একটি এসপিডি ত্রিভুজাকৃতির রৈখিক সিস্টেম দেওয়া, আমরা কি পূর্ববর্তী করতে পারি যাতে ও (1) সময়ে কোনও তিনটি সূচকে যুক্ত করা যায়?

একটি প্রতিসম ধনাত্মক সুনির্দিষ্ট ত্রিকোণাকার লিনিয়ার সিস্টেম যেখানে th এবং । প্রদত্ত তিনটি সূচকের , যদি আমরা মধ্যে কঠোরভাবে শুধুমাত্র সমীকরণ সারি অনুমান এবং হোল্ড, আমরা অন্তর্বর্তী ভেরিয়েবল ফর্মের একটি সমীকরণ পেতে বাদ দিতে পারে যেখানে । এই সমীকরণ এর মান সম্পর্কিত করার 'বাইরে' প্রভাব স্বাধীন (বলুন, যদি একটি বাধ্যতা প্রভাবিত চালু করা হয়)।

A x = b

$A x = b$

A \in R^{n \times n}

$A \in \mathbb{R}^{n \times n}$

b \in R^{n}

$b \in \mathbb{R}^n$

0 \leq i < j < k < n

$0 \le i < j < k < n$

i

$i$

k

$k$

u x_{i} + v x_{j} + w x_{k} = c

$u x_i + v x_j + w x_k = c$

v > 0

$v > 0$

x_{j}

$x_j$

x_{i}, x_{k}

$x_i,x_k$

x_{0}

$x_0$

প্রশ্ন : এটা রৈখিক সিস্টেম preprocess কি সম্ভব $Ax = b$ মধ্যে $O(n)$ সময় যাতে কোন লিঙ্ক সমীকরণ $(i,j,k)$ নির্ধারণ করা যেতে পারে $O(1)$ সময়?

যদি এর তির্যক $A$ 2 হয় তবে অফডিজোনালগুলি $-1$ এবং $b = 0$ , কাঙ্ক্ষিত ফলাফলটি বিযুক্ত পয়সন সমীকরণের বিশ্লেষণী ফলাফল। দুর্ভাগ্যক্রমে, একটি সাধারণ এসপিডি ত্রিভুজাকৃতির সিস্টেমকে ত্রিভুজাকৃতির কাঠামোটি ভেঙে না দিয়ে ধ্রুবক সহগ পোইসন সমীকরণে রূপান্তর করা সম্ভব নয়, মূলত কারণ বিভিন্ন ভেরিয়েবলের "স্ক্রিনিং" (স্থানীয়ভাবে কঠোর ইতিবাচক নির্ভুলতা) বিভিন্ন স্তরের থাকতে পারে। একটি সহজ তির্যক স্কেলিং $x$ , উদাহরণস্বরূপ, অর্ধেক বাদ দিতে পারে $2n-1$ এর DOFs $A$ কিন্তু বাকী অর্ধেক।

স্বজ্ঞাতভাবে, এই সমস্যার সমাধানের জন্য সমস্যার ব্যবস্থা করা দরকার যাতে স্ক্রিনিংয়ের পরিমাণ একটি রৈখিক আকারের অ্যারেতে জমা হতে পারে এবং তারপরে প্রদত্ত ট্রিপলের সংযোগের সমীকরণে পৌঁছতে কোনওভাবে "বাতিল" হয়ে যায়।

আপডেট (আরও অন্তর্দৃষ্টি) : পিডিইসের ক্ষেত্রে, আমার 1 ডি-তে একটি বিচক্ষণ রৈখিক উপবৃত্তীয় সমস্যা রয়েছে এবং আমি জানতে চাই যে আমি কোনও ধরণের "অ্যানালিটিক" সমাধান উত্পন্ন করতে প্রাক $O(n)$ পূর্বাংশ ব্যয় করতে পারি কিনা তা জানতে চাই that মধ্যে $O(1)$ সময়, যেখানে আমি তারতম্য যেখানে সীমানা শর্ত আছে অনুমতি দেওয়া করছি।

linear-algebra poisson

— জিওফ্রে ইরভিং
সূত্র

উত্তর:

এখানে কিছুটা অস্থির সমাধান রয়েছে যা কেবল তখন কার্যকর হয় যখন ভেরিয়েবলগুলির মধ্যে সংযুক্তকরণ সর্বদা অজস্র হয়। সরলতার জন্য ধরে নিন যে । প্রথমত, precompute জন্য সমীকরণ লিঙ্ক জন্য বলো $b = 0$ $n$ $(0,i,n-1)$ $0 \le i < n$

{এক্স}_{আমি} = {একটি}_{আমি} {এক্স}_{0} + + খ_{আমি} {এক্স}_{এন - 1}

$x_i = a_i x_0 + b_i x_{n-1}$

এখন, প্রদত্ত , আমরা ম এবং ম সংযোগ সমীকরণগুলি একত্রিত করতে পারি এবং পেতে বাদ দিতে পারি $i < j$ $i$ $j$ $x_{n-1}$

\begin{aligned} b_{j} x_{i} & = a_{i} b_{j} x_{0} + b_{i} b_{j} x_{n - 1} \\ b_{i} x_{j} & = a_{j} b_{i} x_{0} + b_{i} b_{j} x_{n - 1} \\ b_{j} x_{i} - b_{i} x_{j} & = (a_{i} b_{j} - a_{j} b_{i}) x_{0} \\ x_{i} & = \frac{a_{i} b_{j} - a_{j} b_{i}}{b_{j}} x_{0} + \frac{b_{i}}{b_{j}} x_{j} \end{aligned}

$\begin{aligned} b_j x_i &= a_i b_j x_0 + b_i b_j x_{n-1} \\ b_i x_j &= a_j b_i x_0 + b_i b_j x_{n-1} \\ b_j x_i - b_i x_j &= (a_i b_j - a_j b_i) x_0 \\ x_i &= \frac{a_i b_j - a_j b_i}{b_j} x_0 + \frac{b_i}{b_j} x_j \end{aligned}$

প্রদত্ত মুছে জন্য এই প্রক্রিয়াটি আরও একবার পুনরাবৃত্তি করা যেতে পারে । দুর্ভাগ্যক্রমে, আমরা নিকটে স্থায়িত্ব হারাব , বা সাধারণভাবে যদি ত্রিভুজাকৃতির সিস্টেমটি স্বাধীন ব্লকে বিভক্ত হয়। যদি এটি কোনও সমস্যা না হয় তবে আমি ক্ষুদ্র তবে ইতিবাচক মানগুলির জন্য ভাঙ্গন নিয়ে উদ্বিগ্ন। $x_0$ $(i,j,k)$ $b_j = 0$ $b_j = 0$

— জিওফ্রে ইরভিং
সূত্র

এটি প্রয়োগ করে, আমি নিশ্চিত করতে পারি যে (1) এটি সঠিক গাণিতিকতে কাজ করে এবং (2) এটি অত্যন্ত অস্থির is স্বজ্ঞাতভাবে, এই সমাধানটি ঘন ঘন ঘন ঘন ঘন ঘন ঘন ঘন ঘন ঘন ঘন ঘন ঘন ঘন ঘন ঘন ঘন ঘন ঘন ঘন ঘন ঘন ঘন ঘন ঘন ঘন ঘন ঘন ঘন ঘন ঘন ঘন ঘন ঘন ঘন ঘন ঘন ঘন ঘন ঘন ঘন ঘন ঘন ঘন ঘন ঘন ঘন ঘন ঘন ঘন ঘন ঘন ঘন ঘন ঘন ঘন ঘন।

— জেফ্রি ইরভিং

দেখে মনে হচ্ছে আপনার অভ্যন্তরীণ সূচকগুলির জন্য গ্রিনের ফাংশনের মতো কোনও কিছুকেই আপনার পদ্ধতির প্রতিরোধ করা। হওয়ার সময় আপনার সমস্যা হবে তখন অবাক হওয়ার কিছু নেই , যেহেতু সীমানা মানগুলি সম্পর্কে তথ্য খুব কমই প্রচার করতে পারে। আমি মনে করি না এটির কোনও সাধারণ উপায় থাকবে। দেখে মনে হচ্ছে আপনি গাছের কাঠামো (সম্ভবত এটি প্রাক্পম্পিউটিং প্রচেষ্টা) তৈরির চেয়ে আরও ভাল হতে পারেন যা আপনাকে সম্ভাব্য সমস্যার দাগগুলি বাইপাস করার জন্য ডোমেনের সাব-সেকশনগুলির জন্য গ্রিনের ক্রিয়াটি পেতে দেয়।

b_{j} \approx 0

$b_j\approx 0$

n \log n

$n\log n$

— ভিক্টর লিউ 21

গাছ সংস্করণ

precompute প্লাস

ট্রিপল প্রতি। দুর্ভাগ্যক্রমে আমি বিশেষত রৈখিক সময়ের সমাধানগুলি অনুসন্ধান করছি।

O (n)

$O(n)$

O (\log n)

$O(\log n)$

— জেফ্রি ইরভিং

আমি আশ্চর্য হই যে আপনি যদি এ এর একটি চক্রবৃদ্ধি-হ্রাসের কারণের সাথে দরকারী কিছু করতে পারেন (যা আমি বিশ্বাস করি যে এটি এখনও হে (এন) আকার), এ এর একটি সংক্ষিপ্ত প্রধান সাবমেট্রিক্স ফ্যাক্টর করার সময় যতগুলি ব্লক অপরিবর্তিত থাকবে তার পুনরায় ব্যবহার করুন এটি আপনাকে ও (1) দেয় তবে সম্ভবত ও (লগ এন) ...

— রবার্ট ব্রিডসন
সূত্র

হ্যাঁ,

সমাধানটি তাত্ক্ষণিক, তবে দুঃখের সাথে কাঙ্ক্ষিত পেপারের শিরোনামটি ভেঙে গেছে ("বাঁধাই বাধার সাথে উত্তল ত্রিভুজাকৃতির চতুর্ভুজ প্রোগ্রামগুলির জন্য একটি লিনিয়ার সময় সরাসরি দ্রাবক")।

O (\log n)

$O(\log n)$

— জেফ্রি ইরভিং

Orশ্বর্যকরণের কোনও সুযোগ আপনাকে সাহায্য করবে না?

— রবার্ট ব্রিডসন

অন্যান্য প্রচুর পরিমাণে চলছে, সুতরাং এটি বেশ সম্ভব। আমি এখনও জানি না, যদিও।

— জেফ্রি ইরভিং

এই খরচটি সীমাবদ্ধ করার জন্য আমার এটির দরকার হবে: cstheory.stackexchange.com/questions/18655/… ।

— জেফ্রি ইরভিং

গ্রেট! কেউ st চিস্ত্রি প্রশ্নটির দুর্দান্ত সমাধান পোস্ট করেছেন, সুতরাং আমার আর এই প্রশ্নের উত্তরের দরকার নেই। এই প্রশ্নের অর্ধগোষ্ঠী গুণের অপারেশন একটি মধ্যবর্তী ভেরিয়েবলকে মুছে ফেলছে।

— জেফ্রি ইরভিং

এখানে আরেকটি প্রচেষ্টা রয়েছে, যা বাতিলকরণ পদ্ধতির চেয়ে বেশি স্থিতিশীল তবে এখনও খুব ভাল নয়।

যদি একটি এসপিডি tridiagonal ম্যাট্রিক্স, Meurant [1] এর এন্ট্রি জন্য নিম্নলিখিত স্থিতিশীল সূত্র দেয় $A$ $B = A^{-1}$

B_{i j} = b_{i + 1} \dots b_{j} \frac{d_{j + 1} \dots d_{n}}{δ_{i} \dots δ_{n}}

$B_{ij} = b_{i+1}\cdots b_j \frac{d_{j+1}\cdots d_n}{\delta_i \cdots \delta_n}$

যেখানে , নেতিবাচক offdiagonal এন্ট্রি এবং থেকে উদ্ভূত হয় এবং এর factorizations । এর লিঙ্কিং সূত্রটির ফর্ম রয়েছে $i \le j$ $b_i$ $d_i,\delta_i$ $UL$ $LU$ $A$ $i < j < k$

{এক্স}_{ঞ} = {(\begin{matrix} {বি}_{ঞ আমি} \\ {বি}_{ট আমি} \end{matrix})}^{টি} {(\begin{array}{cc} {বি}_{আমি আমি} & {বি}_{আমি ট} \\ {বি}_{ট আমি} & {বি}_{ট ট} \end{array})}^{- 1} (\begin{matrix} {এক্স}_{আমি} \\ {এক্স}_{ট} \end{matrix})

$x_j = \left(\begin{array}{c}B_{ji} \\ B_{ki}\end{array}\right)^T \left(\begin{array}{cc}B_{ii} & B_{ik} \\ B_{ki} & B_{kk}\end{array}\right)^{-1} \left(\begin{array}{c}x_i \\ x_k\end{array}\right)$

$i$ $k$ $i$ $k$ $2 \times 2$

[1]: জেরার্ড মিউরান্ট (1992), "প্রতিসম তির্যক এবং ব্লক ত্রিভুজাকৃতির ম্যাট্রিক্সের বিপরীত সম্পর্কিত একটি পর্যালোচনা"।

— জিওফ্রে ইরভিং
সূত্র