ডিউরাক কম্বির ডিউরাক কম্বির ফুরিয়ার রূপান্তর কেন?

Question

এটি আমার কাছে তাৎপর্যপূর্ণ নয় , কারণ হাইজেনবার্গ বৈষম্য বলে যে। ~ 1।$\Delta t\Delta \omega$

অতএব যখন আপনার কিছু সময় নিখুঁতভাবে স্থানীয়ীকৃত হয়, আপনি কিছুটা ফ্রিকোয়েন্সিতে সম্পূর্ণরূপে বিতরণ করেন। সুতরাং মৌলিক সম্পর্ক যেখানে the ফুরিয়ার ট্রান্সফর্ম অপারেটর।$\mathfrak{F}\{\delta(t)\} = 1$$\mathfrak{F}$

তবে ডিউরাক ঝুঁটির জন্য , ফুরিয়ার ট্রান্সফর্মটি প্রয়োগ করে, আপনি অন্য একটি ডায়রাক ঝুঁটি পেয়েছেন। স্বজ্ঞাতভাবে, আপনার আরও একটি লাইন পাওয়া উচিত।

কেন এই অন্তর্দৃষ্টি ব্যর্থ হয়?

Answer 1

আমি বিশ্বাস করি যে ভ্রান্তিটি বিশ্বাস করা যায় যে একটি ডায়রাক আঁচড়ানো সময় স্থানীয় হয়। এটি কারণ নয় যে এটি একটি পর্যায়ক্রমিক ফাংশন এবং যেমন এটির মূল ফ্রিকোয়েন্সিটির বহুগুণে অর্থাত্ পৃথক ফ্রিকোয়েন্সি পয়েন্টগুলিতে ফ্রিকোয়েন্সি উপাদান থাকতে পারে। এটির একটি অবিচ্ছিন্ন বর্ণালী থাকতে পারে না, অন্যথায় এটি পর্যায়ক্রমিক হবে না। অন্য কোনও পর্যায়ক্রমিক ফাংশনের মতোই ডায়ারাক কম্বিকে ফুরিয়ার সিরিজ দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা যেতে পারে, অর্থাত্ জটিল বিস্ফোরনের অসীম যোগফল হিসাবে। প্রতিটি জটিল সূচক আলাদা ফ্রিকোয়েন্সিতে ফ্রিকোয়েন্সি ডোমেনে একটি ডায়রাক আবেগের সাথে মিলে যায়। এই ডাইরাক আবেগগুলির সংমিশ্রণ ফ্রিকোয়েন্সি ডোমেনে একটি ডায়রাক কম্ব দেয়।

Comments

হ্যাঁ, পর্যায়ক্রমিক ঝুঁটি উভয়ই তার নিজ নিজ স্বতন্ত্র পরিবর্তনশীল (সময় / ফ্রিকোয়েন্সি) এ স্থানীয়করণ হয় না।

— পিটার কে

Answer 2

আপনার স্বজ্ঞাততা ব্যর্থ হয় কারণ আপনি ভুল অনুমানগুলি দিয়ে শুরু করছেন। হাইজেনবার্গের অনিশ্চয়তা আপনাকে কী বলে তা মনে করে না। আপনি ইতিমধ্যে আপনার প্রশ্নে বলেছেন যে এটি একটি বৈষম্য । সুনির্দিষ্টভাবে বলতে গেলে, এটি

$$\Delta t \cdot \Delta f \geq\frac{1}{4\pi}$$

কোনও কারণ নেই যে অনিশ্চয়তা পণ্যটি সমস্ত সিগন্যালের জন্য তার নিম্ন সীমাটির নিকটবর্তী হতে হবে। প্রকৃতপক্ষে, কেবলমাত্র এই সংকেতগুলি যা এই সর্বনিম্ন সীমানা অর্জন করে তা হ'ল গ্যাবরের পরমাণু। অন্যান্য সমস্ত সংকেতের জন্য, এটি বৃহত্তর এবং সম্ভবত এমনকি অসীম হওয়ার প্রত্যাশা করুন।

Comments

ঠিক আছে, তবে মূল ভ্রান্তিটি হ'ল মনে করা হয় যে একটি ডায়রাক কম্বল সময়মতো স্থানীয় করা হয়েছে। এটি পর্যায়ক্রমিক হওয়ার কারণে নয়। সুতরাং অনিশ্চয়তা উপপাদ্য একটি ডায়রাক ঝুঁটি সম্পর্কে দরকারী কিছু বলে না।

— ম্যাট এল।

@ ম্যাটল।, এটিই আমি আসল প্রশ্নটি বুঝতে পারি না। আমি মনে করি তিনি আসলে তর্ক করছেন যে ডাইরাক ট্রেনটি সম্পূর্ণরূপে তার নেটিভ ডোমেনে প্রকাশিত হয়েছে এবং তাই ফুরিয়ারকে খুব স্থানীয় কিছুতে রূপান্তর করা উচিত।

— জাজমানিয়াক

ঠিক আছে, দেখে মনে হচ্ছে একটি 'অপর লাইন' দ্বারা ওপি বলতে কী বোঝা যাচ্ছে mis আমি ভেবেছিলাম এটি ফ্ল্যাট বর্ণালীকে বোঝায় (যেমনটি তিনি আগে উল্লেখ করেছিলেন ডাইরাক আবেগের বর্ণালী)। তবে আপনি ভেবেছিলেন এটি বর্ণালী রেখাকে বোঝায়, অর্থাত্ একটি একক ফ্রিকোয়েন্সি। আপনার উত্তর কীভাবে ওপি-র প্রশ্নের উত্তর দিতে পারে তা অন্তত আমি এখন বুঝতে পারি।

— ম্যাট এল।

@ ম্যাটল।, আমি আসলে ভেবেছিলাম তিনি যখন "লাইন" লেখেন তখন ডাইরাক বিতরণগুলির স্বাভাবিক গ্রাফিকাল উপস্থাপনার অর্থ। যে কোনও ক্ষেত্রে, তাকে পরিষ্কার করতে হবে কারণ প্রশ্নটি কমপক্ষে দুটি ভিন্ন উপায়ে পড়া যেতে পারে।

— জাজমানিয়াক

ভাল, "মান" সংজ্ঞা ভরবেগ এবং অবস্থান অনিশ্চয়তা সংক্রান্ত একটি শারীরিক বিবৃতি (বিশেষভাবে স্ট্যান্ডার্ড ডেভিয়েশন) এবং একটি হয়েছে সেখানে। এবং তবুও, এই ক্ষেত্রে, আপনাকে " Δ t " এবং " Δ f " বলতে কী বোঝাতে হবে তা নির্ধারণ করতে হবে । যে ধ্রুবক (যা আপনি 1 হিসাবে নির্দিষ্ট করেছেন$\hbar$$\Delta t$$\Delta f$ ) unityক্য থেকে খুব বেশি দূরে থাকতে পারে না (লগ স্কেলে), তবে এটি1হওয়ার দরকার নেই$\frac{1}{4 \pi}$ "এর জন্য কোনো সুনির্দিষ্ট সংজ্ঞা কারন ছাড়াΔটি" এবং "Δচ"। $\frac{1}{4 \pi}$$\Delta t$$\Delta f$

— রবার্ট ব্রিস্টো-জনসন

Answer 3

বৈদ্যুতিক প্রকৌশলীরা ডায়রাক ডেল্টা ফাংশনটি দিয়ে কিছুটা দ্রুত এবং আলগা খেলেন, যা গণিতবিদরা জোর দিয়েছিলেন কোনও ফাংশন নয় (বা কমপক্ষে কোনও "নিয়মিত" ফাংশন নয়, তবে এটি "বিতরণ")। গাণিতিক সত্যটি হ'ল যদি $f(t)=g(t)$ "প্রায় সর্বত্র" (যার অর্থ $t$ প্রতিটি মূল্যের সাথে পৃথক মানের একটি গণনাযোগ্য সংখ্যার ব্যতীত), তবে

$$\int f(t)dt = \int g(t)dt$$ ।

ভাল ফাংশন $f(t)=0$ এবং $g(t)=\delta(t)$$t=0$ ব্যতীত সর্বত্র সমান , তবুও আমরা বৈদ্যুতিক প্রকৌশলীরা জোর দিয়ে বলি যে তাদের অখণ্ডগুলি আলাদা। তবে আপনি যদি এই সামান্য (এবং, আমার মতে, অ-ব্যবহারিক) পার্থক্যটি সরিয়ে রাখেন তবে আপনার প্রশ্নের উত্তরটি হ'ল:

1. ডিরাক ঝুঁটি ফাংশন

   $$\mathrm{III}_T(t) \triangleq \sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty} \delta(t - kT)$$ যুগের একটি পর্যাবৃত্ত ফাংশন $T$ এবং সেই কারণে একটি ফুরিয়ার সিরিজ রয়েছে: $$\mathrm{III}_T(t) = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} c_n \ e^{j 2 \pi n t/T}$$

2. আপনি যদি ফুরিয়ার সিরিজটির সহগগুলি , $c_n$ , বের করে দেন:

$$\begin{align} c_n & = \frac{1}{T}\int\limits_{t_0}^{t_0+T} \mathrm{III}_T(t) e^{-j 2 \pi n t/T} dt \\ & = \frac{1}{T}\int\limits_{-T/2}^{T/2} \delta(t) e^{-j 2 \pi n t/T} dt \quad \quad (k=0)\\ & = \frac{1}{T}\int\limits_{-T/2}^{T/2} \delta(t) e^{-j 2 \pi n 0/T} dt \\ & = \frac{1}{T} \quad \quad \forall n \\ \end{align}$$

3. সুতরাং ডিরাক চিরুনির জন্য ফুরিয়ার সিরিজটি

$$\mathrm{III}_T(t) = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} \frac{1}{T} \ e^{j 2 \pi n t/T}$$

যার অর্থ আপনি কেবলমাত্র সমান প্রশস্ততার একগুচ্ছ সাইনোসয়েড যোগ করছেন।

4. একটি একক জটিল সাইনোসয়েডের ফুরিয়ার ট্রান্সফর্মটি হ'ল:

$$\mathfrak{F} \left\{ e^{j 2 \pi f_0 t} \right\} = \delta(f-f_0)$$

এবং এখানে ফুরিয়ার ট্রান্সফর্ম সম্পর্কিত লৈঙ্গিকতার সম্পত্তি রয়েছে। প্রমাণের বাকী অংশটি একটি অনুশীলন যা পাঠকের কাছে ছেড়ে যায়।

Comments

@ জাজমানিয়াক, এটি একটি মিথ্যাবাদ। যখন আমি কি কখনো গণিতবিদ দিকে ক্ষমশীল হয়েছে? (আমার মনে হয় আপনি কিছুটা প্রজেক্ট করছেন।) বিটিডাব্লু, স্নাতক স্তরে আমার 2 টি সেমিস্টারের ক্রিয়াকলাপ বিশ্লেষণের পরে 38 বছর হয়ে গেছে। সবকিছু মনে রাখবেন না, তবে আমি নিশ্চিতভাবে মনে রাখতে পারি যে একটি মেট্রিক স্পেস কী, একটি নর্মড মেট্রিক স্পেস (আমার মনে হয় তাদের মাঝে মাঝে "বনচ স্পেস" বলা হত), এবং অভ্যন্তরীণ পণ্য স্পেসগুলি (কখনও কখনও "হিলবার্ট স্পেসস" নামে পরিচিত), এবং কী ক্রিয়াকলাপ হ'ল (এর মধ্যে একটি থেকে একটি সংখ্যার মানচিত্র)। এবং আমি জানি লিনিয়ার স্পেসগুলি কী। প্রায় , আমি তাদের উলঙ্গ থাকতে আপত্তি করি না। $\delta(t)$

— রবার্ট ব্রিস্টো-জনসন

আপনি একটি ভুল যুক্তি দিয়ে চলেছেন যা পরামর্শ দেয় যে গণিতবিদরা যখন ডায়রাক বিতরণে একীকরণ করেন তখন তারা 1 পান না। ঠিক আছে, আপনি কার্যনির্বাহী বিশ্লেষণে কোনও ক্লাস নিয়ে থাকলেও, আপনি ডায়রাক বিতরণটি বুঝতে পারেন নি এমন ভাল কিছু আপনি প্রদর্শন করতে পারবেন না। আপনার গাণিতিক "ফিক্স" করার জন্য বৈদ্যুতিন প্রকৌশলের দরকার নেই। আপনি যতক্ষণ না এইরকম গণিতবিদদের বিষয়ে কথা বলা বন্ধ না করেন ততক্ষণ আমি আপনাকে এটি নির্দেশ করব। এটি সম্পূর্ণ আপনার পছন্দ।

— জাজমনিয়াক

এটিও মিথ্যা, @ জাজমানিয়াক। আমি এটি বলছি, গণিতবিদরা আমাদের যা বলেছেন তার সাথে সামঞ্জস্য রেখে ডায়রাক ডেল্টা ফাংশনটি আসলেই কোনও ফাংশন নয় (যদিও আমরা বৈদ্যুতিক প্রকৌশলীরা সেই পার্থক্যের বিষয়ে চিন্তা করেন না এবং এটি যেমন একটি ফাংশন হিসাবে এটি মোকাবেলা করেন) কারণ এটি যদি একটি ছিল ফাংশন যে প্রায় সর্বত্র শূন্য ছিল, অবিচ্ছেদ্য শূন্য হবে। তুমি আমাকে মিথ্যা উপস্থাপনা করছ কেন? আপনি কুড়াল কুড়াল কি?

— রবার্ট ব্রিস্টো-জনসন

@ রবার্টব্রিস্টো-জনসন "বৈদ্যুতিক প্রকৌশলীরা ডায়ারা ডেল্টা ফাংশনটি দিয়ে কিছুটা দ্রুত এবং আলগা খেলেন।" পল ডেরাক ছিলেন বৈদ্যুতিক প্রকৌশলী। ক্লড শ্যাননও ছিলেন বৈদ্যুতিক প্রকৌশলী। আমি আপনাকে এ জাতীয় সাধারণ এবং ভুল বিবৃতি দেওয়া থেকে উপদেশ দিচ্ছি। আপনি বৈদ্যুতিক প্রকৌশলী বলে দাবি করেছেন এবং বিতরণ তত্ত্বটি পরিষ্কারভাবে বুঝতে পেরেছেন।

— মার্ক ভায়োলা

লিনিয়ার সিস্টেম থিওরি বা সিগন্যালস এবং সিস্টেমগুলির প্রায় প্রতিটি স্নাতক বিদ্যুত ইঞ্জিনিয়ারিং পাঠ্যপুস্তক বা অনুরূপ কিছু নাম ডাইরাক ডেল্টাকে একটি "ন্যাসেন্ট ডেল্টা" এর একটি সীমাবদ্ধ কেস হিসাবে পরিচয় করিয়ে দিবে । উদাহরণ: বা অন্য কোনও ইউনিট এরিয়া পালস ফাংশন যা আপনি চর্মসার করতে পারেন। আমি প্রকাশিত কাগজপত্রগুলিতে শানন বা ডাইরাকের মতো লোকেরা (এটি জানত না) রক্ষণশীল তথ্যগুলির সাথেলেগে থাকবে surf(t)δ(t-τ)dt=f(τ)এবংδ(t)= $$\delta(t) = \lim_{a \to 0}\frac{1}{a \sqrt{\pi}} \mathrm{e}^{-t^2/a^2}$$ $$\int f(t) \delta(t-\tau) \ dt = f(\tau)$$ । $$\delta(t)=0 \quad \forall \ t \ne 0$$

— রবার্ট ব্রিস্টো-জনসন

Answer 4

আমি একটি অন্তর্দৃষ্টি দেওয়ার চেষ্টা করব আমরা সম্ভবত যেভাবে ভাবতে পারি তা হ'ল: "ওয়ান ডায়ারাক ডেল্টা আমাদের ফ্রিকোয়েন্সি ডোমেনে একটি 1 দেয় Now এখন আমি অসীম সংখ্যক ডায়ারাক ডেল্টা দেই I আমি কি আরও উচ্চতর ডিসি পাব না?" এখন আসুন দেখি যে ফ্রিকোয়েন্সি ডোমেন (এফডি) এর ডায়ারাক কম্বগুলিতে উল্লিখিত সমস্ত ফ্রিকোয়েন্সি উপাদান যুক্ত করে, আমরা টাইম ডোমেনে (টিডি) আরেকটি ডায়রাক কম্বল পাই। আমরা ক্রমাগত তরঙ্গরূপ যুক্ত করছি এবং পৃথক পয়েন্টে ডেল্টা পাচ্ছি। অদ্ভুত লাগছে।

ফিরে আসছি এফডিতে। স্পেসিংয়ের সাথে আমাদের একটি ডায়ারাক কম্বল রয়েছে । এটি কথায় বলতে, আমাদের 0 , ± ω 0 , ± 2 ω 0 , ± 3 ω 0 এবং আরও কিছুতে ডেল্টাস রয়েছে । আমাদের এইভাবে একটি ডিসি এবং অসীম সংখ্যাযুক্ত কোসাইন রয়েছে, যথা কোস ( ω 0 টি ) , কোস ( 2 ω 0 টি ) , কোস ( 3 ω 0 টি ) এবং আরও।$\omega_0$$0,\pm\omega_0,\pm2\omega_0,\pm3\omega_0$$\cos(\omega_0 t), \cos(2\omega_0 t), \cos(3\omega_0 t)$

আসুন t = 2 n time এর সাথে সম্পর্কিত ডোমেনের পয়েন্টগুলি বিবেচনা করি π$t = \frac{2n\pi}{\omega_0}$

$cos(kn) ; n = 0,1,2,3,4...\infty$$\pi$$cos(kn)$$cos(kn)$$k = 2\pi$

$t=t_0 \neq 2r\pi$$\cos(0\omega_0 t_0)[dc] + \cos(\omega_0 t_0) + \cos(2\omega _0 t_0) + \cos(3\omega_0 t_0)$$t=t_0$$t=\frac{2n\pi}{\omega _0}$