি নিশ্চিত করতে চাই যে বিতর্ক প্রয়োগের পরে সংরক্ষণের সম্পত্তিটি সংরক্ষিত রয়েছে। আমি এই পরিবর্তনশীল সহগ সম্পর্কিত কোনও লুকানো বিস্ময় এড়াতে চাই! কারও কি কিছু সাধারণ মন্তব্য এবং দিকনির্দেশনা রয়েছে?

আপডেট নীচে দুটি সত্যিই ভাল উত্তর আছে এবং আমি কেবল একটি চয়ন করতে পারে :(

discretization finite-volume numerical-analysis

— boyfarrell
সূত্র

4

$a$

সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ কী (এবং আপনি ইতিমধ্যে আপনার প্রশ্নে এটি স্পর্শ করেছেন) তা হ'ল বিযুক্ত সিস্টেম এখনও রক্ষণশীল। আপনার স্কিমটি ফর্মটিতে লেখা যেতে পারে

$\frac{\partial u_j}{\partial t} = F_{j-\frac{1}{2}}(u_{j-1},u_j) - F_{j+\frac{1}{2}}(u_j,u_{j+1})$

তবে এটি রক্ষণশীল হওয়া উচিত, যেহেতু

$\frac{\partial}{\partial t}\int u dx = \sum_j\frac{\partial u_j}{\partial t}\delta x = \sum_j( F_{j-\frac{1}{2}}- F_{j+\frac{1}{2}} )\delta x = (F_{-\frac{1}{2}}-F_{N+\frac{1}{2}})\delta x$

আপনার সাধারণ পদ্ধতির কাজটি ঠিকঠাকভাবে করা উচিত, যেমন সেল কোষের ইন্টারফেসগুলিতে এটি সংজ্ঞায়িত করার জন্য কোষগুলির মধ্যে বেগের গড় বৃদ্ধি করা হয় তবে শর্ত থাকে যে বেগ সর্বদা ইতিবাচক থাকে। তদুপরি, আমি ভাবি না যে গড়পড়তা আপনাকে আরও উচ্চতর নির্ভুলতা জালিয়ে তুলবে, তাই আপনি সহজ উপায়ে পছন্দ করা ঠিক।

আপনি যদি বেগটির জন্যও সমাধান করে চলেছেন এবং আপনার সমীকরণের ব্যবস্থা রয়েছে তবে আপনার আরও যত্নবান হওয়া দরকার। তেমনি, আপনি যদি একটি ননলাইনার হাইপারবোলিক পিডিই সমাধান করছেন এবং ফ্লাক্স সীমাবদ্ধ ব্যবহার করছেন তবে আপনাকে আরও সতর্ক হতে হবে।

* তবে হাইপারবোলিক PDE- র সিস্টেমের জন্য, অচল গ্রিড ব্যবহার করা কৃত্রিম বিচ্ছুরণ / বিস্তারকে যথেষ্ট পরিমাণে প্রশমিত করতে পারে । আপনি যদি আরও জানতে চান, আরাকোয়া সি-গ্রিডগুলি দেখুন বা এই বইয়ের ৪ র্থ অধ্যায়টি দেখুন ।

— ড্যানিয়েল শাপেরো
সূত্র

ব্যাখ্যা করার জন্য আপনাকে ধন্যবাদ। এবং আপনার অন্তর্দৃষ্টি সঠিক; আমি সমীকরণের এমন একটি সিস্টেম সমাধান করছি যেখানে সমীকরণগুলির একটি হ'ল বেগ (অন্যান্য ভেরিয়েবলগুলির একটি পিডিই)। সমীকরণের সিস্টেমটি কেবলমাত্র 1 ডি, আমি অভিজাতীয় 1 ম অর্ডার আপউইন্ড পদ্ধতিটি ব্যবহার করতে যাচ্ছি (২ য় ক্রম কেন্দ্রীয় এবং আপওয়াইন্ডের মধ্যে ফ্লিপ করতে পারি) সম্ভবত ঘনিষ্ঠ ফিটিং সহ। আমি ফ্লাক্স সীমাবদ্ধ ব্যবহার করছি না, তবে সিস্টেমটি অ-রৈখিক। এই পরিস্থিতিতে আমার আরও "আরও যত্নবান" হওয়া দরকার?

— বয়ফ্যারেল

এটি যদি আপনি শক ওয়েভ এবং গঠনের মতো প্রত্যাশা করেন তবে এটি নির্ভর করে যদি কিছু অঞ্চলে বেগ শূন্যের নীচে চলে যায় বা যদি বেগটি এত বেশি হয়ে যায় যে আপনি কুরান্ট-ফ্রিডরিচস-লেউই শর্তটি থেকে দূরে চলে যাবেন কিছু ক্ষেত্রে. এটি বলেছিল, আমি প্রথমে সহজ পদ্ধতির চেষ্টা করব এটি দেখার জন্য এটি কার্যকর হয় কিনা, যা এটি ভালভাবে করতে পারে। যদি এটি ব্যর্থ হতে চলেছে, এটি এত দর্শনীয় এবং দ্ব্যর্থহীনভাবে করব, সুতরাং আমি মনে করি না যে আপনার রাডারটির নীচে কিছু ভুল স্লিপ হওয়ার বিষয়ে আপনার চিন্তা করার দরকার নেই।

— ড্যানিয়েল শাপেরো

হ্যাঁ আমি গতিটি কেবলমাত্র আমার ডোমেনের কেন্দ্রে কেবল অ-শূন্য হবে এবং কেন্দ্র থেকে দূরে সরে যাওয়ার সাথে সাথে দ্রুত শূন্যের কাছে যেতে আশা করি expect আমি সময় পদক্ষেপটি নির্বাচন করছি যাতে সিএফএল শর্তটি সন্তুষ্ট হয় (সর্বাধিক গতিবেগ ব্যবহার করে), জাল স্থির হয়ে যায়। শক ওয়েভের মানদণ্ড কী? আমি তা দেখার প্রত্যাশা করছি না (তবে আপনি কখনই জানেন না)।

— বয়ফ্যারেল

5

$a(x)$

আমি ধারাবাহিকভাবে যা বোঝাতে চাই তা হ'ল একমাত্র শর্ত যা অন্তরঙ্গকরণ সন্তুষ্ট করা দরকার is

a_{i + 1 / 2}^{+} = a_{i + 1 / 2}^{-}

$a_{i+1/2}^+ = a_{i+1/2}^-$

অন্য কথায়, যতক্ষণ না আপনার আন্তঃবোলক পদ্ধতিটি কোষের সীমানা জুড়ে অবিচ্ছিন্ন থাকে , ততক্ষণ আপনার বিচক্ষণতা রক্ষণশীল থাকার গ্যারান্টিযুক্ত।

এটি এখানে 1 ডি-তে বড় সমস্যার মতো মনে হচ্ছে না (এবং এটি হওয়া উচিত নয়) তবে মাল্টি-লেভেল এএমআর গ্রিডে মোটা-সূক্ষ্ম ইন্টারফেসে সমস্যা সৃষ্টি করতে পারে।

— GradGuy
সূত্র

u_{j + \frac{1}{2}}

$u_{j+\frac{1}{2}}$

a (x_{j + \frac{1}{2}})

$a(x_{j+\frac{1}{2}})$

a (x_{j + \frac{1}{2}}) \to a (x_{j + 1})

$a(x_{j+\frac{1}{2}}) \rightarrow a(x_{j+1})$

u_{j + \frac{1}{2}}

$u_{j+\frac{1}{2}}$

@ বয়ফারেল এই অর্থে সঠিক হবে যে পদ্ধতিটি রক্ষণশীল হতে চলেছে। এটি তবে সমাধানের যথার্থতাকে প্রভাবিত করে। প্রায়শই সময়, যেমন ENO স্কিমগুলিতে, একটি পুরো ফ্লাক্স ফাংশনটির প্রায় কাছাকাছি হয় এবং वेग এবং সমাধান পৃথকভাবে নয়।

— গ্রেডগুই

4

নির্ধারণ করতে আপনি যে কোনও ধরণের ইন্টারপোলেশন ব্যবহার করতে পারেন $a(x_{j-\frac{1}{2}})$

এটি কেন এমনটি দেখার জন্য বিবেচনা করুন যে রক্ষণশীলতার বিশ্লেষণমূলক সংজ্ঞাটি এটি

\frac{\partial}{\partial t} \int_{D} u (x) d x = \int_{\partial D} a (x) u (x) d S,

$\frac{\partial}{\partial t}\int_D u(x)\, dx = \int_{\partial D} a(x)u(x) dS,$

$D$

আমাদের বিবেচনার ফর্ম যদি হয়

u_{t} (x_{j}) = \frac{1}{h} (a (x_{j - \frac{1}{2}}) u_{j - \frac{1}{2}} - a (x_{j + \frac{1}{2}}) u_{j + \frac{1}{2}})

$u_t(x_j) = \frac{1}{h}\left(a(x_{j-\frac{1}{2}})u_{j-\frac{1}{2}} - a(x_{j+\frac{1}{2}})u_{j+\frac{1}{2}}\right)$

$x_1,\ldots, x_n$ $D = [c,d]$ $c = x_{\frac{1}{2}}$ $d = x_{n+\frac{1}{2}}$

\frac{1}{h} \sum_{j = 1}^{n} (a (x_{j - \frac{1}{2}}) u_{j - \frac{1}{2}} - a (x_{j + \frac{1}{2}}) u_{j + \frac{1}{2}}) = a (x_{\frac{1}{2}}) u_{\frac{1}{2}} - a (x_{n + \frac{1}{2}}) u_{n + \frac{1}{2}},

$\frac{1}{h}\sum_{j=1}^n\left(a(x_{j-\frac{1}{2}})u_{j-\frac{1}{2}} - a(x_{j+\frac{1}{2}})u_{j+\frac{1}{2}}\right) = a(x_{\frac{1}{2}})u_{\frac{1}{2}} - a(x_{n+\frac{1}{2}})u_{n+\frac{1}{2}},$

$u_{j-\frac{1}{2}} = u_{j-1}$ $u_{j+\frac{1}{2}} = u_j$ $a(x)u$

$a(x)$ $a(x_{j-r}), \ldots, a(x_{j+s})$ $a(x_{j-\frac{1}{2}})$

— বেন
সূত্র