আমরা যখন সাম্য হিসাবে হাইজেনবার্গ অনিশ্চয়তা নীতি লিখতে পারি?

আমরা জানি যে হাইজেনবার্গের অনিশ্চয়তার নীতিমালাটি জানিয়েছে যে

Δ চ Δ টি \geq \frac{1}{4 π} ।

$\Delta f \Delta t \geq \frac{1}{4 \pi}.$

তবে (মরলেট তরঙ্গলেটের ক্ষেত্রে অনেক ক্ষেত্রে) আমি দেখেছি যে তারা অসমতাটিকে একটি সাম্যতায় পরিবর্তন করেছে। এখন আমার প্রশ্নটি হ'ল কখন আমাদের এই অসমতাটিকে সমতায় পরিবর্তন করার অনুমতি দেওয়া হয়:

Δ চ Δ টি = \frac{1}{4 π}

$\Delta f \Delta t = \frac{1}{4 \pi}$ why =

fourier-transform wavelet resolution

— Electricman
সূত্র

এটি খুব আকর্ষণীয় বলে মনে হচ্ছে

— ডেটো ডাটুয়াশভিলি

যেহেতু আমি জানি এটি সমান যদি গৌসি বিতরণ সর্বোত্তম আকার হয় তবে দয়া করে এই বইটি দ্য ইলাস্ট্রেটেড ওয়েভলেট ট্রান্সফর্ম হ্যান্ডবুকটি দেখুন: বিজ্ঞান, প্রকৌশল, মেডিসিন ও ফিনান্সে পরিচিতি তত্ত্ব এবং অ্যাপ্লিকেশনগুলি

— ডেটো ডাটুয়াশভিলি

লিঙ্কটি সাথী হয়ে গেছে, আপনি হয় বইটি ইমেল করবেন বা অন্য লিঙ্কটি দয়া করে প্রেরণ করবেন? আমার ইমেল: <বৈদ্যুতিক ট্রান্সলেশন@gmail.com> ধন্যবাদ @ দাতোডাতুয়াশভিলি

— ইলেকট্রিকম্যান

উত্তর:

অনিশ্চয়তার নীতির কোনও বিশেষ রূপ নিয়ে আলোচনা করার আগে একটি সংকেতের সময় এবং ফ্রিকোয়েন্সি প্রস্থ। এবং সংজ্ঞা দেওয়া গুরুত্বপূর্ণএই পরিমাণগুলির কোনও অনন্য সংজ্ঞা নেই। যথাযথ সংজ্ঞা দিয়ে এটি দেখানো যেতে পারে যে কেবল গাউশিয়ান সিগন্যালই সাম্যের সাথে অনিশ্চয়তার নীতিকে সন্তুষ্ট করে। $\Delta_t$ $\Delta_{\omega}$

ফুরিয়ার ট্রান্সফর্ম সন্তোষজনক সহ একটি সিগন্যাল বিবেচনা করুন $f(t)$ $F(\omega)$

\int_{- \infty}^{\infty} চ^{2} (টি) ঘ টি = 1 (ইউনিট শক্তি) \int_{- \infty}^{\infty} টি | চ (টি) |^{2} ঘ টি = 0 (চারপাশে কেন্দ্রীভূত টি = 0) \int_{- \infty}^{\infty} ω | এফ (ω) |^{2} ঘ ω = 0 (চারপাশে কেন্দ্রীভূত ω = 0)

$\int_{-\infty}^{\infty}f^2(t)dt=1\quad\textrm{(unit energy)}\\ \int_{-\infty}^{\infty}t|f(t)|^2dt=0\quad\textrm{(centered around }t=0)\\ \int_{-\infty}^{\infty}\omega|F(\omega)|^2d\omega=0\quad\textrm{(centered around }\omega=0)$

এই শর্তগুলির কোনওটিই আসলে একটি সীমাবদ্ধতা নয়। উপযুক্ত স্কেলিং, অনুবাদ এবং সংশোধন করে তারা সকলেই (সীমাবদ্ধ শক্তির সংকেতের জন্য) সন্তুষ্ট হতে পারে।

যদি আমরা এখন সময় এবং ফ্রিকোয়েন্সি প্রস্থগুলি নিম্নলিখিত হিসাবে সংজ্ঞায়িত করি

Δ_{টি}^{2} = \int_{- \infty}^{\infty} {টি}^{2} | চ (টি) |^{2} ঘ টি Δ_{ω}^{2} = \int_{- \infty}^{\infty} ω^{2} | এফ (ω) |^{2} ঘ ω

$\Delta_t^2=\int_{-\infty}^{\infty}t^2|f(t)|^2dt\\ \Delta_{\omega}^2=\int_{-\infty}^{\infty}\omega^2|F(\omega)|^2d\omega$

তারপরে অনিশ্চয়তার নীতিতে বলা হয়েছে

\begin{matrix} (2.6.2) & Δ_{টি}^{2} Δ_{ω}^{2} \geq \frac{π}{2} \end{matrix}

$\Delta_t^2\Delta_{\omega}^2\ge\frac{\pi}{2}\tag{2.6.2}$

(যদি জন্য চেয়ে দ্রুত ) $f(t)$ $1/\sqrt{t}$ $t\rightarrow\pm\infty$

যেখানে বৈষম্য গাউসিয়ান সিগন্যালের সমতাতে সন্তুষ্ট

\begin{matrix} (2.6.3) & চ (টি) = \sqrt{\frac{α}{π}} ই^{- α {টি}^{2}} \end{matrix}

$f(t)=\sqrt{\frac{\alpha}{\pi}}e^{-\alpha t^2}\tag{2.6.3}$

উপরের সমীকরণের নম্বরগুলি নীচের প্রমাণের সাথে মিলে যা ভেটেরলি এবং কোভাসেভিক (পি। 80) দ্বারা ওয়েভলেট এবং সাবব্যান্ড কোডিং থেকে প্রাপ্ত :

এখানে চিত্র বর্ণনা লিখুন

— ম্যাট এল।
সূত্র

গণিতের জন্য ধন্যবাদ, আমি এটি বুঝতে চেষ্টা করব। @ ম্যাট-এল

— ইলেকট্রিকম্যান

@ ম্যাট এল: আপনি স্কোয়ার ওয়েটফ্যাক্টরের সাথে সময় এবং ফ্রিকোয়েন্সি প্রস্থকে সংজ্ঞায়িত করেন কেন? আমি স্কুলে দেখেছি যে andt এবং ∆w রূপগুলি। বিতরণের বিভিন্নতা লিনিয়ার ওয়েটফ্যাক্টরের সাথে রয়েছে? এটা কি? তাহলে এর অর্থ কি এই অনিশ্চয়তা নীতিটি কোনও ফাংশনের বিভিন্নতা এবং এর বর্ণালীটির বৈকল্পিকতা সম্পর্কে কথা বলে না?

— মার্টিজন কোর্টে

@ মার্তিজন কোর্টেউক্স: এটি একটি সংকেতের প্রস্থ নির্ধারণের একটি সম্ভাব্য উপায় way যখন কোনও সময় ফাংশনে প্রয়োগ করা হয় তখন এটিকে প্রায়শই আরএমএস সময়কাল বলা হয় এবং এটি কেবল দ্বিতীয় মুহুর্ত ।

| f (t) |^{2}

$|f(t)|^2$

— ম্যাট এল।

গাণিতিকভাবে কোনও হাইজেনবার্গের অনিশ্চয়তার নীতিটি বলা সম্ভব যা দ্বিতীয় মুহুর্তের সাথে জড়িত ? আমি বুঝতে পারি যে হাইজেনবার্গ , কারণ এটি একটি কণা ওয়েভ ফাংশনের সম্ভাবনা। তবে, আমি সিগন্যাল প্রক্রিয়াজাতকরণের প্রসঙ্গে হাইজেনবার্গের নীতিটি জানতে চাই।

f (t)

$f(t)$

| f (x) |^{2}

$|f(x)|^2$

— মারটিজন কোর্টে

@MartijnCourteaux এই হল সংকেত প্রক্রিয়াজাতকরণ প্রেক্ষাপটে অনিশ্চয়তা নীতি। এর দ্বিতীয় মুহুর্তের সময়কাল হিসাবে ব্যাখ্যা নেই, কারণ ধনাত্মক এবং নেতিবাচক হতে পারে। একটি বিজোড় সংকেত কল্পনা করুন । এর দ্বিতীয় মুহুর্ত সর্বদা শূন্য থাকে (যদি সংহত রূপান্তরিত হয়)।

f (t)

$f(t)$

f (t)

$f(t)$

f (t)

$f(t)$

\int_{- \infty}^{\infty} t^{2} f (t) d t

$\int_{-\infty}^{\infty}t^2f(t)dt$

— ম্যাট এল।

আমি এর পিছনে সমস্ত তত্ত্ব আপনাকে দিতে পারি না (এটি আক্ষরিকভাবে বইগুলি পূরণ করে) তবে দেখা যাচ্ছে যে হাইজেনবার্গ এই সংকেতের এই পরিবারের জন্য যথাযথ সাম্য হয়ে উঠেছে:

{গুলি}_{{টি}_{0}, ω_{0}, σ, φ, γ} (টি) = মেপুঃ (- {(\frac{টি - {টি}_{0}}{σ})}^{2} + + আমি (φ + + ω_{0} (টি - {টি}_{0}) + + γ (টি - {টি}_{0})^{2}))

$s_{t_0,\omega_0,\sigma,\phi,\gamma}(t) = \exp\left(-\left(\frac{t-t_0}{\sigma}\right)^2 + i \left(\phi + \omega_0 (t-t_0) + \gamma (t-t_0)^2\right)\right)$

যেখানে সমস্ত পরামিতিগুলি আসল সংখ্যা। এই পরিবারটি একটি একক গ্যাবরের পরমাণু থেকে সময়-ফ্রিকোয়েন্সিতে চতুর্ভুজীয় সিম্পিলোকোমর্ফিজম দ্বারা উত্পন্ন হয়। এই লক্ষণসমূহ হাইজেনবার্গের অনিশ্চয়তার সম্পর্ক রক্ষা করে।

$\Delta F \cdot \Delta T$ $\gamma$

সময় এবং ফ্রিকোয়েন্সি অক্ষের সাথে একত্রিত না হওয়া আকারগুলির ক্ষেত্রটি পরিমাপের জন্য টাইম ফ্রিকোয়েন্সি ক্ষেত্রের ধারণাটি সাধারণ করা যেতে পারে। এর অর্থ এফ এবং টি-এর মধ্যে অনিশ্চয়তা পণ্যের পরিবর্তে আমরা এফ এবং টি দ্বারা বিভক্ত যে কোনও দুটি সংঘবদ্ধ ভেরিয়েবলের ন্যূনতম অনিশ্চয়তা পণ্য পরিমাপ করি details আমি আপনাকে বিশদটি বাদ দেব, তবে সময়-ফ্রিকোয়েন্সি অঞ্চলের এই সংজ্ঞার জন্য সংকেতগুলির পরিবার দেয় আপনি সর্বনিম্ন।

— Jazzmaniac
সূত্র

এটি কি গাবুর ফিজল্টার ফিউনকটিউনস নয়? `

— জিন-ইয়ভেস

এটি "বই পূরণ করে" একটি কারণ হ'ল সমতার জন্য প্রয়োজনীয় অনেকগুলি শর্তগুলি যথাযথভাবে সংজ্ঞায়িত এবং সীমাবদ্ধ (বাস্তব বিশ্বের মতো অন্য কোনও প্রসঙ্গে যে কোনও উপযোগিতার বাইরে)।

— হটপাউ 2

হাইজেনবার্গ অনিশ্চয়তার নীতিটির মূল প্রসঙ্গটি ছিল পদার্থবিজ্ঞান, বিশেষত কোয়ান্টাম মেকানিক্স যেখানে প্রশ্নে কনজুগেট ভেরিয়েবলগুলি অবস্থান এবং গতিবেগ। এটি সময় / ফ্রিকোয়েন্সি বিশ্লেষণের মধ্যে সীমাবদ্ধ নয়।

— ব্যবহারকারী 2718

@ বিজেড, আপনি এখানে কোয়ারের কাছে প্রচার করছেন। আমি গণিতের কোয়ান্টাম পদার্থবিদ ist তবে আমি আপনার মন্তব্যের মূল বক্তব্যটি এখানে বা আপনার নিজের উত্তরে দেখতে পাচ্ছি না।

— জাজমানিয়াক

অনিশ্চয়তার নীতিটি সমাধানের জন্য একটি তাত্ত্বিক সীমা নির্ধারণ করে, তাই এটি কখনও সমতা হিসাবে লেখা হয় না।

আপনি যে সাম্যতা সম্পর্কগুলির মুখোমুখি হচ্ছেন তা নির্দিষ্ট বিশ্লেষণ প্রসঙ্গ এবং বিশ্লেষণ বাস্তবায়নের জন্য। এক্ষেত্রে প্রসঙ্গটি সংকেত বিশ্লেষণ তাই সময় / ফ্রিকোয়েন্সি হ'ল আগ্রহের সংমিশ্রণ ভেরিয়েবল এবং বাস্তবায়ন হ'ল ব্যবহৃত নির্দিষ্ট তরঙ্গকরণ।

সাম্যতা সম্পর্ক বিভিন্ন বিশ্লেষণ বাস্তবায়ন জুড়ে রেজোলিউশনের তুলনা করার একটি উপায় সরবরাহ করে। এই সম্পর্কের ব্যাখ্যার সময় যত্ন নিতে হবে কারণ রেজোলিউশনের সংজ্ঞাটি হওয়া উচিত নয়, তবে এটি পৃথক হতে পারে।

আপনি দুটি বিষয় সংজ্ঞায়িত করার পরে একটি সমতার সম্পর্ক উপযুক্ত: 1) রেজোলিউশনের গাণিতিক অর্থ। 2) বিশ্লেষণের পদ্ধতি (এই ক্ষেত্রে তরঙ্গলেটের পছন্দ)।

— user2718
সূত্র

আপনি যদি আরও গভীর খনন করেন তবে হাইজেনবার্গের নীতিটি রেজোলিউশন সম্পর্কিত বিবৃতি থেকে অনেক বেশি হয়ে যায়। এটি গাণিতিক কাঠামোর টাইম ফ্রিকোয়েন্সি জ্যামিতির সাথে গভীরভাবে সংযুক্ত রয়েছে যাকে বলা হয় সিম্প্লিকটিক নন-কমিউটেটিভ জ্যামিতি। এটি সময়-ফ্রিকোয়েন্সি তথ্যের জন্য একটি তথ্য তাত্ত্বিক পরিমাপ সরবরাহ করে এবং যথাযথভাবে অবিচ্ছেদ্য পরিমাণে পরিণত হয়। এমনকি আপনি এটি স্যান্টেনারি টিএফ-অঞ্চলগুলির পুনর্গঠনের জন্য শ্যানন উপপাদকে সাধারণ করতে ব্যবহার করতে পারেন।

— জাজমানিয়াক

কোয়ান্টাম মেকানিক্সে, অনিশ্চয়তা নীতি হ'ল বিভিন্ন গাণিতিক বৈষম্য যা নির্ভুলতার মৌলিক সীমা নির্ধারণ করে, যার সাহায্যে কণার শারীরিক বৈশিষ্ট্যগুলির কয়েকটি জোড়া পরিপূরক ভেরিয়েবল, যেমন পজিশন এক্স এবং মোমেন্টাম পি হিসাবে এক সাথে পরিচিত হতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, ১৯২27 সালে, ওয়ার্নার হাইজেনবার্গ বলেছিলেন যে কিছু কণার অবস্থান আরও সুনির্দিষ্টভাবে নির্ধারিত হয়, এর গতিবেগ তত কম স্পষ্টভাবে জানা যায় এবং বিপরীতভাবে। [উইকিপিডিয়া - তবে আমি পদার্থবিজ্ঞানে এটি শিখেছি এবং এটি বিশ্লেষণ ক্লাসে আবার পরিদর্শন করেছি]

— ব্যবহারকারী 2718