1D সিগন্যালের একটি কনভোলিউশন সমস্যা সমাধান করা

আমি এই অনুশীলনটি সমাধান করার চেষ্টা করে সমস্যায় পড়ছি। আমাকে এই সংকেতটির প্রত্যয় গণনা করতে হবে:

y (t) = e^{- k t} u (t) \frac{\sin (\frac{π t}{10})}{(π t)}

$y(t)=e^{-kt}u(t)\frac{\sin\left(\dfrac{{\pi}t}{10}\right)}{({\pi}t)}$

কোথায় $u(t)$ Heavyside ফাংশন

ভাল আমি সূত্রটি প্রয়োগ করেছিলাম যা বলে যে এই দুটি সিগন্যালের সমান সমান

Y (f) = X (f) \cdot W (f)

$Y(f)=X(f)\cdot W(f)$

কোথায় $X(f)$ প্রথম সংকেতের ফুরিয়ার রূপান্তর এবং $W(f)$ দ্বিতীয় সংকেতের ফুরিয়ার রূপান্তর

ভাল ফুরিয়ার রূপান্তর $e^{-kt}u(t)$ হয়

X (f) = \frac{1}{k + j 2 π f}

$X(f)=\dfrac{1}{k+j2{\pi}f}$

আমি যথাসম্ভব সমান দ্বিতীয় সংকেত করতে হবে $\text{sinc}\left(\dfrac{t}{10}\right)$

সুতরাং আমি এই অপারেশন করি:

\frac{\sin (\frac{π t}{10})}{(\frac{π t}{10})} (\frac{1}{10})

$\dfrac{\sin\left(\dfrac{{\pi}t}{10}\right)}{\left(\dfrac{{\pi}t}{10}\right)}{\left(\dfrac{1}{10}\right)}$ এটি সমান

(\frac{1}{10}) sinc (\frac{t}{10})

${\left(\dfrac{1}{10}\right)}\text{sinc}\left(\dfrac{t}{10}\right)$

ঠিক আছে নাকি?

— Mazzy
সূত্র

আমার কাছে সঠিক দেখাচ্ছে একটি সতর্কতা- সিন্কের কয়েকটি সংজ্ঞায় আপনি যেমন করেছেন তেমন প্যারামিটারগুলিতে পাইও অন্তর্ভুক্ত রয়েছে এবং কেউ কেউ ধরে নেন (যেমন তারা সিনকটি লিখতেন (t / 10))। উভয়ই ঠিক আছে, যতক্ষণ আপনি বুঝতে পারছেন আপনি কী করছেন।

— জিম ক্লে

এছাড়াও মনে রাখবেন বিপরীত ফুরিয়ার রুপান্তর এর

Y (f)

$Y(f)$ আপনি যে দৃ conv়বিশ্বাসের ফলাফল খুঁজছেন তা সময় ডোমেনে কনভোলশন এবং ফ্রিকোয়েন্সি ডোমেনে গুণনের মধ্যে দ্বৈত ব্যবহারটি আপনাকে বিবর্তন রূপান্তর করতে যদি শক্ত হয় তবে বিশ্লেষণাত্মকভাবে সমঝোতার ফলাফল নির্ধারণ করতে সহায়তা করবে না।

— জেসন আর

যদিও আমি বুঝতে পেরেছি যে এটি খুব দেরিতে প্রতিক্রিয়া, তবুও আমি এই প্রশ্নের উত্তর দেওয়ার চেষ্টা করব কারণ আমি এটিকে শিক্ষণীয় বলে মনে করি এবং কারণ আপভোটের সংখ্যা এই পরামর্শ দেয় যে এই প্রশ্নটি সম্প্রদায়ের জন্য সাধারণ আগ্রহী।

ইতিমধ্যে প্রশ্নে পরামর্শ হিসাবে, আসুন দুটি সংকেত সংজ্ঞায়িত করা যাক $x(t)$ এবং $w(t)$ যেমন

x (t) = e^{- k t} u (t), k > 0 w (t) = \frac{\sin (π t / 10)}{π t}

$x(t)=e^{-kt}u(t),\quad k>0\\w(t)=\frac{\sin(\pi t/10)}{\pi t}$

সমঝোতার একটি সম্ভাব্য ব্যাখ্যা $(x*w)(t)$ এটি হ'ল এক অতি স্পষ্টভাবে স্যাঁতসেঁতে সংকেত $x(t)$ প্রবণতা প্রতিক্রিয়া সহ একটি আদর্শ লোপাস ফিল্টার দ্বারা ফিল্টার করা হয় $w(t)$ । প্রশ্নে এটিও সঠিকভাবে উল্লেখ করা হয়েছিল যে টাইম ডোমেনে কনভোলশন ফ্রিকোয়েন্সি ডোমেনে গুণনের সাথে মিলে যায়। এর ফুরিয়ার অবিচ্ছেদ্য $x(t)$ সহজেই গণনা করা যায়:

X (j ω) = \int_{0}^{\infty} e^{- k t} e^{- j ω t} d t = \frac{1}{k + j ω}

$X(j\omega)=\int_{0}^{\infty}e^{-kt}e^{-j\omega t}dt = \frac{1}{k+j\omega}$

ফুরিয়ার রূপান্তর $w(t)$ পরিচিত হওয়া উচিত কারণ এটি একটি আদর্শ লোপাস ফিল্টার। প্রশ্নটিতে সিন সিন ফাংশনটির সংজ্ঞা সম্পর্কে কিছু বিভ্রান্তি ছিল। আমি কেবল কাট-অফ ফ্রিকোয়েন্সি সহ unityক্য লাভ লোপাস ফিল্টারটির প্ররোচিত প্রতিক্রিয়া মনে রাখার পরামর্শ দিই $\omega_0=2\pi f_0$ সিনক ফাংশনটির কোনও সংজ্ঞা ব্যবহার না করেই:

\begin{matrix} (1) & h_{L P} (t) = \frac{\sin ω_{0} t}{π t} \end{matrix}

$h_{LP}(t)=\frac{\sin \omega_0 t}{\pi t}\tag{1}$

সংজ্ঞা (1) এর সংজ্ঞা দিয়ে $w(t)$ , আমরা এটি দেখতে $w(t)$ কাট-অফ ফ্রিকোয়েন্সি সহ কেবল unityক্য লাভ লোপাস ফিল্টার $\omega_0=\pi/10$ :

W (j ω) = u (ω + ω_{0}) - u (ω - ω_{0})

$W(j\omega)=u(\omega+\omega_0)-u(\omega-\omega_0)$ যেখানে আমি পদক্ষেপটি ব্যবহার করেছি

u (ω)

$u(\omega)$ ফ্রিকোয়েন্সি ডোমেনে।

সময় ফাংশন সন্ধান করতে $y(t)=(x*w)(t)$ কেউ এর বিপরীত ফুরিয়ার রূপান্তর গণনা করতে পারে $Y(j\omega)=X(j\omega)W(j\omega)$ :

y (t) = \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} X (j ω) W (j ω) e^{j ω t} d ω = \frac{1}{2 π} \int_{- ω_{0}}^{ω_{0}} \frac{1}{k + j ω} e^{j ω t} d ω

$y(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}X(j\omega)W(j\omega)e^{j\omega t}d\omega= \frac{1}{2\pi}\int_{-\omega_0}^{\omega_0}\frac{1}{k+j\omega}e^{j\omega t}d\omega$

দুর্ভাগ্যক্রমে, প্রাথমিক ফাংশনগুলি ব্যবহার করে এই ইন্টিগ্রালের কোনও বদ্ধ ফর্ম সমাধান নেই। এটি সূচকীয় ইন্টিগ্রাল ব্যবহার করে সংখ্যায়িকভাবে মূল্যায়ন করা যায় $\text{Ei}(x)$ , বা, বিকল্পভাবে, সাইন এবং কোসাইন ইন্টিগ্রালগুলি $\text{Si}(x)$ এবং $\text{Ci}(x)$ । সুতরাং আমি মনে করি না যে অনুশীলনের উদ্দেশ্যটি ছিল প্রকৃতপক্ষে কনভলিউশন গণনা করা, তবে এর উদ্দেশ্য সম্ভবত কী চলছে তার একটি গুণগত বিবরণ নিয়ে আসা হয়েছিল (একটি আদর্শ লোপাস ফিল্টার দ্বারা সূচিত ক্ষতিকারক সংকেত)।

তবুও, আমি ভেবেছিলাম সিগন্যালটি একবার দেখে নেওয়া শিক্ষামূলক হবে $y(t)$ , তাই আমি এটি পরামিতিগুলির জন্য সংখ্যাগতভাবে মূল্যায়ন করেছি $k=0.05$ এবং $\omega_0=\pi/10$ । নিম্নলিখিত চিত্রটি ফলাফলটি দেখায়: এখানে চিত্র বর্ণনা লিখুন

সবুজ বক্ররেখা ইনপুট সংকেত $x(t)$ এবং নীল বক্ররেখা ফিল্টার করা সংকেত $y(t)$ । এর (অ-কার্যকারণীয়) রিপলগুলি নোট করুন $y(t)$ জন্য $t<0$ আদর্শ (অ-কার্যকারিতা) লোপাস ফিল্টার দ্বারা সৃষ্ট। আমরা যদি লোপাস ফিল্টারের কাট-অফ ফ্রিকোয়েন্সি বাড়িয়ে তুলি তবে ইনপুট সিগন্যালের বিকৃতি আরও ছোট হওয়া উচিত। এটি পরবর্তী চিত্রটিতে প্রদর্শিত হবে যেখানে আমি 10 এর গুণক দ্বারা কাট-অফ ফ্রিকোয়েন্সি বাড়িয়েছি $\omega_0=\pi$ (পরিবর্তে $\pi/10$ ):

এখানে চিত্র বর্ণনা লিখুন

— ম্যাট এল।
সূত্র

সম্ভবত এর চেয়ে আরও ভাল ব্যাখ্যার কোনও দৈহিক-বাস্তবের যোগ্য প্রথম-অর্ডার লো-পাস ফিল্টারের জন্য প্রয়োগ করা একটি সংশ্লেষ ফাংশন ইনপুট হবে যার আবেগ প্রতিক্রিয়া ক্ষয়িষ্ণু সূচকীয়?

— দিলীপ সরোতে

অবশ্যই এটি অন্য বৈধ ব্যাখ্যা, তবে কেন আরও ভাল? ঠিক আছে, সিস্টেমটি উপলব্ধি করা যায় তবে ইনপুট সিগন্যালটি নয়। একটি আদর্শ লোপাস ফিল্টার একটি স্ট্যান্ডার্ড সিস্টেম যা প্রায়শই বিশ্লেষণ করা হয় এবং শিক্ষণীয় উদ্দেশ্যে ব্যবহার করা হয় যদিও এটি উপলব্ধি করা যায় না। যাইহোক, ভাগ্যক্রমে ফলাফল একই থাকে :)

— ম্যাট এল।