সসীম-ভলিউম পদ্ধতি ব্যবহার করার সময় সীমানা শর্তগুলি কীভাবে প্রয়োগ করা উচিত?

আমার আগের প্রশ্নটি অনুসরণ করে আমি এই অ-ইউনিফর্ম সীমাবদ্ধ ভলিউম জালিতে সীমানা শর্ত প্রয়োগ করার চেষ্টা করছি,

বাম পাশের সীমানায় ভূতের ঘর অন্তর্ভুক্ত।

আমি ডোমেনের lhs ( রবিন টাইপের সীমানা শর্ত প্রয়োগ করতে চাই $x=x_L)$ , যেমন,

σ_{L} = (d u_{x} + a u) |_{x = x_{L}}

$\sigma_L = \left( d u_x + a u \right) \bigg|_{x=x_L}$

যেখানে সীমানা মান; যথাক্রমে সীমানা, advection এবং বিস্তারে সংজ্ঞাযুক্ত সহগ; $\sigma_L$ $a, d$ , ডেরিভেটিভ হয়সীমানা এ মূল্যায়ন এবংপরিবর্তনশীল, যার জন্য আমরা সমাধানে হয়। $u_x = \frac{\partial u}{\partial x}$ $u$ $u$

সম্ভাব্য পন্থা

আমি উপরের সীমাবদ্ধ শর্তের জালটিতে এই সীমানা শর্তটি বাস্তবায়নের দুটি উপায় সম্পর্কে ভাবতে পারি:

একটি ভূত কোষ পদ্ধতির।

ভূত কোষ সহ সীমাবদ্ধ পার্থক্য হিসাবে লিখুন $u_x$
$σ_{L} = d \frac{u_{1} - u_{0}}{h_{-}} + a u (x_{L})$ $\sigma_L = d \frac{u_1 - u_0}{h_{-}} + a u(x_L)$
উ: এর মধ্যবর্তী মানের, খুঁজে পেতে এবং পয়েন্টের সাথে লিনিয়ার ইন্টারপোলেশন ব্যবহার করুন । $x_0$ $x_1$ $u(x_L)$

খ। বিকল্পভাবে কোষগুলির উপরের গড়ের সাহায্যে সন্ধান করুন, $u(x_L)$ $u(x_L) = \frac{1}{2}(u_0 + u_1)$

উভয় ক্ষেত্রেই, ভূত কোষের উপর নির্ভরতা স্বাভাবিক উপায়ে (সসীম পরিমাণের সমীকরণের বিকল্পের মাধ্যমে) নির্মূল করা যেতে পারে।
একটি বহির্মুখী পদ্ধতি

( ) পয়েন্টে মানগুলি ব্যবহার করে জন্য একটি রৈখিক (বা চতুর্ভুজ) ফাংশন ফিট করুন । এটি মান সরবরাহ করবে । রৈখিক (বা চতুর্ভুজ) ফাংশনটি তখন সীমানায় ডেরিভেটিভ, এর মানের জন্য একটি অভিব্যক্তি খুঁজতে পৃথক হতে পারে । এই পদ্ধতির কোনও ভূত ঘর ব্যবহার করে না । $u(x)$ $x_1, x_2$ $x_3$ $u(x_L)$ $u_x(x_L)$

প্রশ্নাবলি

তিনটির কোনটি (1A, 1B বা 2) "স্ট্যান্ডার্ড" বা আপনি সুপারিশ করবেন?
কোন পদ্ধতির ক্ষুদ্রতর ত্রুটি পরিচয় করানো হয় বা সবচেয়ে স্থিতিশীল?
আমি মনে করি আমি নিজেই ভূত কোষের পদ্ধতির প্রয়োগ করতে পারি, তবে, কীভাবে এক্সট্রাপোলেশন পদ্ধতির প্রয়োগ করা যেতে পারে, এই পদ্ধতির কোনও নাম আছে কি?
লিনিয়ার ফাংশন বা চতুষ্কোণ সমীকরণের ফিটিংয়ের মধ্যে কি কোনও স্থায়িত্বের পার্থক্য রয়েছে?

নির্দিষ্ট সমীকরণ

আমি এই সীমানাটি অ-লিনিয়ার উত্স শব্দ সহ অ্যাডভেকশন-বিস্তারের সমীকরণের (সংরক্ষণ আকারে) প্রয়োগ করতে চাই,

u_{t} = - a u_{x} + d u_{x x} + s (x, u, t)

$u_t = -au_x + du_{xx} + s(x,u,t)$

উপরে এই সমীকরণ Discretising ব্যবহার জাল -method দেয়, $\theta$

w_{j}^{n + 1} - θ r_{a} w_{j - 1}^{n + 1} - θ r_{b} w_{j}^{n + 1} - θ r_{c} w_{j + 1}^{n + 1} = w_{j}^{n} + (1 - θ) r_{a} w_{j - 1}^{n} + (1 - θ) r_{b} w_{j}^{n} + (1 - θ) r_{c} w_{j + 1}^{n} + s (x_{j}, t_{n})

$w_{j}^{n+1} - \theta r_a w_{j-1}^{n+1} - \theta r_b w_{j}^{n+1} - \theta r_c w_{j+1}^{n+1} = w_j^n + (1-\theta) r_a w_{j-1}^n + (1-\theta) r_b w_j^n + (1-\theta) r_c w_{j+1}^n + s(x_j,t_n)$

তবে সীমানা পয়েন্টের জন্য ( ) জটিলতা হ্রাস করার জন্য আমি সম্পূর্ণ অন্তর্নিহিত স্কিম ( ) ব্যবহার করতে পছন্দ করি , $j=1$ $\theta=1$

w_{1}^{n + 1} - r_{a} w_{0}^{n + 1} - r_{b} w_{1}^{n + 1} - r_{c} w_{2}^{n + 1} = w_{1}^{n} + s_{1}^{n}

$w_{1}^{n+1} - r_a w_{0}^{n+1} - r_b w_{1}^{n+1} - r_c w_{2}^{n+1} = w_1^n + s_1^n$

ভুত পয়েন্ট , এটি সীমানা শর্ত প্রয়োগ করে মুছে ফেলা হবে। $w_0^{n+1}$

সহগের সংজ্ঞা রয়েছে,

r_{a} = \frac{Δ t}{h_{j}} (\frac{a h_{j}}{2 h_{-}} + \frac{d}{h_{-}})

$r_a = \frac{\Delta t}{h_j}\left( \frac{ah_j}{2h_{-}} + \frac{d}{h_{-}} \right)$

r_{b} = - \frac{Δ t}{h_{j}} (\frac{a}{2} [\frac{h_{j - 1}}{h_{-}} - \frac{h_{j + 1}}{h_{+}}] + d [- \frac{1}{h_{-}} - \frac{1}{h_{+}}])

$r_b = - \frac{\Delta t}{h_j}\left( \frac{a}{2}\left[ \frac{h_{j-1}}{h_{-}} - \frac{h_{j+1}}{h_{+}} \right] + d\left[-\frac{1}{h_{-}} - \frac{1}{h_{+}} \right]\right)$

r_{c} = \frac{Δ t}{h_{j}} (- \frac{a h_{j}}{2 h_{+}} + \frac{d}{h_{+}})

$r_c = \frac{\Delta t}{h_j}\left(- \frac{ah_j}{2h_{+}} + \frac{d}{h_{+}} \right)$

সমস্ত " " ভেরিয়েবল উপরের চিত্রের মতো সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে। অবশেষে, $h$ $\Delta t$ যা সময় পদক্ষেপ ( বিশেষ দ্রষ্টব্য এই একটি হল সরলীকৃত ধ্রুবক সঙ্গে কেস এবং কোফিসিয়েন্টস বাস্তবে " " কোফিসিয়েন্টস সামান্য বেশি এই কারণে জটিল)। $a$ $d$ $r$

boundary-conditions finite-volume numerical-analysis

— boyfarrell
সূত্র

সীমাবদ্ধ ভলিউম পদ্ধতিগুলির বিষয়ে লেভেকের আরও সাম্প্রতিক বইটি ভূতের কোষগুলির পক্ষে তাদের বাস্তবায়নের সরলতার কারণে সমর্থন করে, তবে আমি ত্রুটির শর্তগুলির আলোচনাটি মনে করতে পারি না।

— জেফ অক্সবেরি

আপনি যে সমীকরণগুলি সমাধান করতে চান তা নীচে রাখতে পারেন? যাওয়ার উপায়ও সমস্যার উপর নির্ভর করবে। উদাহরণস্বরূপ, এটি ভাল হতে পারে কারণ 'নিউমান' অংশের কারণে সীমানা পরিস্থিতিগুলি পৃথক পৃথক গঠনে প্রাকৃতিকভাবে সমাধানের মতো।

— জানুয়ারী

পরামর্শ দেওয়ার জন্য @ জিফঅক্সবেরি ধন্যবাদ। আমি ভুতের ঘর ব্যবহার করে খুশি, আমি চেষ্টা করব এবং সেভাবে বাস্তবায়ন করব।

— বয়ফ্যারেল

@ জান আমি প্রথমত সম-অ-জালযুক্ত বিভেদজনিত কারণে জটিলতার কারণে সমীকরণগুলিকে নীচে নামিয়ে দেওয়া এড়িয়ে গিয়েছি, তবে আমি এই বিবরণ দিয়ে প্রশ্নটি আপডেট করেছি। এটি অ্যাডভেকশন-ডিসফিউশন সমস্যা। "প্রাকৃতিকভাবে সমাধান" আপনি কী বোঝাতে চেয়েছেন তা আমি খুব বেশি নিশ্চিত নই।

— বয়ফ্যারেল

যেমন নিউম্যান বিসি'র মতো প্রাকৃতিকভাবে এফইএম স্কিমগুলি সমাধান করা হয়, যেমন পয়সনের একন। এফভিএম-এর জন্য আমি মনে করি: প্রথম কক্ষটি বিবেচনা করুন

। আপনার জন্য একটি মূল্য আছে যদি

\int_{0}^{h} d_{x} (a u + d u_{x}) d x = (a u + d u_{x}) |_{x = h_{1}} - (a u + d u_{x}) |_{x = 0} = \int s

$\int_0^h d_x (au+du_x) \text{d}x = (au+du_x)|_{x=h_1}-(au+du_x)|_{x=0} = \int s$

u_{x}

$u_x$ সীমানায় এটিকে বিযুক্ত করার দরকার নেই।

— জান

এটি বরং কংক্রিট প্রশ্নের উত্তরের চেয়ে এফভিএম সম্পর্কে একটি সাধারণ মন্তব্য। এবং বার্তাটি হ'ল সীমানা শর্তের এই জাতীয় অ্যাডহক বিবেচনার প্রয়োজন হবে না।

FE- বা FD- পদ্ধতিগুলির বিপরীতে, যেখানে সূচনার পয়েন্টটি সমাধানের জন্য একটি পৃথক আনস্যাটজ হয়, এফভিএম পদ্ধতির সমাধানটি আউটচুড (প্রথমে) ছেড়ে দেয় তবে ডোমেনের একভাগে গড় হিসাবে গড়ে যায়। সমাধানের বিচক্ষণতা তখনই কার্যকর হয় যখন ব্যালেন্স সমীকরণের প্রাপ্ত সিস্টেমটি ইন্টারফেসগুলির মধ্যবর্তী ফ্লাক্সকে প্রায় বদ্ধমূল করে একটি বীজগণিত সমীকরণ পদ্ধতিতে রূপান্তরিত করা হয়।

এই অর্থে, সীমাবদ্ধ অবস্থার পরিপ্রেক্ষিতে, আমি যতক্ষণ সম্ভব সমাধানের অবিচ্ছিন্ন ফর্মটি আটকে থাকার এবং কেবল একেবারে শেষের দিকে পৃথক পৃথক প্রবর্তন করার পরামর্শ দিচ্ছি।

বলুন, সমীকরণ

{তোমার দর্শন লগ করা}_{টি} = - একটি {তোমার দর্শন লগ করা}_{এক্স} + + ঘ {তোমার দর্শন লগ করা}_{এক্স এক্স} + + গুলি (এক্স, তোমার দর্শন লগ করা, টি)

$u_t = -au_x + du_{xx} + s(x,u,t)$ পুরো ডোমেন ধরে। তারপরে এটি সাবডোমেনকে ধারণ করে

[0, h_{1})

$[0,h_1)$ , এবং স্থান একীকরণ দেয়

\begin{aligned} \int_{0}^{h_{1}} u_{t} d x & = & \int_{0}^{h_{1}} \partial_{x} (- a u + d u_{x}) d x & + & \int_{0}^{h_{1}} s (x, u, t) d x \\ = & (- a u + d u_{x}) |_{x = h_{1}} - (- a u + d u_{x}) |_{x = 0} & + & \int_{0}^{h_{1}} s (x, u, t) d x, \end{aligned}

$\begin{align} \int_0^{h_1}u_t \text{d}x &=& \int_0^{h_1} \partial_x(-au + du_{x})\text{d}x &+& \int_0^{h_1} s(x,u,t)\text{d}x \\ &=& (-au + du_{x})|_{x=h_1}-(-au + du_{x})|_{x=0}&+&\int_0^{h_1} s(x,u,t)\text{d}x, \end{align}$ which is the contribution of the first cell to the equation system. Note that, apart from taking only averages, there has been no discretization of

u

$u$ .

But now, to turn this into an algebraic equation, one typically assumes that on cell $C_i$ the function $u$ is constant in space, i.e. $u(t,x)|_{C_i} = u_i(t)$ . Thus, having associated $u(x_i)\approx u_i$ , one can express $u_x|_{h_i}$ at the cell boarders via the difference quotient in $u_{i}$ and $u_{i+1}$ . To express $u$ at the cell boarders one can use interpolation (i.e. central differences or upwind schemes).

What to do at the boundary? In the example, it is all about approximating $(-au + du_{x})|_{x=0}$ , no matter what has been done to $u$ so far.

Given $u|_{x=0}=g_D$ one can introduce a ghost cell and the condition that an interpolant between $u_0$ and $u_1$ is equal to $g_D$ at the boarder.
Given ${u_x|}_{x=0} = g_N$ one can introduce a ghost cell and the condition that an approximation to the derivative between $u_0$ and $u_1$ matches $g_N$ at the boarder
If the flux itself is prescribed: $(-a u + du_x )|_{x=0}= g_R$ , there is no need for a discretization.

However, I am not sure, what to do in the case that there are Robin type bc's that do not match the flux directly. This, will need some regularization because of the discontinuity of the advection and diffusion parameters.

===> Some personal thoughts on FVM <===

FVM is not a scaled FDM, as examples of 1D Poisson's equations on a regular grid often suggest
There shouldn't be a grid in FVM, there should be cells with interfaces and, if necessary, centers
That's why I think that a stencil formulation of the discretization is not suitable
Assembling of the equation system should be done according to the discretization approach, i.e. by iterating over the cells rather than defining an equation for every unknown. I mean to think of the $i$ -th row of the coefficient matrix as the part of the problem posed on cell $\Omega_i$ , rather than of the equation that is associated with $u_i$ .
This is particularly important for 2D or 3D problems but may also help to have a clear notation in 1D: Make a difference between the volume (in 1D: length) of the cell, here $h_i$ , and the distance between the centers, maybe in 1D: $d_i:=d_{i,i+1}=|x_i-x_{i+1}|$ .

— Jan
সূত্র

Thanks for your guidance while I was learning about this method. Maybe I can share my thoughts too. I agree it is best to say with the FVM form for as long as possible; particularly for the boundary conditions as you have shown! But I think it is very helpful when implementing to write the equation in matrix form; it is a precise and clear notation. Also, the stability and other numerical properties crucially depend on how the problem is discretised (for FVM this means how the fluxes an the cell faces are approximated). In that respect I prefer a matrix equations, to iteration over cells.

— boyfarrell

Maybe my last point was ambiguous. In the end, you will have a coefficient matrix and a variable vector. I will edit my post. I was more about interpreting than actually doing.

— Jan

Fantastic, I understand your point. Thanks.

— boyfarrell