সীমাবদ্ধ ভলিউম পদ্ধতির সাথে পইসন সমীকরণে ডিরিচলেট সীমানা শর্ত প্রয়োগ করা

Question

আমি জানতে চাই যে সেল-কেন্দ্রিক অ-ইউনিফর্ম গ্রিডে সীমাবদ্ধ ভলিউম পদ্ধতিটি ব্যবহার করার সময় কীভাবে ডিরিচলেট শর্তগুলি সাধারণত প্রয়োগ করা হয়,

আমার বর্তমান প্রয়োগটি কেবল প্রথম ঘরের মূল্য নির্ধারণের জন্য সীমাবদ্ধ শর্তটি চাপিয়ে দেয়,

$$\phi_1 = g_D(x_L)$$

$\phi$$g_D(x_L)$ $x_L \equiv x_{1/2}$

$$\phi_{L} = g_D(x_L)$$

উদাহরণস্বরূপ, পাইসন সমীকরণটি সমাধান করতে দিন,

$$0 = (\phi_x)_x + \rho(x)$$

প্রাথমিক অবস্থা এবং সীমানা শর্তের সাথে,

$$\rho=-1\\ g_D(x_L)=0 \\ g_N(x_R)=0$$

$g_N(x_R)$

লক্ষ্য করুন যে কীভাবে সংখ্যার দ্রবণটি ঘরের শর্তের মান ( ঘরের ভেরিয়েবলের মান স্থির করে রেখেছে$g_D(x_L)=0$ বাম দিকে ) এর সাথে স্থির করেছে। এটি পুরো সমাধানটিকে উপরের দিকে সরিয়ে নিয়ে যাওয়ার প্রভাব ফেলে। বিপুল সংখ্যক জাল পয়েন্ট ব্যবহার করে প্রভাব হ্রাস করা যেতে পারে তবে সমস্যাটির এটি ভাল সমাধান নয়।

প্রশ্ন

$\phi_1$$\phi_0$$\phi_2$$x_L$

---

হালনাগাদ

আপনার প্রস্তাবিত কোনও ভূত কোষের পদ্ধতির ব্যবহারের জন্য এখানে আমার চেষ্টা করা হয়েছে, এটি কি যুক্তিসঙ্গত দেখাচ্ছে?

$\Omega_1$$\mathcal{F}$$\phi$

$$\mathcal{F}_{3/2} - \mathcal{F}_{L} = \bar{\rho}$$

আমাদের লিখতে হবে$\mathcal{F}_{L}$$\Omega_0$

$$\mathcal{F}_{L} = \frac{\phi_1 - \phi_0}{h_{-}} \quad\quad \text{[1]}$$

$\phi_0$$\Omega_0$$\Omega_1$$x_L$$g_D(x_L)$

$$g_D(x_L) = \frac{h_1}{2h_{-}}\phi_0 + \frac{h_0}{2h_{-}}\phi_1 \quad\quad \text{[2]}$$

$\phi_0$$\mathcal{F}_L$$\phi_1$$g_D(x_L)$

$$\mathcal{F}_L = \frac{1}{h_{{-}}} \left(\phi_{1} - \frac{1}{h_{1}} \left(2 g_{D} h_{{-}} - h_{1} \phi_{1}\right)\right)$$

$h_0 \rightarrow h_1$

$$\mathcal{F}_L = -\frac{2 g_{D}}{h_{1}} + \frac{2 \phi_{1}}{h_{{-}}}$$

$\Omega_0$$\Omega_1$$h_{-}\rightarrow h_1$

$$\mathcal{F}_L = \frac{2}{h_{1}} \left( \phi_1 - g_D \right)$$

যাইহোক, এই পদ্ধতির অস্থির এমন সংজ্ঞাটি পুনরুদ্ধার করেছে তাই আমি কীভাবে এগিয়ে যাব তা নিশ্চিত নই? আমি কি আপনার পরামর্শকে ভুলভাবে ব্যাখ্যা করেছি (@ জান)? আশ্চর্যের বিষয়টি হ'ল মনে হচ্ছে এটি কাজ করছে, নীচে দেখুন,

নীচে দেখুন, এটি কাজ করে,

Comments

ঠিক আছে, আপনার ডেরাইভেশনটি সঠিক। এবং এটি সত্যিই আমার উত্তরে আমি (**) যা বলেছি তার অনুরূপ। এবং, এইভাবে, এটি স্থিতিশীল হিসাবে প্রমাণিত হয়। আমি আমার উত্তরে একটি মন্তব্য যুক্ত করব।

— জানুয়ারী

এছাড়াও, একটি সাধারণ মন্তব্য হিসাবে, স্থায়িত্বের ফলাফলগুলি সাধারণত পর্যাপ্ত শর্ত। উদাহরণস্বরূপ, যদি কোনও প্রকল্প কোনও শর্ত পূরণ না করে তবে কিছু পরিস্থিতিতে এটি নির্ভরযোগ্য ফলাফলও দিতে পারে।

— জানুয়ারী

Answer 1

$$\overline \Omega_i \cap \Gamma_D = 0 \quad \quad (*)$$ $\mathbb R^{n-1}$$\Omega \subset \mathbb R^n$ , পি। 92]

এইভাবে, যদি আপনার সেটআপে থাকে তবে পন্থা

$$\Bigl(\frac{d\phi}{dx}\Bigr)_{1/2} = \frac{2}{h_1}\Bigl(\phi_1-\phi_{1/2}\Bigr) \quad \quad (**)$$ $(**)$$(**)$

পিসন সমস্যার স্থিতিশীলতা এবং একত্রিতকরণ (প্রথমে পৃথক আদেশের) গ্রিডম্যান এবং গ্রস গ্রিডম্যান দ্বারা প্রমাণিত হয়েছে, তাদের "কেন্দ্রগুলি" সহ স্বতন্ত্র সীমানা কোষের সাথে একটি 1 ডি মামলার অঙ্কন আমার চিত্রায় চিত্রিত হয়েছে।

এখানে, ইন্টারফেসের ডিফারেনশিয়াল কোয়েন্টিয়েন্টটি একটি সোজা-এগিয়ে পদ্ধতিতে আনুমানিক হয়।

আমি বলব ভূতের কোষ দুটি কারণে সাধারণ পন্থা।

• তারা আমার অঙ্কনটিতে বর্ণিত স্থিতিশীল পরিস্থিতি নকল করে তবে একটি বিভক্ত সীমানা শর্তের সাথে
• এগুলি কেবল শারীরিক সীমানায় সংযুক্ত থাকে। সুতরাং, কেউ ডোমেনের একটি ত্রিভুজায়ন ব্যবহার করতে পারে, এটি কী সুবিধাজনক, কারণ একটিতে প্রায়শই প্রাকৃতিক বিসি রয়েছে যা সরাসরি ইন্টারফেসের উপর চাপিয়ে দেওয়া হয় [ গ্রসম্যান এবং রুস , পি। 101]।

$\phi_0$$\phi_0$$\phi_1$, এবং অন্যদের সমান হতে পারে $g_D$ সীমানায়

Comments

আপনাকে ধন্যবাদ জান, সত্যিই এটি আকর্ষণীয়। এটি অবশ্যই অস্থির হওয়ার কারণে কিছু নির্দিষ্ট পদ্ধতির সাথে আমার অভিজ্ঞতার অনুকরণ করবে। আমি কি ঠিক বলেছি, যদি আমি একটি প্রেতকোষের পদ্ধতির ব্যবহার করি তবে কেন্দ্রটি সীমানাতে চলে যেতে আমাকে শেষ কক্ষটি স্থানান্তর করার দরকার নেই? সীমানা ঘরটি স্থানান্তর করার ধারণাটি নিয়ে আমারও সমস্যা আছে; এটি কি বোঝায় না যে সেই কোষটির শূন্য পরিমাণ রয়েছে?

— বয়ফ্যারেল

হ্যাঁ, আপনি যদি কোনও ভূত সেল প্রবর্তন করেন তবে আপনার উদাহরণের চিত্রের গ্রিড পরিবর্তন করার দরকার নেই। আমার অঙ্কনের পরিস্থিতি প্রতিষ্ঠার জন্য আপনি যে শিফটটি উল্লেখ করেছেন তা সম্পর্কিত। না, এটি একটি অবক্ষয়িত কোষ নয়! অফসেট$h_\Gamma$এই স্ট্রিপটি এতদূর পর্যন্ত সমীকরণগুলিতে প্রবেশ করে যতক্ষণ না এই স্ট্রিপটি ডান হাতের, যেমন, নেওয়া অবিচ্ছেদ্যগুলিতে উপস্থিত হয় না।

— জানুয়ারী

কী ঘটে তা দেখতে আকর্ষণীয় হবে $h_\Gamma \to 0$, কারণ এই সীমাটি বিচক্ষণকরণ পদ্ধতির (**)। (আমি ধরে নিয়েছি আপনি এর মধ্যে লিনিয়ার ইন্টারপোলেশন ব্যবহার করেন$\phi_1$ এবং $\phi_0$।)

— জানুয়ারী

এই পদ্ধতির সাহায্যে ভূত কোষের মূল্যের উপর নির্ভরতা দূর করা যায়? আমার ধারণা , সমীকরণগুলিতে অবশ্যই অন্তর্ভুক্ত করা উচিত নয় তবে কেবল সীমানার শর্তগুলি লেখার জন্য একটি সরঞ্জাম ব্যবহার করা হয়েছে। "স্থানান্তরিত" সীমানা ঘর সম্পর্কিত। দেখে মনে হচ্ছে যে পয়েন্ট সীমাবদ্ধ ভলিউম পদ্ধতির পরিবর্তে সীমাবদ্ধ পার্থক্য ব্যবহার করে। এটা কি সঠিক হবে?

— বয়ফ্যারেল

ঠিক আছে আমি বুঝতে পারছি! ধন্যবাদ. একটি টাইপো আছে। 2nd অনুচ্ছেদে "সুতরাং, আপনার সেটআপ করে থাকেন তাহলে, পদ্ধতির [eqn] এই হয়, অস্থির কোন পরিচিত স্থায়িত্ব ফলাফলে অসঙ্গতি।" "না" হওয়া উচিত "এ" । এটি আপনি যা চান তার বিপরীত অর্থ বাক্যটির অর্থকে উল্টে দেয় (আমি মনে করি)!

— বয়ফ্যারেল

Answer 2

আপনার "স্ট্রেইট লাইন" পদ্ধতির অর্থ হবে $\phi_1-\frac{\phi_2-\phi_1}{x_2-x_1}(x_1-x_0)=0$, কোথায় $x_0$ সীমানার অবস্থান এবং $x_i$ আপনি যে জায়গাগুলির সংজ্ঞা দিয়েছেন সেই জায়গাগুলি $\phi_i$। এর অর্থ আপনি নির্মূল করতে পারেন$\phi_1$ শর্তে $\phi_2$, আপনার প্রথম পদ্ধতির মতোই আপনি নির্মূল করেছেন $\phi_1$ এখনই এটি শূন্যে সেট করে।

আপনি এখানে যা সন্ধান করছেন তা হ'ল উপবৃত্তীয় সমীকরণগুলির জন্য কেন সীমাবদ্ধ ভলিউমগুলি ঘন ঘন ব্যবহার করা হয় না যার জন্য কোনওটি ডিরিচলেট শর্ত তৈরি করে। এগুলি সংরক্ষণ আইনগুলির জন্য ব্যবহৃত হয় যেখানে প্রবাহের ক্ষেত্রে আরও প্রাকৃতিক পরিস্থিতি বর্ণিত হয়।

Answer 3

ধরা যাক যে আপনার পইসন সমীকরণের সসীম-ভলিউম ফর্ম

$$\frac{d^2 \phi}{dx^2} = f$$ হিসাবে লেখা যেতে পারে $$\Bigl(\frac{d\phi}{dx}\Bigr)_{3/2}-\Bigl(\frac{d\phi}{dx}\Bigr)_{1/2} = \int_{x_{1/2}}^{x_{3/2}}f\, dx$$ অবশ্যই, আপনি প্রায় আনুমানিক লিখতে পারেন $$\Bigl(\frac{d\phi}{dx}\Bigr)_{3/2} = \frac{\phi_2-\phi_1}{h_+}$$ অ-ইউনিফর্ম গ্রিড সম্পর্কিত কিছু সূক্ষ্মতা রয়েছে যা আমি এখানে উপেক্ষা করছি।

এখন প্রশ্ন আপনি আনুমানিক কিভাবে $(d\phi/dx)_{1/2}$ যেমন আপনি বিসি অন্তর্ভুক্ত করতে পারেন $\phi_{1/2}$। একটি সম্ভাবনা হ'ল সাধারণ স্টেনসিলের তুলনায় আপনার আনুমানিক স্টেনসিলটি পরিবর্তন করা যাতে এতে পয়েন্টগুলি অন্তর্ভুক্ত থাকে$x_{1/2}$, $x_1$ এবং $x_2$। যদি আমার স্মৃতি আমাকে সঠিকভাবে পরিবেশন করে, তবে এটি অনুমান করা হয় (ফাঁকাসহ ইউনিফর্ম গ্রিড ধরে নেওয়া$h$, যাতে আপনার এটি প্রসারিত করতে হবে)

$$\Bigl(\frac{d\phi}{dx}\Bigr)_{1/2} = \frac{1}{h}\Bigl(-\frac{1}{3}\phi_2+3\phi_1-\frac{8}{3}\phi_{1/2}\Bigr)$$ তবে এটি পরীক্ষা করা উচিত। সেই সন্নিকটে, যা দ্বিতীয়-ক্রমের সঠিক $$\Bigl(\frac{d\phi}{dx}\Bigr)_{1/2} = \frac{2}{h_1}\Bigl(\phi_1-\phi_{1/2}\Bigr)$$ এইভাবে, ডিরিচলেট সীমানা শর্তটি কেবল "দুর্বলভাবে" প্রয়োগ করা হয় (অর্থ একটি প্রবাহের মাধ্যমে)। ওল্ফগ্যাং ইতিমধ্যে যেমন মন্তব্য করেছেন, সীমাবদ্ধ উপাদান পদ্ধতির মতো চূড়ান্ত ভলিউম পদ্ধতিগুলি উপবৃত্তীয় সমস্যার জন্য কেন ব্যবহার করা হচ্ছে না তার এটি (??) কারণ।

অবশ্যই, একটি জিনিস যা যাচাই করা দরকার তা হ'ল সীমানায় দ্বিতীয় আদেশের সমীকরণের সাথে আপনার বিবেচনার স্থায়িত্ব। আমার মাথার শীর্ষটি বন্ধ, আমি জানি না যে এটি অভ্যন্তরের কোনও কেন্দ্রিক দ্বিতীয় ক্রমের সীমাবদ্ধতার সাথে স্থিতিশীল হবে কিনা। একটি ম্যাট্রিক্স স্থিতিশীলতা বিশ্লেষণ আপনাকে নিশ্চিত করে বলবে। (আমি কার্যত নিশ্চিত যে সীমানায় প্রথম অর্ডার সন্নিকট স্থিতিশীল হবে))

আপনি ভূতের পয়েন্টগুলি ব্যবহারের সম্ভাবনার কথা উল্লেখ করেছেন। এটি আপনাকে সমস্যার সমাধান করে যা আপনাকে অভ্যন্তর থেকে ভুতুড়ে স্থানটিতে স্থানান্তরিত করতে এবং প্রক্রিয়াটিতে বিসি ব্যবহার করতে হবে। আমি সন্দেহ করি, তবে এটি "প্রমাণিত" হয়নি, যে কমপক্ষে কিছু ভূত বিন্দু চিকিত্সা আমি উপরে বর্ণিত ধরণের পদ্ধতির ব্যবহারের সমতুল্য।

এই একটি সামান্য বিট করতে সাহায্য করে আশা করি।

Comments

হ্যালো ব্রায়ান আমি মনে করি না যে ফ্লিক্স ফর্মটি (অর্থাত দুর্বলভাবে) ব্যবহার করে ডিরিচলেট সীমানা শর্ত প্রয়োগ করা সম্ভব হয়েছিল। আসলে আমি এই প্রশ্নটি কয়েক মাস আগে জিজ্ঞাসা করেছি , scicomp.stackexchange.com/questions/7777/… আমি এর আগে এমন কিছু বাস্তবায়নের চেষ্টা করেছি কিন্তু, কোন কারণে, বাস্তবায়নটি অস্থিতিশীল এবং সর্বদা ব্যর্থ হয়েছিল। আপনি একটি রেফারেন্স যা Dirichlet অবস্থার পইসন সমীকরণ প্রয়োগ করা হয় কি জানেন, আমি জানতে চাই কি আগ্রহী মান ? সম্ভবত এটি উপবৃত্তাকারী সমীকরণের জন্য করা হয় না?

— বয়ফ্যারেল

আমি কোনও মানদণ্ড সম্পর্কে জানি না, তবে আমি ধারণাও করতে পারি না যে এ জাতীয় সমস্ত বাস্তবায়ন অস্থির। আপনি ম্যাট্রিক্স বিশ্লেষণ চেষ্টা করেছেন? এক্ষেত্রে পরিচালনা করা খুব সহজ হওয়া উচিত। লোকেস্ট-স্টোকস সমীকরণগুলি উপরের মতো ভুত-পয়েন্টের চিকিত্সা এবং চিকিত্সার সাথে সমাধান করে। (অবশ্যই, সেখানে সান্দ্র প্রভাবগুলি এমন একটি আকারে প্রভাব ফেলতে পারে না যে আপনি পোইসন সমীকরণকে একটি ভাল মডেল হিসাবে বিবেচনা করতে পারেন)) সম্ভবত এই উল্লেখগুলি সহায়তা করবে: ntrs.nasa.gov/archive/nasa/casi.ntrs.nasa.gov/ … এবং nas.nasa.gov/assets/pdf/techreports/1997/nas-97-011.pdf

— ব্রায়ান জাটাপ্যাটিক

হ্যালো ব্রায়ান না আমি ম্যাট্রিক্স বিশ্লেষণ চেষ্টা করিনি। সত্যি বলতে কীভাবে আমি কীভাবে এটি করব তা নিশ্চিত নই। আমার এই সমস্যাটি পুনর্বিবেচনার জন্য পরের সপ্তাহে সময় হবে যাতে আমি তখন একটি নতুন প্রশ্ন পোস্ট করতে পারি!

— বয়ফ্যারেল

আমার বোধগম্যতা এটিও বটে যে ভূত পয়েন্ট (চতুষ্কোণ) এক্সট্রাপোলেশনটি অনিয়মিত (বাঁকা) ডিরিচলেট সীমানা শর্তগুলির জন্য ক্লাসিক শর্টলি-ওয়েলারের সীমাবদ্ধ পার্থক্য বিবেচনার সমতুল্য হয়ে থাকে , যেমন আংশিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের দ্বিতীয় বিবরণ মর্টন এবং মায়ারসের সংখ্যাসূচক সমাধানের (দ্বিতীয়) সংস্করণ)। (রৈখিক এক্সট্রোপোলেশন সংস্করণটি গিবো এট আল এর সহজ পদ্ধতির সমান science বিজ্ঞান ডাইরেক্টস / সাইন্স / পার্টিকাল / পিআইআই / এস 10021999101969773 ) এছাড়াও: রৈখিক এবং চতুর্ভুজ এক্সট্রোপোল্যান্ট উভয়ই যথাযথ সমাধান দেয় তবে লিনিয়ার কেবলমাত্র 1 ম অর্ডার গ্রেডিয়েন্ট হয়।

— ব্যাটি