গণনা কাছাকাছি

Question

ফাংশনের নিকটে এককত্ব রয়েছে । সেই এককত্বটি তোলা যায়, যদিও: , , যেহেতু এবং এভাবে তবে, ফর্ম কেবলমাত্র এ সংজ্ঞায়িত করা হয়নি , এটি সেই বিন্দুর আশেপাশে সংখ্যাগতভাবেও অস্থির; অর্ডার নির্ণয় করা মধ্যে জন্য খুব ছোট সংখ্যাসূচকভাবে, এক টেলর সম্প্রসারণ, অর্থাত একটি উপরি-উক্ত ক্ষমতার সিরিজের ছাঁটাই ব্যবহার করতে পারে।x = 0 x = 1 f ( x ) = 1 ই x = ∑ কে = 0 x $f \colon x \mapsto (e^x-1)/x$$x = 0$$x = 1$$f(x) = 1$(ইx-1)/এক্স=∑কে=1এক্স কে -

$$e^x = \sum_{k=0} \frac{x^k}{k!}$$ (ex-1)/xx=0f(x) $$(e^x - 1)/x = \sum_{k=1} \frac{x^{k-1}}{k!}$$ $(e^x-1)/x$$x = 0$$f(x)$$x$

প্রশ্ন : কি কোনও নাম আছে? অন্য কথায়, এটি কি সাধারণ সমস্যা?$f$

প্রশ্ন : এই পরিস্থিতিটি দুর্দান্তভাবে পরিচালনা করে এমন কোনও সি / সি ++ লাইব্রেরি সম্পর্কে কি কেউ সচেতন আছেন, অর্থাৎ 0 এর কাছাকাছি একটি উপযুক্ত ডিগ্রির টেলর সম্প্রসারণ এবং অন্য উপস্থাপনা শূন্য থেকে দূরে ব্যবহার করেন?

Answer 1

সম্ভবত কেউ function ফাংশন দিয়ে শুরু করতে পারেন যা C99 স্ট্যান্ডার্ডের অংশ, এবং নিকটে সঠিকভাবে গণনা করে ।e x - 1 x = $\mathtt{expm1}$$e^x-1$$x=0$

Answer 2

এটি বাতিল ত্রুটির একটি উদাহরণ। সি স্ট্যান্ডার্ড লাইব্রেরিতে (সি 99 হিসাবে) এমন একটি ফাংশন অন্তর্ভুক্ত রয়েছে expm1যা এই সমস্যাটি এড়ায়। আপনি যদি এর expm1(x) / xপরিবর্তে ব্যবহার করেন তবে আপনি (exp(x) - 1.0) / xএই সমস্যাটি অনুভব করবেন না (নীচের গ্রাফটি দেখুন)।

এই নির্দিষ্ট সমস্যাটির বিশদ এবং সমাধানটি সংখ্যাগত অ্যালগরিদমের যথার্থতা এবং স্থায়িত্বের বিভাগে 1.14.1 দৈর্ঘ্যে আলোচনা করা হয়েছে । একই সমাধানটি ডব্লু । কাহানের গবেষণাপত্রের পৃষ্ঠার 19 পৃষ্ঠায়ও ব্যাখ্যা করা হয়েছে যে ফ্লোটিং-পয়েন্ট কম্পিউটেশনে রাউন্ডফের মাইন্ডলেস অ্যাসেসমেন্টগুলি কীভাবে নিরর্থক? । expm1জিএনইউ সি লাইব্রেরিতে প্রকৃত বাস্তবায়ন উপরোক্ত রেফারেন্সগুলিতে বর্ণিত পদ্ধতির থেকে পৃথক এবং উত্স কোডে পুঙ্খানুপুঙ্খভাবে নথিভুক্ত করা হয়েছে ।

Comments

ধন্যবাদ, এটাই আমার দরকার ছিল! দুর্ভাগ্যক্রমে, আমি কেবল একটি উত্তর গ্রহণ করতে পারি ...

— বেনামে

অবশ্যই! কোনও সমস্যা নেই :-)

— জুয়ান এম বেলো-রিভাস

Answer 3

আপনার প্রথম প্রশ্নের উত্তর দেওয়ার জন্য, না, ফাংশনটির কোনও নাম নেই (কমপক্ষে একটিও নয় যা সর্বজনবিদিত।

অন্যরা যেমন উল্লেখ করেছেন, ফাংশনটি গণনা করার সর্বোত্তম উপায় হ'ল কয়েকটি বিশেষ ক্ষেত্রে চিকিত্সা করা। কোনও লাইব্রেরি এইভাবে ফাংশনটি গণনা করবে।

1. কেস 0: x = 0, ফিরুন 1।
2. কেস 1: , । আপনার সংখ্যাসম্য নির্ভুলতা এবং ডেটা ধরণের জন্য ir বুদ্ধিমানভাবে চয়ন করুন । জন্য , এটি সম্পর্কে হওয়া উচিত । ভাসার জন্য, এটি প্রায় ।1 + x / 2 $|x|<\delta$$1+x/2$$\delta$double2e-85e-4
3. অন্য কেস: ফিরে expm1(x)/x।

আপনি কাটা টেলর সিরিজটির সাথে আরও পরিশীলিত এবং বিশেষ ক্ষেত্রে আরও জিনিস হতে পারেন, তবে এটি সম্ভবত এটির পক্ষে উপযুক্ত নয়। আসলে, এটি সম্পূর্ণরূপে পরিষ্কার নয় যে কেস 1 পৃথকভাবে পরিচালনা করা দরকার, যেহেতু কে ২০ বলেছে, বাতিলকরণ নিরাপদ। তবে এটি আলাদাভাবে পরিচালনা করা আমাকে এ সম্পর্কে আরও আত্মবিশ্বাসী বোধ করতে দেয়।

Answer 4

আমি মনে করি এই প্রশ্নটি এই সাইটে আগে জিজ্ঞাসা করা হয়েছিল, এবং আশ্চর্যরূপে উত্তরটি হ'ল আপনার কেবল বিশেষ-কেসের সঠিক সমতা শূন্যের প্রয়োজন। ত্রুটিগুলি শূন্যের কাছাকাছি বাতিল হয়ে যায়। আমার লিঙ্ক নেই

হ্যাঁ এই উত্তরটি সম্পূর্ণ ভুল ছিল। আমি নিশ্চিত নই কেন এটি এত বেশি উত্সাহিত হয়েছিল, সম্ভবত কারণ এটি এতটা কর্তৃত্বমূলকভাবে বলা হয়েছিল। আমার মনে থাকা লিঙ্কটি আমি খুঁজে পেয়েছি। এটি এখানে গণিত স্ট্যাকেক্সচেঞ্জে ছিল, স্কিকম্প স্ট্যাকেক্সচেঞ্জে নয়। ফ্রি expm1ত্রুটি বাতিল সূত্রটি জেএম দ্বারা উত্তরে দেওয়া হয়েছে এবং একটি u = exp(x)রূপান্তর ব্যবহার করে ।

Comments

+ ডান। যদি = ইনফিনিটিসিমেল , = = । d x ( e d x - 1 ) / d x ( 1 + d x - 1 ) / d x $x$$dx$$(e^{dx} - 1)/dx$$(1+dx - 1)/dx$$1$

— মাইক ডুনলাভে

ভাসমান পয়েন্ট যথার্থতায় এবং পুরো জিনিসটি ফুঁসে উঠেছে এর পর থেকে এটি যথেষ্ট পরিমাণে জন্য কাজ করে বলে আমি মনে করি না । 1 + d x = $dx$$1+dx=1$

— ওল্ফগ্যাং ব্যাঙ্গারথ

Answer 5

প্রথম প্রশ্নের উত্তর দেওয়ার জন্য এবং দ্বিতীয়টির জন্য একটি সম্ভবত (সম্ভবত সংখ্যাসূচকভাবে অক্ষম) পদ্ধতি সরবরাহ করার জন্য নোট করুন যে এটি বার্নোল্লি সংখ্যাগুলির উত্পন্নকরণের কার্যের বিপরীত ।

Comments

এটি একটি আকর্ষণীয় সংযোগ, এটি নির্দেশ করার জন্য ধন্যবাদ। দুর্ভাগ্যক্রমে, আমি বিশ্বাস করি যে ট্রিপল যোগটি এটিকে প্রতিরোধমূলক ব্যয়বহুল করে তুলবে। তদুপরি, এটি তাত্ক্ষণিকভাবে পরিষ্কার নয় যে কাঙ্ক্ষিত নির্ভুলতা পেতে প্রতিটি যোগফলকে কাটাতে হবে।

— বেনামে

@ অজ্ঞাতনামা: আপনি কোন ট্রিপল যোগ বলতে চান? আপনার কেবল বার্নোল্লি বহুপথের দরকার নেই, কেবল বার্নোল্লি সংখ্যা এবং আপনি আগে থেকে তালিকাভুক্ত করতে পারেন। তবে হ্যাঁ, এটি এখনও টেলর সিরিজের চেয়ে ভাল হওয়ার নয়।

— নিকোলাজ-কে

আপনি যদি আগে থেকেই তাদের গণনা করতে পারেন তবে যদি এটি স্পষ্ট হয় যে আপনার কেবলমাত্র কোনও ইনপুটের জন্য একটি নির্দিষ্ট সীমাবদ্ধ নম্বর প্রয়োজন।

— বেনামে

@ অজ্ঞাতনামা: আচ্ছা হ্যাঁ, আপনি যেমন টেলর সহগকে অগ্রিম তালিকাভুক্ত করেছিলেন।

— নিকোলাজ-কে