অ-ইউনিফর্ম জাল (কেবল 1D) সসীম ভলিউম পদ্ধতিতে পইসন সমীকরণটি সমাধান করার সময় অদ্ভুত ত্রুটি

Question

আমি গত কয়েকদিন এই ত্রুটিটি ডিবাগ করার চেষ্টা করছি আমি ভাবছিলাম যে কীভাবে এগিয়ে যেতে হবে সে সম্পর্কে কারও পরামর্শ আছে কিনা।

আমি অ-অ-ইউনিফর্ম সীমাবদ্ধ ভলিউম জাল যেখানে অজানা কোষ কেন্দ্র এবং কোষের মুখের ফ্লাক্সের উপর সংজ্ঞায়িত করা আছে সেখানে স্টেপ চার্জ বিতরণ (ইলেক্ট্রোস্ট্যাটিক্স / অর্ধপরিবাহী পদার্থবিজ্ঞানের একটি সাধারণ সমস্যা) এর পোইসন সমীকরণটি সমাধান করছি।

$$0 = (\phi_x)_x + \rho(x)$$

চার্জ প্রোফাইল (উত্স শব্দ) দ্বারা প্রদত্ত,

$$\rho(x)= \begin{cases} -1,& \text{if } -1 \leq x \leq 0\\ 1,& \text{if } 0 \leq x \leq 1\\ 0, & \text{otherwise} \end{cases}$$

এবং সীমানা শর্তগুলি হয়,

$$\phi(x_L)=0 \\ \frac{\partial\phi}{\partial x}\bigg|_{x_R}=0$$

এবং ডোমেন হয় $[-10,10]$।

অ্যাডভেকশন-প্রসারণ-প্রতিক্রিয়া সমীকরণটি সমাধান করার জন্য আমি বিকশিত কোড ব্যবহার করছি (আমি নিজেই আমার নোটগুলি এখানে দেখতে দেখুন, http://danieljfarrell.github.io/FVM )। অ্যাডভেকশন-ডিফিউশন-প্রতিক্রিয়া সমীকরণ পয়সন সমীকরণের আরও সাধারণ ক্ষেত্রে। প্রকৃতপক্ষে অ্যাডভেশন বেগ শূন্যে সেট করে এবং ক্ষণস্থায়ী শব্দটি সরিয়ে পইসন সমীকরণটি পুনরুদ্ধার করা যেতে পারে।

কোডটি ইউনিফর্ম, নন-ইউনিফর্ম এবং এলোমেলো গ্রিডের জন্য বিভিন্ন পরিস্থিতিতে বিপরীতে পরীক্ষা করা হয়েছে এবং অ্যাডভেকশন-ডিফিউশন-প্রতিক্রিয়া সমীকরণের জন্য সর্বদা একটি যুক্তিসঙ্গত সমাধান ( http://danieljfarrell.github.io/FVM/example.html ) উত্পাদন করে ।

কোডটি কোথায় ভেঙেছে তা দেখানোর জন্য আমি নীচের উদাহরণটি তৈরি করেছি। আমি সেটআপ একটি অভিন্ন 20 কোষের জাল এবং তারপর এটি তৈরি করতে nonuniform একটি একক কোষ সরিয়ে। বাম চিত্রে আমি ঘর সরিয়েছি$\Omega_8$ এবং ডানদিকে $\Omega_9$বক্সচভডট্যশঞ. নবম ঘরটি সেই অঞ্চলটিকে জুড়েছে যেখানে উত্স শব্দটি (অর্থাত্ চার্জ) চিহ্ন পরিবর্তন করে। বাগ প্রদর্শিত হবে যখন গ্রিড একটি অঞ্চল যেখানে প্রতিক্রিয়া শব্দটি চিহ্ন পরিবর্তন nonuniform হয় । আপনি নীচে দেখতে পারেন।

কোন ধারণা কি কারণে সম্ভাবনা এই সমস্যা সৃষ্টি করতে পারে? বিযুক্তি সম্পর্কিত আরও তথ্য সহায়ক হবে কিনা তা আমাকে জানান (আমি এই প্রশ্নের মধ্যে খুব বেশি বিশদটি প্যাক করতে চাই না)।

Comments

আপনি কীভাবে ডিরিচলেট শর্তটি চাপিয়ে দিতে পারেন তা উল্লেখ করতে পারেন $x=0$, এবং আপনি কী বোঝাতে চেয়েছেন $\rho = -1$প্রাথমিক শর্ত হিসাবে (আপনি স্থিতিশীল রাষ্ট্রটি নির্দিষ্ট করেছেন এমন সমীকরণ নয়)?

— জেসি চ্যান

প্রতিক্রিয়া শব্দটি দেখতে কেমন?

— জানুয়ারী

উত্স শব্দটির ইন্টিগ্রালগুলি আনুমানিক করতে আপনি কোন স্কিম ব্যবহার করেন? এই আচরণটি উত্সের অপর্যাপ্ত নমুনার কারণেও হতে পারে। (সম্ভবত, @ জেএলসি-র উত্তরে উল্লিখিত একই প্রক্রিয়াটি কী))

— জানুয়ারী

আমি স্ট্যান্ডার্ড পরিভাষাটি ব্যবহার করার জন্য প্রশ্নটি আপডেট করেছি। আমার একটি উত্স শব্দ রয়েছে ($\rho$) কোনও প্রতিক্রিয়া শব্দ নয় কারণ আপনি উল্লেখ করেছেন যে আমাদের কেবল স্থির-রাষ্ট্রীয় মূল্য প্রয়োজন। এর সঠিক স্থানিক নির্ভরতা$\rho$এখন দেওয়া হয়েছে (প্রাথমিক মানটি ভুল ছিল)।

— বয়ফ্যারেল

@ জেএলসি ডিরিচলেট বিসিগুলিকে একটি ভূত কোষের পদ্ধতির ব্যবহার করে আরোপ করা হয়েছে (আমার নোটগুলি অনলাইনে এই প্রয়োগের বিশদটি সম্পর্কে পুরানো

— بدل.

Answer 1

একদিকে যেমন আপনার গিথুব ডকুমেন্টেশন দুর্দান্ত is

ডিজি পদ্ধতিগুলি থেকে এটি কেবলমাত্র অনুমান, সংখ্যার প্রবাহগুলি সাবধানতার সাথে না বেছে নেওয়া হলে (একই সাথে এফভি পদ্ধতিগুলি ডিজি পদ্ধতির একটি উপসেট হিসাবে দেখায়) একই সমস্যা হতে পারে। আপনি যদি আপনার ফ্লাক্সগুলি সংজ্ঞায়িত করতে সেল কেন্দ্রগুলি থেকে ইন্টারপোলেশন ব্যবহার করেন, তবে এটি ডিজিতে সংখ্যাসূচক ফ্লাক্স হিসাবে গড় ব্যবহার এবং টুকরোজ ধ্রুবক ভিত্তি ব্যবহারের সমতুল্য হওয়া উচিত। পোইসনের স্ট্যান্ডার্ড ডিজি পদ্ধতির জন্য, এটি সংখ্যাসূচকভাবে অ-অনন্য সমাধানের দিকে পরিচালিত করে - আপনি বিযুক্ত অপারেটরের জন্য একটি অ-তুচ্ছ নাল স্থান পেতে পারেন, যা আমি মনে করি যে এটি দ্বিতীয় উদাহরণে আপনার সমস্যাগুলির কারণ কি। ডিজি পক্ষ থেকে তাদের তত্ত্বের জন্য এই ডিজি কাগজটি দেখুন ।

আমি FV এর জন্য একটি উদাহরণ উপহাস করার চেষ্টা করব যা দেখায় যে এটি কীভাবে কার্যকর হয়।

সম্পাদনা করুন: তাই এখানে যা চলছে তার একটি ছোট উদাহরণ এখানে। 1-9 এবং 11-20 কোষ বিবেচনা করুন$\rho(x) = 0$। ডান দিক থেকে (11-20), আমাদের আছে$f(x_{20}) = 0$ নিউম্যান শর্তের কারণে, যা সেই কোষের সংরক্ষণ থেকে আমাদের জানায় $f(x_{19}) = \ldots = f(x_{11}) = 0$। যেহেতু প্রবাহগুলি ঘর মানগুলির গড়, এটি আমাদের এটি বলে$\phi(x)$ এই সমস্ত কোষের উপর ধ্রুবক।

বাম দিক থেকে (1-9), আমাদের আছে $f(x_{i+1})-f(x_i) = 0$। যদি$f(-10) = 0$ এবং আমরা তখন ভুতের কোষ ব্যবহার করি $f(-10) = \phi_{9.5} - \phi_{\rm ghost} = \phi_{9.5}$। পরবর্তী কয়েকটি কোষের উপর সংরক্ষণ এটি দেয়$f(x_i) = f(-10) = \phi_{9.5}$(যেমন ধ্রুব .াল)। তবে নোট করুন যে এটি যে কোনও opeাল হতে পারে, কেবল ধ্রুবক।

বিষয়টি মধ্য কক্ষে আসে। জান যেমন উল্লেখ করেছেন, আপনি দ্বিতীয় জালটিতে জোর করাকে নিম্নরূপ দিন। এটি সেই সময়ে ভারসাম্য সমীকরণ ফেলে দেয়, আপনাকে একটি ত্রুটি দেয়$f(10)$, যা এরপরে পিছনে প্রচার করে এবং ডোমেনের বাম অর্ধেকের theাল উভয়কেই পাশাপাশি মানটির গণ্ডগোল করে $\phi(9.5)$।

বাধ্যতামূলকভাবে ত্রুটির ক্ষেত্রে এই সংবেদনশীলতাটি হ'ল সমস্যা - এফইএম বা এফডি পদ্ধতির বিপরীতে যা স্পষ্টতই ডারচলেট শর্তটি এখানে স্পষ্টভাবে প্রয়োগ করে $x=-10$, এফভি এটিকে ভূত নোডগুলি ব্যবহার করে দুর্বল করে তোলে। স্বজ্ঞাতভাবে, ভুত নোড দুর্বল আরোপ করা আপনার বাম সীমানায় নিউমন শর্ত স্থাপনের মতো। আপনার যদি ছড়িয়ে পড়ার সমস্যার জন্য দুটি নিউুমান শর্ত থাকে তবে আপনার সমস্যাটি অসুস্থ হয়ে পড়েছে এবং এর একটি অনন্য সমাধান রয়েছে (আপনি সেই সমস্যায় কোনও ধ্রুবক যুক্ত করতে পারেন এবং এখনও সমাধান পেতে পারেন)। আপনি এখানে বিশৃঙ্খলাবদ্ধ পর্যায়ে একেবারেই পাবেন না, তবে আপনি আপনার পরীক্ষায় যেমন দেখেন তেমন সংবেদনশীল এবং জাল-নির্ভর আচরণ পাবেন।

Comments

পরীক্ষা-নিরীক্ষার মাধ্যমে আমি প্রমাণ করতে পারি যে FVM পদ্ধতিটি কেবল তখনই স্থিতিশীল হয় যখন উত্স ফাংশনের উভয় পক্ষের কোষগুলি বন্ধ হয়ে যায় (চিহ্ন পরিবর্তন) সমান পরিমাণে থাকে। আপনার বিশ্লেষণ কি এর সাথে একমত হবে? এর অর্থ হ'ল আমার আগে আমার যে সমস্যাগুলি করেছি সেগুলি সম্পর্কে একটি বুদ্ধিমান গ্রিড উত্পন্ন করার জন্য আমাকে আরও বেশি মনোযোগ দিতে হবে। সম্ভবত আমার পরবর্তী এফইএম পদ্ধতি শিখতে হবে?

— বয়ফ্যারেল

একটি প্রাসঙ্গিক নিবন্ধ, যদিও আমি সমস্ত বিবরণটি পুরোপুরি অনুসরণ করি না, jstor.org/discover/10.2307/2157873

— boyfarrell

এফভিএম পদ্ধতিটি কেবল তখন স্থিতিশীল হয় যখন গ্রিডটি কোনওভাবে উত্স ফাংশনের সাথে একত্রিত হয়। যদি আপনার উত্স ফাংশন পরিবর্তন হয়, তবে আপনাকে আবার আপনার গ্রিড টিউন করতে হবে। আমি মনে করি না যে কোনও সংবেদনশীল গ্রিড উত্পাদন করা এই সমস্যার সঠিক পন্থা - আপনার একটি অস্থির পদ্ধতি রয়েছে।

— জেসি চ্যান

এটি একটি ভাল সন্ধান। সুলি দৃ solid় বিশ্লেষক। আমি বলব এফইএম শেখা মজাদার হতে পারে তবে এফডি-তে কোনও উপবৃত্তাকার 1D সমস্যার জন্যও কাজ করা উচিত। আপনি সাধারণ গ্রিডে ২ য় অর্ডার উপবৃত্তীয় সমস্যার জন্য একত্রিত হওয়ার জন্য এফভি লোকেরা কী করবেন (পেনাল্টি শর্তাদি তাদের প্রবাহগুলি বাড়িয়ে তুলতে পারে) তাও দেখতে পাবেন। গাণিতিক লোক জ্ঞান সাধারণত বলে যে FV / upwinded FD হাইপারবোলিক সমস্যার জন্য দুর্দান্ত তবে এফইএম / সেন্ট্রাল ডিফার এফডি উপবৃত্তাকারদের জন্য দুর্দান্ত।

— জেসি চ্যান

আমি এই সমস্যাটি সংশোধন করছি আপনার উত্তরটি পুনরায় পড়তে হবে আমি অবশ্যই বলব এটি দুর্দান্ত! আমি আপনার বক্তব্যটি দেখছি যে পদ্ধতিটি পরিবর্তিত হওয়া উচিত কারণ এটি সমস্যার মূল (গ্রিড নয়)। কীভাবে এই ক্ষেত্রে প্রবাহটি আরও ভালভাবে অনুমান করা যায় সে সম্পর্কে আমার কোনও পরামর্শ বা জিনিস আমি অনুসরণ করতে পারি (যা কোনও অ বিশেষজ্ঞের পক্ষে অ্যাক্সেসযোগ্য)। অর্থ এমনভাবে যা এটি আরও স্থিতিশীল করে তুলতে পারে। সম্ভব হলে আমি এই সমীকরণের জন্য আরও ভাল এফভিএম সন্ধান করতে চাই।

— boyfarrell

Answer 2

প্রথম জিনিসটি লক্ষ্য করার জন্য হ'ল আপনার সীমানা শর্ত। যেহেতু আপনি opeাল এবং মান পরিবর্তন করতে পারেন, আপনার কাছে না ডিরিচলেট, না নিউমন শর্ত রয়েছে।

তারপরে, প্রতিটি সোজা রেখা একটি সমাধান যেখানে ডান হাতটি শূন্য। আপনি যে অংশ পেয়েছি।

আপনার প্রবাহগুলি সম্ভবত এর উপর নির্ভরশীল $h$। আপনি সঠিক ব্যবহার করবেন?$h$ আপনি কোষটি কোথায় সরিয়ে ফেলবেন?

Comments

না, এটি সঠিক নয়। সমস্যাটি ভালভাবেই উত্থাপিত হয়েছে। মামলার জন্য$\rho \equiv 0$ কেবল $\phi \equiv 0$এটি একটি সমাধান, অন্য কোনও লিনিয়ার ফাংশন নেই যা এক বিন্দুতে শূন্য এবং দ্বিতীয় পয়েন্টে শূন্য opeাল থাকে।

— জানুয়ারী