কীভাবে ভোরোনাই টেসলেশন এবং ডেলাউন ট্রাইঙ্গুলেশনে একে অপরের দ্বৈত সমস্যা রয়েছে?

Question

আমাকে সবসময় বলা হয়েছে যে ভোরোনাই চিত্রটি ডেলাউন ট্রায়াঙ্গুলেশন সমস্যার দ্বৈত। তারা কোন অর্থে একে অপরের দ্বৈত হতে পারে? আমি ভেবেছিলাম যে দ্বৈত সমস্যাগুলি (যেমন লিনিয়ার প্রোগ্রামিংয়ে) একই উত্তর দেওয়ার কথা। স্পষ্টতই, দুটি সমস্যার সমাধান একই নয়। আমরা কীভাবে তাদের দ্বৈত বিবেচনা করতে পারি?

Comments

দ্বৈততার বিভিন্ন প্রসঙ্গে বিভিন্ন অর্থ হতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, ফাংশন স্পেসে দ্বৈত স্পেস থাকতে পারে; একটি ফাংশন স্থান দ্বৈত স্থান সমস্ত রৈখিক functionals সমীকরণ হল ভী । গণিতে দ্বৈততা সম্পর্কিত উইকিপিডিয়া নিবন্ধগুলি দেখুন এবং উদাহরণগুলির জন্য দ্বৈত নীতিগুলির তালিকা । এই পটভূমিটি দেওয়া, "দ্বৈত সমস্যা হওয়ার অর্থ কী" এই প্রশ্নটি উভয়ই অস্পষ্ট এবং খুব বিস্তৃত, কারণ এটি প্রসঙ্গ নির্ভর dependent $V$$V$

— জেফ অক্সবেরি

এটি সত্য, তবে এই ক্ষেত্রে, আমি এই বিশেষ সমস্যাটির অর্থে দ্বৈততার জন্য বিশেষভাবে উল্লেখ করছি

— পল

আমি অনুভব করেছি, তাই আপনি যে অংশটি জিজ্ঞাসা করেছিলেন সেখানে সম্পাদনা করেছি "দ্বৈত সমস্যা হওয়ার অর্থ কী?" আরও সাধারণ সেটিংসে।

— জিফ অক্সবেরি 16'12

Answer 1

এর সহজ উত্তরটি হ'ল এগুলি দ্বৈত কারণ প্রতিটি ডেলাউন ট্রায়াঙ্গুলেশনের জন্য একটি এবং কেবলমাত্র একই ভারোণো টেসেল্লেশন এবং ভাইস বিপরীতে উপস্থিত রয়েছে। এটি বেশিরভাগ ক্ষেত্রে সত্য, তবে এমন ঘটনাও ছিল যা চিঠিপত্রের সাথে এক নয়। উদাহরণস্বরূপ, যখন ভোরোনাই টেসলেশন একটি নিয়মিত বর্গ গ্রিড হয়।

উভয় ভোরোনাই টেসলেসেলেশন এবং ডেলাউন ট্রায়াঙ্গুলেশন উভয়ই বিন্দুর একটি নির্দিষ্ট সংখ্যার জন্য গণনা করার জন্য তুচ্ছ নয়। তবে একবার আপনি খুঁজে পেয়েছেন অন্য একটিকে সহজেই খুঁজে পাওয়া যায়।

পয়েন্টের একটি সেট, , এর ডেলাউন ত্রিভুজলে সমস্ত ত্রিভুজগুলি "ডেলাউনয়ে", যার অর্থ ত্রিভুজগুলির কোনওটির সাথে খতরের বৃত্তের ভিতরে কোনও বিন্দু নেই।$P$

পয়েন্ট একটি সেট জন্য voronoi চৌখুপী অংকন, , voronoi কোষের সেট নিয়ে গঠিত আর , যেমন যে প্রতিটি পয়েন্টের জন্য আর আমি কাছাকাছি হয় পি আমি অন্য কোন বিন্দু থেকে তারপর পি ।$P$$R$$R_i$$P_i$$P$

ডেলাউনয়ে ত্রিভুজুলেশন দেওয়া কেবলমাত্র পার্শ্ববর্তী ত্রিভুজগুলি সার্কেল কেন্দ্রগুলিতে সংযুক্ত করে।

পয়েন্টগুলি সেট করে এবং ভেরোনাই টেস্টেলেশন কেবল প্রতিবেশী সেলগুলি পয়েন্টগুলিতে সংযুক্ত করে। এই দেওয়া আপনি বিন্দুর সেট জানি যে অবশ্যই হয় পি যখন voronoi চৌখুপী অংকন নির্মাণের ব্যবহৃত।$P$$P$

Answer 2

অন্যেরা কী বলছেন তা বোঝানোর জন্য: নীচের নীলে নীচে ভোরোনাই চিত্র, লাল দ্বৈত ডেলাউন ট্রায়াঙ্গুলিটি। তারা জ্যামিতিক বিমানের গ্রাফ হিসাবে একে অপরের দ্বৈত। ভোরোনাই চিত্র থেকে এটি ডেলাউনয়ের ত্রিভুজটি অর্জন করা তুচ্ছ। বিপরীত দিকটি এতটা সুস্পষ্ট নয়, তবে এটি সত্যই থেকে যায় যে ডেলাউনয় ট্রায়াঙ্গুলেশন এবং কিছু গণনা থেকে আপনি ভোরোনাই চিত্রটি গণনা করতে পারেন।
          
আমি গণিতের জ্যামিতি প্যাকেজটি ব্যবহার করে ম্যাথামেটিকায় 50 টি এলোমেলো পয়েন্টের জন্য এই চিত্রগুলি গণনা করেছি । আমার কোডের জন্য এই লিঙ্কটি দেখুন ।

Comments

তথ্যের জন্য ধন্যবাদ। এটা খুব খারাপ যে ম্যাথামেটিকা ​​কেবল অদ্বিতীয় ভোরোনাই টেস্টেলিকেশনগুলি করে; আমরা কোনও প্রকল্পের জন্য কয়েক মাস আগে এই জাতীয় ক্ষমতা ব্যবহার করতে পারতাম!

— আইজমেল

পাইথনেও এটি করা বেশ সহজ। Scipy.spatial দেখুন।

— meawoppl

Answer 3

${\bf P}$${\bf G}$$G_i$$P_i$$P_j \in {\bf P}, j \neq i$${\bf P}$

এক অর্থে, এটি স্ট্যাটিস্টিকাল পদার্থবিজ্ঞানে ত্রিভুজাকৃতির এবং ষড়ভুজীয় জালগুলির মধ্যে বিদ্যমান দ্বৈততার সাথে সমান। একটি সমবাহু ত্রিভুজাকার জালিতে কোষগুলির মিডপয়েন্টগুলি যখন সংযুক্ত থাকে তখন একটি ষড়্ভুজাকৃতির জাল তৈরি হয় এবং তদ্বিপরীত ।

যাইহোক, এটি উল্লেখ করা উচিত যে সমস্ত ভোরোনাই টেস্টেলিকেশনগুলি ডেলাউন ট্রায়াঙ্গুলেশনের দ্বৈত নয়; এই সম্পর্কটি সম্ভবত অনাবৃত ভোরোনাই পরীক্ষার জন্য বৈধ । ভারিত টেসলেশন পদ্ধতির জন্য, যেখানে ইউক্লিডিয়ান দূরত্ব ব্যতীত অন্য কিছু প্রান্তগুলি নির্ধারণ করার জন্য ব্যবহৃত হয়, দায়বদ্ধতাটি ভেঙে যায়।

Answer 4

জিওফের মন্তব্যে বিশদটি জানাতে: ডেলাউনাই ট্রায়াঙ্গুলেশন এবং ভোরোনাই চিত্রগুলি "সমস্যা" না হয়ে "বস্তু" are অতএব, "সমাধানগুলির" কথা বলা কিছুটা বন্ধ।

দ্বৈততা টেসালেশন এবং ত্রিভুজগুলির মধ্যে: ত্রিভুজ থেকে টেসলেসনে যাওয়ার জন্য, আপনি ত্রিভুজটির শীর্ষকোষের ভারোণোই সেট গঠন করেন। ভোরোনয় প্রবন্ধ থেকে ডেলাউন ট্রায়াঙ্গুলেশনে যেতে, আপনি দুটি কোষের "মিডপয়েন্টস" সংযুক্ত করে যদি তারা একে অপরকে স্পর্শ করে।

Answer 5

ভেরোনাই এবং ডেলাউন গ্রাফগুলিকে তাদের গ্রাফের বৈশিষ্ট্যের জন্য দ্বৈত বলা হয়। উইকিপিডিয়ায় দ্বৈত গ্রাফ দেখুন ।