কঠোর ইতিবাচক সীমাবদ্ধতার সাথে লিনিয়ার প্রোগ্রামিংয়ের সম্ভাব্যতা সমস্যা

15

সেখানে রৈখিক সীমাবদ্ধতার একটি পদ্ধতি । আমি strictly়ভাবে ইতিবাচক ভেক্টর যা এই সীমাবদ্ধতাগুলি পূরণ করে। মানে, যে প্রত্যেক উপাদান প্রয়োজন হয় এর । এইরকম কঠোরভাবে ইতিবাচক ভেক্টর (বা নিশ্চিত করুন যে কোনও নেই) আমি কীভাবে এলপি সলভার ব্যবহার করতে পারি ? আমি কেবলমাত্র সীমাবদ্ধতার আরেকটি সিস্টেম প্রবর্তন করতে পারি না , কারণ সর্বদা একটি এলপিতে সাম্যতা বজায় রাখতে হবে objective তবে আমি উদ্দেশ্যমূলক ক্রিয়াকলাপগুলি পরিবর্তনের সাথে এলপি সলভারটি বেশ কয়েকবার ব্যবহার করতে পারি। আমি মনে করি আমার স্ল্যাক ভেরিয়েবল পদ্ধতিটি ব্যবহার করা উচিত, তবে কীভাবে তা আমি জানি না। ${\bf Ax} \leq {\bf b}$ ${\bf x} > 0$ $x_i > 0$ $x_i$ ${\bf x}$ ${\bf x}$ ${\bf x}$ $x_i > 0$

optimization linear-programming

— সারা
সূত্র

15

আপনি একটি ছোট বেছে সমস্যা পাশকাটিয়ে করতে $\epsilon>0$ একটি বিট আরো উচ্চাভিলাষী হচ্ছে: এটি ব্যবহার করে দেখুন $\mathbf{x}$ যেমন যে $\mathbf{Ax}\leq \mathbf{b}$ এবং যে ক্ষুদ্রতম এন্ট্রি $\mathbf{x}$ বৃহত্তম সম্ভব।

Y = [\begin{matrix} এক্স \\ ε \end{matrix}] \in {আর}^{এন + + 1}

$\mathbf{y} = \begin{bmatrix} \mathbf{x}\\ \epsilon\end{bmatrix}\in\mathbb{R}^{n+1}$

x

$\mathbf{x}$

R^{n}

$\mathbb{R}^n$

\underset{Y}{সর্বোচ্চ} [0 ... 0 1] \cdot Y St [একজন 0] Y \leq খ এবং 0 \leq [\begin{matrix} 1 & 0 & \dots & 0 & - 1 \\ 0 & 1 & \dots & 0 & - 1 \\ ⋱ & ⋮ \\ 0 & \dots & 1 & - 1 \end{matrix}] Y ।

$\max_y [0 \dots 0\ 1]\cdot \mathbf{y}\quad \text{s.t.}\quad [A\ \mathbf{0}]\mathbf{y}\leq\mathbf{b}\quad \text{and}\quad \mathbf{0}\leq \begin{bmatrix}1 & 0 & \cdots & 0 & -1 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 & -1 \\ & \ddots & &\vdots \\ 0 & \cdots & & 1 & -1 \end{bmatrix}\mathbf{y}.$

এটি নিম্নলিখিত সমস্যার একটি সংশোধন:

সর্বোচ্চ ε St একজন এক্স \leq খ এবং এক্স \geq ε 1 ।

$\max \epsilon \quad\text{s.t}\quad \mathbf{Ax\leq b}\quad\text{and}\quad \mathbf{x}\geq\epsilon\mathbf{1}.$

— ডীর্ক্
সূত্র

ভাল কাজ, এটি একটি চালকের সমান্তরাল এবং সহকারী এবং আমি একটি সাম্প্রতিক কাগজে ব্যবহার করেছি, এবং আমি প্রস্তাবিত পদ্ধতির চেয়ে অবশ্যই উন্নত superior

— অরন আহমদিয়া

একমত। ভাল খেলেছে স্যার।

— জিফ অক্সবেরি

মূল সমস্যাটির উত্তর যখন তুচ্ছ হয় সে ক্ষেত্রে সংস্কারকৃত সমস্যার অবিরাম উদ্দেশ্য থাকতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, সীমাবদ্ধতার ব্যবস্থাটি যদি কেবল । যে দীর্ঘ সম্ভবপর, অনুকূল অথবা আপনার LP সমাধানকারী, অথবা স্পষ্টভাবে ফেরত অবস্থা আবদ্ধ মধ্যে সীমাবদ্ধ জন্য চেক হিসাবে হিসাবে জরিমানা ।

x \geq - 1

$x \ge -1$

ϵ

$\epsilon$

— ডেভিড নেহমে

@DavidNehme এক বাধ্যতা যোগ করতে পারেন

একটি বেষ্টিত উদ্দেশ্য জন্য।

y_{n + 1} \leq 1

$y_{n+1}\le 1$

— আর্নল্ড নিউমায়ার

5

এলপি সম্ভাব্যতা সমস্যার জন্য, আমি স্ট্যান্ডার্ড সিমপ্লেক্স ব্যবহার করব না। স্ট্যান্ডার্ড প্রাথমিক (বা দ্বৈত) সিমপ্লেক্স অ্যালগরিদমগুলি কেবলমাত্র প্রাথমিক (বা দ্বৈত) সমস্যার সম্ভাব্য সেটটির শীর্ষকোষগুলি দেখতে পাবেন।

যাক এই সমস্যার সম্ভবপর সেট আপনি আসলে সমাধান হতে চান , এবং অনুমান করা এর পরিবর্তে আপনি সমস্যা (সমাধান ছিল ): $F = \{\mathbf{x}: \mathbf{Ax} \leq \mathbf{b}, \mathbf{x} > \mathbf{0}\}$ $F_{\varepsilon}$

\begin{aligned} \underset{এক্স}{সর্বনিম্ন} 0 \\ St & একজন এক্স \leq খ \\ এক্স \geq ε \cdot 1 । \end{aligned}

$\begin{alignat}{1} & \min_{\mathbf{x}} \quad 0 \\ \textrm{s.t.} & \quad \mathbf{Ax} \leq \mathbf{b} \\ & \quad \mathbf{x} \geq \varepsilon \cdot \mathbf{1}. \end{alignat}$

আপনি যে সমস্যার সমাধান করতে চান তার সর্বাধিক কাছাকাছি হ'ল , যা কিছুটা বেশি পয়েন্ট স্বীকার করে। সমস্যা হল ইতিবাচক orthant সীমানা (অর্থাত, সেট এর সম্ভবপর সেট সীমানা অংশ বানাতে পারে । আমরা চাই এই পয়েন্টগুলি বাদ দিতে চাই doing এটি করার একটি উপায় হ'ল অ্যারন যা বলেছিল সেটাকে করা সেট করা to $F_{0}$ $B = \{\mathbf{x}: \mathbf{x} \geq 0, \exists{i}: x_{i} = 0\}$ $F_{0}$ $\varepsilon$ কিছু ছোট ধনাত্মক মান, এবং তারপরে যে কোনও মানক এলপি অ্যালগরিদম ব্যবহার করুন। এই কৌশলটি একটি ভাল এবং সম্ভবত বিভিন্ন পরিস্থিতিতে বিভিন্ন পরিস্থিতিতে কাজ করবে। যাইহোক, অক্ষম হলে এটি ব্যর্থ হবে । আমরা জানি যে সবার জন্য (অপব্যবহার স্বরলিপি ও তার সংশ্লিষ্ট সমস্যা দ্বারা একটি সম্ভবপর সেট পড়ুন), এবং এটা সম্ভব যে এমনকি যদি আপনি ছোট ইতিবাচক মান বাছাই করেন , এলপি সমাধানকারী ইঙ্গিত হবে আপনার এলপি অপরিবর্তনীয়। $F_{\varepsilon}$ $F_{0} \subset F \subset F_{\varepsilon}$ $\varepsilon > 0$ $\varepsilon$

কোনও এলপি সলভারের জন্য, আমি এলপিগুলিতে কোনও অভ্যন্তরীণ পয়েন্ট অ্যালগরিদম ব্যবহার করি যা একটি সম্ভাব্য বিন্দু দিয়ে শুরু হয় এবং সম্ভব হয়, যা পয়েন্টগুলি বাদ দেওয়ার অন্য উপায় । আপনাকে এই অ্যালগরিদমে কোনও সম্ভাব্য পয়েন্ট সরবরাহ করতে হবে না; স্ট্যান্ডার্ড সলভার আপনার জন্য এটি করবে। অ্যাফাইন স্কেলিং, সম্ভাব্য হ্রাস এবং বাধা পদ্ধতিগুলির মতো সহায়ক এলপিগুলি স্থাপন করে যা সম্ভাব্য সমাধানগুলি খুঁজে পেতে পারে এবং এই অ্যালগোরিদমগুলির পুনরাবৃত্তিগুলি সম্ভাব্য অঞ্চলের অভ্যন্তরকে অতিক্রম করে। আপনার কেবলমাত্র আপনার সম্ভাব্য অঞ্চলে একটি বিন্দু চিহ্নিত করতে হবে, যতক্ষণ না এলপি সলভার দ্বারা ব্যবহৃত সহায়ক সমস্যাগুলি আপনার সমস্যার জন্য একটি সম্ভাব্য বিন্দু সনাক্ত করে এবং সেই সম্ভাব্য বিন্দুটি কঠোরভাবে ইতিবাচক হয়, আপনি ঠিকঠাক হওয়া উচিত। যদি সমাধান করা positive এর ক্ষুদ্র ধনাত্মক মানগুলির জন্য ব্যর্থ হয় $B$ $F_{\varepsilon}$ $\varepsilon$ , আপনি কি এখনও মধ্যে একটি কঠোরভাবে ইতিবাচক সম্ভবপর বিন্দু খোজা এই পদ্ধতি ব্যবহার করতে সক্ষম হতে পারে । $F_{0}$

, সিমপ্লেক্স ব্যবহার করবেন না যদিও, কারণ এটি শুধুমাত্র ছেদচিহ্ন অন্বেষণ করা হবে , যা ঠিক কি আপনি করছেন এড়াতে চান হয়। $F_{\varepsilon}$

— জিওফ অক্সবেরি
সূত্র

4

সম্ভাব্যতা সমস্যাগুলি সাধারণ রৈখিক সমস্যার তুলনায় কিছুটা জটিল কৌশল, যা আপনি উল্লেখ করেছেন। আপনি প্রায় সমাধানে ইন করেন (সমীকরণ এবং সীমাবদ্ধতার সিস্টেমের একটি ফ্লোটিং পয়েন্ট উপস্থাপনা ব্যবহার করে), এটা প্রয়োজন বৈধ , যেখানে কিছু খুব ছোট সংখ্যাগত মান, বড় যথেষ্ট যে আশ্বাস হয় আসলে এ থাকেন , কিন্তু কম যথেষ্ট যে সীমানা উপর একটি সমাধান বিবেচিত হবে না। $x_i >= \epsilon$ $\epsilon$ $x_i$ $\Re_+$

আপনি সমন্বয় করতে থাকতে পারে , এবং আপনার সমাধান "এর একটি ফ্যাক্টর মধ্যে যোগ্য হতে হবে ", কিন্তু এই অনেক পরিস্থিতিতে জন্য যথেষ্ট। $\epsilon$ $\epsilon$

— অরন আহমদিয়া
সূত্র

2

আইসমেইলের দেওয়া উত্তরটি এলপি বিবেচনা করে সাবধানে পড়তে হবে

$\max( x_1 + x_2)$

St

$x_1 + x_2 \le 1$

$x_1,x_2 \ge 0$

$(1,0)$ $(0,1)$

যেহেতু আপনি আপনাকে উদ্দেশ্যমূলক ফাংশন চয়ন করতে সক্ষম হচ্ছেন, আপনি এটি পুনরাবৃত্তভাবে সংশোধন করার চেষ্টা করতে পারেন। উদাহরণস্বরূপ, একটি সমান সমস্ত ভেরিয়েবলের জন্য সমস্ত সহগের সাথে শুরু করুন, আপনি কোনও অ্যাপ্রোপ্রেট সমাধান পেয়ে থাকেন কিনা তা পরীক্ষা করুন। যদি একটি ভেরিয়েবল শূন্য হয় তবে এটি সহগ বাড়ান এবং আবার শুরু করুন ...

যদিও আমি একটি গাণিতিক প্রমাণ দিতে পারি না যে এটি কাজ করে (বা উদ্দেশ্যমূলক ফাংশনটি কীভাবে পরিবর্তন করতে হবে একটি ভাল সংজ্ঞায়িত পদ্ধতি)। আশা করি এটা কাজে লাগবে :)

— দেনিযেল
সূত্র

তবে আপনার যদি বিপুল সংখ্যক অধঃপতন সমাধান থাকে তবে আপনি কীভাবে এই সংখ্যাটি মোকাবেলা করবেন? এই সমস্যা সমাধানের বিষয়ে কোনও সংখ্যক সমাধানকারী কোনও সতর্কতা (বা আরও খারাপ) উপস্থাপন করবেন না?

— আইসমেইল

না, তারা করবে না; তারা কেবল প্রথম অনুকূল সমাধানটির মুখোমুখি হবে। আপনি সমাধান তৈরি করতে যেভাবে চালিয়ে যাবেন তা হ'ল কাটা প্লেনগুলি (বা অন্যান্য সীমাবদ্ধতা) যুক্ত করা যা পূর্বে গণনা করা অনুকূল সমাধানগুলি বাদ দেয়। এই ক্ষেত্রে, এই ধরনের কাটিয়া বিমান যোগ করা আপনাকে অনুকূল সমাধানগুলির অসীম সেটগুলির একটি পৃথক সান্নিধ্যে ফিরে আসতে সক্ষম করবে।

— জিওফ অক্সবেরি

আমি একটি অদ্ভুত প্রোগ্রামিং সিদ্ধান্ত হিসাবে দেখতে হবে; আপনি কেন ব্যবহারকারীকে বলতে চান না যে রিপোর্ট করা সমাধানটির আশপাশে উদ্দেশ্যমূলক ফাংশনটি কিছু অদ্ভুত কিছু করছে? ননলাইনার সলভারের জন্য, আমি দেখতে পাচ্ছি যে এখানে কী হচ্ছে তা নির্ধারণের সাথে একটি সমস্যা রয়েছে; তবে কি লিনিয়ার সিস্টেমের সাথে বলা সহজ হওয়া উচিত নয়?

— আইজমেল

আমাকে সমস্যাগুলি তৈরি করে কীভাবে ডিগ্রেনারিটি সনাক্ত করা যায় সে সম্পর্কে ভাবতে হবে, তবে সাধারণত ব্যবহারকারীরা একটি অনুকূল সমাধান চান, সুতরাং এলপির জন্য সর্বাধিক গুরুত্বপূর্ণ তথ্যটি সমাধানটি অনুকূল, সম্ভাব্য (তবে অনুকূল নয়) হলে ফিরে আসা, অক্ষম বা সীমাহীন (এই স্ট্যাটাসগুলি আসলে সিপিএলএক্সের মতো কোনও দ্রাবক ফিরে আসবে)) অবক্ষয় মূলত একটি তাত্ত্বিক বিষয়; সংখ্যার প্রেক্ষাপটে এটি আলোচনার একমাত্র কারণ হ'ল হয় অ্যালগরিদম ডিজাইনে বা অনুশীলনে, লক্ষণীয় যে অবনতি সাধারণত একটি সমাধানকারীকে ধীর করে দেয়।

— জিওফ অক্সবেরি