বিচ্ছিন্ন সময় ফুরিয়ার রূপান্তর এবং স্বতন্ত্র ফুরিয়ার রূপান্তর মধ্যে পার্থক্য

22

আমি ডিটিএফটি এবং ডিএফটি সম্পর্কে অনেকগুলি নিবন্ধ পড়েছি তবে ডিটিএফটি অনন্যতা পর্যন্ত চলে যায়, ডিএফটি কেবল এন -1 পর্যন্ত থাকে এমন কয়েকটি দৃশ্যমান বিষয় ব্যতীত উভয়ের মধ্যে পার্থক্যটি সনাক্ত করতে সক্ষম নই। কেউ দয়া করে পার্থক্যটি ব্যাখ্যা করতে পারেন এবং কখন কী ব্যবহার করবেন? উইকি বলেছেন

ডিএফটি পৃথক সময়ের ফুরিয়ার ট্রান্সফর্ম (ডিটিএফটি) থেকে পৃথক হয় যে এর ইনপুট এবং আউটপুট ক্রম উভয়ই সীমাবদ্ধ; সুতরাং এটি সসীম-ডোমেন (বা পর্যায়ক্রমিক) স্বতন্ত্র সময় ফাংশনগুলির ফুরিয়ার বিশ্লেষণ হিসাবে বলা হয়।

এটা কি একমাত্র পার্থক্য?

সম্পাদনা: এই নিবন্ধটি পার্থক্যটি সুন্দরভাবে ব্যাখ্যা করেছে

discrete-signals fourier-transform

— BaluRaman
সূত্র

4

ডিটিএফটি ফ্রিকোয়েন্সিটির একটি অবিচ্ছিন্ন ফাংশন, তবে ডিএফটি ফ্রিকোয়েন্সিটির একটি পৃথক কার্য।

— জন

মূল কথাটি হ'ল,DFT is sampled version of DFT and the rate is the length of DFT

— এনএম এক্সপ্রিম

@nmxprime আপনার মানে ডিএফটি ডিটিএফটি-র নমুনা সংস্করণ?

— এন্ডোলিথ

1

@endolith Yes.it হয়

— nmxprime

আপনি যে নিবন্ধটি লিঙ্ক করেছেন (পৃষ্ঠা 2) বলেছেন যে "সিটিএফটি আমাদের একটি পৃথক ফ্রিকোয়েন্সি বর্ণালী দিয়েছে"। এটা কি ভুল নয়? আমি ভেবেছিলাম ফুরিয়ার ট্রান্সফর্মের মধ্য দিয়ে অবিচ্ছিন্ন সময়ের এপিওরিওডিক সিগন্যালের ক্ষেত্রে ফ্রিকোয়েন্সি অবিচ্ছিন্ন ছিল।

— আদিত্য পি

14

বিচ্ছিন্ন-সময় ফুরিয়ার ট্রান্সফর্ম (ডিটিএফটি) হ'ল বিযুক্ত-সময় সংকেতের (প্রচলিত) ফুরিয়ার রূপান্তর। এর আউটপুটটি ফ্রিকোয়েন্সি এবং পর্যায়ক্রমিকভাবে নিয়মিত থাকে। উদাহরণ: একটি ধ্রুবক সময় সংকেত এর নমুনাযুক্ত সংস্করণ এর বর্ণালীটি অনুসন্ধান করতে ডিটিএফটি ব্যবহার করা যেতে পারে। $x(kT)$ $x(t)$

বিচ্ছিন্ন ফুরিয়ার ট্রান্সফর্ম (ডিএফটি) কে ডিটিএফটি আউটপুটের নমুনা সংস্করণ (ফ্রিকোয়েন্সি-ডোমেনে) হিসাবে দেখা যায়। এটি কম্পিউটারের সাথে পৃথক সময় সংকেতের ফ্রিকোয়েন্সি বর্ণালী গণনা করতে ব্যবহৃত হয়, কারণ কম্পিউটার কেবলমাত্র সীমাবদ্ধ সংখ্যার মানগুলি পরিচালনা করতে পারে। আমি ডিএফটি আউটপুট সীমাবদ্ধ হওয়ার বিরুদ্ধে তর্ক করব। এটি পাশাপাশি পর্যায়ক্রমিক এবং অতএব অসীমভাবে চালিয়ে যাওয়া যায়।

এটি যোগ করা:

                DTFT                | DFT
       input    discrete, infinite  | discrete, finite *)
       output   contin., periodic   | discrete, finite *)

*) ডিএফটির একটি গাণিতিক সম্পত্তি হ'ল এর ইনপুট এবং আউটপুট উভয়ই ডিএফটি দৈর্ঘ্যের সহ পর্যায়ক্রমিক । এটি, যদিও ডিএফটি-র ইনপুট ভেক্টরটি অনুশীলনে সীমাবদ্ধ, তবে এটি বলা ঠিক হবে যে ডিএফটি ইনপুট পর্যায়ক্রমিক বলে মনে করা হলে ডিএফটি নমুনা বর্ণালী। $N$

— Deve
সূত্র

1

তুমি কি বোঝাতে চেয়েছেন যে DTFT ইনপুট মধ্যে সসীম?

— লুৎজ লেহম্যান

@ লুটজএল এটি সাধারণভাবে অসীম হতে পারে, হ্যাঁ। আমি এটা পরিবর্তন করব। ডিএফটি আউটপুট সম্পর্কে কী: আপনি বরং এটি সীমাবদ্ধ বা পর্যায়ক্রমিক বলবেন ?

— ডেভ

আমি মনে করি ডিএফটি-র আউটপুটটি এন-পর্যায়ক্রমিক, সীমাবদ্ধ ক্রম

— বালুরামান

1

ডিএফটি-তে, অনেক কিছুই ব্যাখ্যার উপর নির্ভর করে। প্রযুক্তিগত দৃষ্টিকোণ থেকে, এটি সসীমকে সসীম রূপান্তর করে। এই দৃষ্টিভঙ্গি থেকে যে এটি একটি ত্রিকোণমিত্রিক বহুবর্ষের গুণাগুণগুলি গণনা করে, কেউ বলতে পারে যে এটি অসীম বিচ্ছিন্ন সাময়িকিকে সীমাবদ্ধ করে দেয়। তবে কেউ ইনপুট উপস্থাপন করতে ব্যবহৃত ফ্রিকোয়েন্সিগুলির উইন্ডোটি স্থানান্তর করতে পারে এবং সমস্ত সম্ভাব্য ফ্রিকোয়েন্সিগুলির প্রশস্ততা আবার একটি পর্যায়ক্রমিক ক্রম গঠন করে।

— লুৎজ লেহম্যান

আরও সামঞ্জস্যপূর্ণ হতে আমি ডিএফটি ইনপুট জন্য "সসীম" এর পরিবর্তে "সাময়িকী" রাখি put এটি ডিএফটি (আউটপুট) বিযুক্ত হওয়ার সরাসরি পরিণতি।

— ম্যাট এল।

18

ঠিক আছে, আমি এই যুক্তি দিয়ে উত্তর দেব যে ডিএফটি সম্পর্কিত আমার অনমনীয় নাজির মতো অবস্থানের "বিরোধী" রয়েছে।

প্রথমত, আমার অনমনীয়, নাজি-সদৃশ অবস্থান : ডিএফটি এবং বিচ্ছিন্ন ফুরিয়ার সিরিজটি এক এবং একই। DFT এক অসীম এবং পর্যায়ক্রমিক ক্রম, মানচিত্র $x[n]$ পিরিয়ড সহ $N$ অন্য অসীম এবং পর্যায়ক্রমিক ক্রম থেকে "সময়" ডোমেন এ, $X[k]$ , আবার পিরিয়ড সহ $N$ , "ফ্রিকোয়েন্সি" ডোমেন হবে। এবং আইডিএফটি এটিকে আবার মানচিত্র করে। এবং তারা "ইনজেকশন" বা "ইনভারটিভেবল" বা "ওয়ান-টু ওয়ান"।

ডিএফটি:

এক্স [ট] = Σ_{এন = 0}^{এন - 1} এক্স [এন] ই^{- ঞ 2 π এন ট / এন}

$X[k] = \sum\limits_{n=0}^{N-1} x[n] e^{-j 2 \pi nk/N}$

আইডিএফটি:

এক্স [এন] = \frac{1}{এন} Σ_{ট = 0}^{এন - 1} এক্স [ট] ই^{ঞ 2 π এন ট / এন}

$x[n] = \frac{1}{N} \sum\limits_{k=0}^{N-1} X[k] e^{j 2 \pi nk/N}$

এটিই মূলত ডিএফটি হ'ল। এটি স্বভাবতই পর্যায়ক্রমিক বা বৃত্তাকার জিনিস।

তবে পর্যায়ক্রমিকতা অস্বীকার করে ডিএফটি সম্পর্কে এটি বলতে চাই। এটি সত্য, এটি কেবল উপরের কোনওটি পরিবর্তন করে না।

সুতরাং, ধরুন আপনার দৈর্ঘ্য এর একটি সীমাবদ্ধ দৈর্ঘ্যের ক্রম $x[n]$ ছিল এবং পর্যায়ক্রমে এটি প্রসারিত করার পরিবর্তে (যা DFT সহজাতভাবে করে), আপনি বাম এবং ডান উভয় দিকে সীমিতভাবে এই সীমাবদ্ধ দৈর্ঘ্যের ক্রম যুক্ত করুন। সুতরাং $N$

\hat{এক্স} [এন] ≜ {\begin{cases} এক্স [এন] & জন্য 0 \leq এন \leq এন - 1 \\ 0 & অন্যভাবে \end{cases}

$\hat{x}[n] \triangleq \begin{cases} x[n] \qquad & \text{for } 0 \le n \le N-1 \\ \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}$

এখন, এই অ পুনরাবৃত্তি অসীম অনুক্রম আছে একটি DTFT আছে:

\hat{এক্স} (ই^{ঞ ω}) = Σ_{এন = - \infty}^{+ + \infty} \hat{এক্স} [এন] ই^{- ঞ ω এন}

$\hat{X}\left(e^{j\omega}\right) = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} \hat{x}[n] e^{-j \omega n}$

$\hat{X}\left(e^{j\omega}\right)$ এর জেড-রুপান্তর হয়ইউনিট বৃত্ত উপর মূল্যায়নজন্য অসীম অনেকবাস্তবমান। এখন, আপনি যদি নমুনা ছিল DTFTএএক বিন্দু দিয়ে ইউনিট বৃত্ত উপর সমানভাবে ব্যবধানে পয়েন্ট,, আপনি পেতে হবে $\hat{x}[n]$ $z=e^{j\omega}$ $\omega$ $\hat{X}\left(e^{j\omega}\right)$ $N$ $z=e^{j\omega}=1$

\begin{aligned} \hat{এক্স} (ই^{ঞ ω}) |_{ω = 2 π \frac{ট}{এন}} & = Σ_{এন = - \infty}^{+ + \infty} \hat{এক্স} [এন] ই^{- ঞ ω এন} |_{ω = 2 π \frac{ট}{এন}} \\ = Σ_{এন = - \infty}^{+ + \infty} \hat{এক্স} [এন] ই^{- ঞ 2 π ট এন / এন} \\ = Σ_{এন = 0}^{এন - 1} \hat{এক্স} [এন] ই^{- ঞ 2 π ট এন / এন} \\ = Σ_{এন = 0}^{এন - 1} এক্স [এন] ই^{- ঞ 2 π ট এন / এন} \\ = এক্স [ট] \end{aligned}

$\begin{align} \hat{X}\left(e^{j\omega}\right)\Bigg|_{\omega = 2 \pi\frac{k}{N}} & = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} \hat{x}[n] e^{-j \omega n} \Bigg|_{\omega = 2 \pi\frac{k}{N}} \\ & = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} \hat{x}[n] e^{-j 2 \pi k n/N} \\ & = \sum\limits_{n=0}^{N-1} \hat{x}[n] e^{-j 2 \pi k n/N} \\ & = \sum\limits_{n=0}^{N-1} x[n] e^{-j 2 \pi k n/N} \\ & = X[k] \\ \end{align}$

এটি ডিএফটি এবং ডিটিএফটি কীভাবে সম্পর্কিত। , "ফ্রিকোয়েন্সি" ডোমেন কারণ মধ্যে অভিন্ন অন্তর DTFT স্যাম্পলিং "সময়" ডোমেইনে, মূল ক্রম পুনরাবৃত্তি এবং সব গুণিতক দ্বারা স্থানান্তরিত করা হবে এবং ওভারল্যাপ এডেড। অন্য ডোমেনে এক ডোমেনে অভিন্ন নমুনা সৃষ্টি করার কারণ এটি। কিন্তু, যেহেতু হতে ভাবা হয় ব্যবধান বাইরে , যে ওভারল্যাপ-যোগ করেন কিছুই নেই। এটা ঠিক কিছু সময় অন্তর এর নন-জিরো অংশ প্রসারিত $\hat{x}[n]$ $N$ $\hat{x}[n]$ $0$ $0 \le n \le N-1$ $\hat{x}[n]$ , আমাদের আসল সীমা-দৈর্ঘ্যের ক্রম, $x[n]$ ।

— রবার্ট ব্রিস্টো-জনসন
সূত্র

3

গৃহীত উত্তরটি ভাল ছিল তবে আমি আপনার উত্তরটি আরও অন্তর্দৃষ্টিপূর্ণ বলে খুঁজে পেয়েছি। ডিটিএফটি এবং ডিএফটি-র মধ্যে প্রকৃত গাণিতিক সংযোগ সরবরাহ করার জন্য আপনাকে ধন্যবাদ ... বিশেষত স্পেকট্রা নমুনা যা সময়-ডোমেনে পর্যায়ক্রমে সৃষ্টি করে। আমি সবসময় ভুলে যাওয়া একটি পয়েন্ট।

— রায়রিং - মনিকা

আপনার দ্বিতীয় অনুচ্ছেদে বোঝা যাচ্ছে যে ডিএফটিগুলি দৈর্ঘ্যে অসীম ইনপুট অনুক্রমগুলি গ্রহণ করে। কেউ কি কখনও অসীম দৈর্ঘ্যের ডিএফটি করেছেন?

— রিচার্ড

আরে রিক, আপনাকে এখানে comp.dsp থেকে দেখতে ভাল লাগছে । আমার মনে আছে আমি প্রথম পেছনে স্থানান্তরিত হওয়ার পরে @ পিটারকে আপনাকে অভিনন্দন জানালাম (তবে আমি কখনই কম.ডিএসপি ছাড়ব না )। যাইহোক, ডিএফএস যে ডিগ্রি অসীম দৈর্ঘ্যের একটি ইনপুট অনুক্রম গ্রহণ করে সেই ডিগ্রিতে ডিএফটি অসীম দৈর্ঘ্যের একটি ইনপুট গ্রহণ করে। আমি যা বলছি তা হচ্ছে ডিএফটি এবং ডিএফএস এক এবং একই রকম the

— রবার্ট ব্রিস্টো-জনসন

1

@ রবার্ট ব্রিস্টো-জনসন এটি একটি সুন্দর ব্যাখ্যা ছিল। আমার প্রশ্নটি খারাপ হতে পারে তবে আলাদা ফুরিয়ার সিরিজের মাধ্যমে আপনি সেই ক্ষেত্রে উল্লেখ করছেন যেখানে ইনপুটটি একটি ধারাবাহিক পর্যায়ক্রমিক ক্রিয়া যা উভয় দিক দিয়েই সীমাহীনভাবে চলে, সঠিক? আমি যা মনে করি তা থেকে জর্জ সিলভের ডোভার বইটি পড়া থেকে, যদি আপনি ফ্রিকোয়েন্সিগুলির একটি সূক্ষ্ম পর্যাপ্ত গ্রিড ব্যবহার করে ফুরিয়ার সহগের সংখ্যাটি যথেষ্ট পরিমাণে বাড়িয়ে তোলেন, তবে ফুরিয়ার সিরিজটি নিরবচ্ছিন্নভাবে নিবিড়ভাবে একটি পিরিয়ড ক্রমাগত ফাংশন পুনরুত্পাদন করতে পারে। এই আপনি যে Fs উল্লেখ করছেন, যখন আপনি বলছেন যে এগুলি ডিএফটি-র মতোই, ঠিক? ধন্যবাদ.

— চিহ্নিত করুন লিড

এক্স [ট] = Σ_{এন = 0}^{এন - 1} এক্স [এন] ই^{- ঞ 2 π এন ট / এন}

$X[k] = \sum\limits_{n=0}^{N-1} x[n] e^{-j 2 \pi nk/N}$

এক্স [এন] = \frac{1}{এন} Σ_{ট = 0}^{এন - 1} এক্স [ট] ই^{ঞ 2 π এন ট / এন}

$x[n] = \frac{1}{N} \sum\limits_{k=0}^{N-1} X[k] e^{j 2 \pi nk/N}$

x [n]

$x[n]$

X [k]

$X[k]$

N

$N$

এক্স [এন + + এন] = এক্স [এন] \forall এন \in জেড

$x[n+N] = x[n] \qquad \forall n \in \mathbb{Z}$

এক্স [ট + + এন] = এক্স [ট] \forall ট \in জেড

$X[k+N] = X[k] \qquad \forall k \in \mathbb{Z}$

N

$N$

1

যেহেতু ডিটিএফটি আউটপুট অবিচ্ছিন্ন, এটি কম্পিউটার দিয়ে প্রক্রিয়া করা যায় না। সুতরাং আমাদের এই ধারাবাহিক সংকেতটিকে স্বতন্ত্র আকারে রূপান্তর করতে হবে। গণনা কমাতে এফএফটি-তে আরও অগ্রগতি হিসাবে এটি ডিএফটি ছাড়া আর কিছুই নয়।

— গৌরব সিংহল
সূত্র

0

আমি যদি সঠিক হয় তবে ডিএফটি ইনপুট পর্যায়ক্রমিক হলেও নমুনার সংখ্যা সীমাবদ্ধ হলেও এর পেছনের গণিত এটিকে একটি অসীম অনুক্রম হিসাবে গণ্য করে যা পর্যায়ক্রমে Nসমাপ্তির পরে নমুনাগুলি শুরু করে । আমি ভুল হলে আমাকে সংশোধন করুন।

— ubuntu_noob
সূত্র

কমপ্লেক্সেএসপি-তে এমন কিছু যে আমার সাথে তর্ক থাকতে পারে আপনাকে সম্ভবত "সংশোধন" করতে পারে তবে তারা ভুল। ডিএফটি এবং ডিসক্রেট ফুরিয়ার সিরিজের মধ্যে কোনও পার্থক্য নেই। কেউ কিছু.

— রবার্ট ব্রিস্টো-জনসন

এখানে কী বলা হচ্ছে তা বুঝতে আমাকে সাহায্য করার জন্য, আপনি "ডিস্ক্রিট ফুরিয়ার সিরিজ" নামে অভিহিত হওয়া অপারেশনটির আউটপুট সম্পর্কিত আমার একটি প্রশ্ন রয়েছে have এই আউটপুটটি কি সংখ্যার ক্রম বা একটানা ফাংশন (সমীকরণ) হয়?

— রিচার্ড লায়ন্স

-1

এক্স [ট] = Σ_{এন = 0}^{এন - 1} এক্স [এন] ই^{- ঞ 2 π এন ট / এন}

$X[k]=\sum_{n=0}^{N−1} x[n] e^{−j2\pi nk/N}$

এক্স [এন] = \frac{1}{এন} Σ_{ট = 0}^{এন - 1} এক্স [ট] ই^{ঞ 2 π এন ট / এন}

$x[n]=\frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N−1} X[k] e^{j2\pi nk/N}$

— user25761
সূত্র

1

দয়া করে লেটেক্স মার্কআপটি ব্যবহার করুন যাতে আপনার গণিতটি পাঠযোগ্য এবং আপনার অনুসরণ করা প্রক্রিয়াটির আরও কিছুটা ব্যাখ্যা করুন, যাতে আপনার উত্তরটি আসলে ওপিকে সহায়তা করতে পারে।

— এমবাজ