ফরোয়ার্ড এবং ইনভার্স শর্ট টাইম ফুরিয়ার ট্রান্সফর্ম (এসটিএফটি) একটি বিচ্ছিন্ন সময়-ডোমেন সংকেতে প্রয়োগ করা হয় তখন আমি ধারণামূলকভাবে বুঝতে চেষ্টা করছি। আমি অ্যালেন এবং রবিনার ( 1977 ) এর ক্লাসিক কাগজ , পাশাপাশি একটি উইকিপিডিয়া নিবন্ধ ( লিঙ্ক ) পেয়েছি । আমি বিশ্বাস করি যে এখানে আরও একটি ভাল নিবন্ধ পাওয়া যাবে ।
আমি গ্যাবার রূপান্তর গণনা করতে আগ্রহী, যা কোনও গাউসির উইন্ডোতে এসটিএফটি ছাড়া আর কিছুই নয়।
ফরোয়ার্ড এসটিএফটি সম্পর্কে এটিই আমি বুঝতে পারি :
- সময়ের ডোমেন উপাদানগুলির সমন্বয়ে সিগন্যাল থেকে একটি উপ-অনুক্রম নির্বাচন করা হয়।
- উপ-অনুক্রমটি সময় ডোমেনে পয়েন্ট-বাই-পয়েন্ট গুণক ব্যবহার করে একটি উইন্ডো ফাংশন দ্বারা গুণিত হয়।
- গুণিত সাব-সিকোয়েন্সটি এফএফটি ব্যবহার করে ফ্রিকোয়েন্সি ডোমেনে নেওয়া হয়।
- ধারাবাহিকভাবে ওভারল্যাপিং উপ-অনুক্রমগুলি নির্বাচন করে এবং উপরের পদ্ধতিটি পুনরাবৃত্তি করে আমরা এম সারি এবং এন কলাম সহ একটি ম্যাট্রিক্স পাই । প্রতিটি কলাম একটি নির্দিষ্ট সময়ে গণিত উপ-অনুক্রম হয়। এটি একটি স্পেকট্রামগ্রাম গণনা করতে ব্যবহার করা যেতে পারে।
তবে বিপরীতমুখী এসটিএফটি-র জন্য, কাগজপত্রগুলি ওভারল্যাপিং বিশ্লেষণ বিভাগগুলির উপর একটি সংলাপের কথা বলে। আমি এখানে সত্যিই কী চলছে তা কল্পনা করা খুব চ্যালেঞ্জিং পাচ্ছি। বিপরীত এসটিএফটি (উপরে হিসাবে ধাপে ধাপে ক্রম) গণনা করতে সক্ষম হতে আমার কী করতে হবে ?
ফরোয়ার্ড এসটিএফটি
আমি একটি অঙ্কন তৈরি করেছি যা আমার মনে হয় ফরোয়ার্ড এসটিএফটি-র জন্য কী চলছে showing আমি যা বুঝতে পারি না তা হ'ল প্রতিটি উপ-অনুক্রমগুলি কীভাবে একত্রিত করা যায় যাতে আমি মূল সময়ের ক্রমটি ফিরে পাই। কেউ যদি এই অঙ্কনটি সংশোধন করতে পারে বা উপ-অনুক্রমগুলি কীভাবে যুক্ত হয় তা দেখিয়ে একটি সমীকরণ দিতে পারে?
বিপরীত রূপান্তর
বিপরীত রূপান্তর সম্পর্কে আমি যা বুঝতে পারি তা এখানে। প্রতিটি ক্রমাগত উইন্ডোটিকে আইএফএফটি ব্যবহার করে সময় ডোমেনে ফিরিয়ে নেওয়া হয়। তারপরে প্রতিটি উইন্ডোটি ধাপের আকার দ্বারা স্থানান্তরিত হয় এবং পূর্ববর্তী শিফটের ফলাফলের সাথে যুক্ত হয়। নিম্নলিখিত চিত্রটি এই প্রক্রিয়াটি দেখায়। যোগফল আউটপুট হ'ল সময় ডোমেন সিগন্যাল।
কোড উদাহরণ
নিম্নলিখিত মাতলাব কোড একটি সিনথেটিক সময় ডোমেন সিগন্যাল তৈরি করে এবং তারপরে STFT প্রক্রিয়াটি পরীক্ষা করে দেখায় যে সংখ্যাসূচক রাউন্ড-অফ ত্রুটির মধ্যে বিপরীতটি ফরোয়ার্ড ট্রান্সফর্মের দ্বৈত । উইন্ডোর কেন্দ্রটি সময়-ডোমেন সংকেতের প্রথম এবং শেষ উপাদানগুলিতে অবস্থিত হতে পারে তা নিশ্চিত করার জন্য সিগন্যালের শুরু এবং শেষটি শূন্য প্যাডযুক্ত।
দ্রষ্টব্য যে অ্যালেন এবং রবিনারের (1977) অনুসারে যদি ফ্রিকোয়েন্সি প্রতিক্রিয়া পরিবর্তন করতে ফ্রিকোয়েন্সি ডোমেনে কোনও গুণ ঘটে থাকে তবে বিশ্লেষণ উইন্ডোর দৈর্ঘ্য অবশ্যই পয়েন্টের সমান বা বৃহত্তর হতে হবে , যেখানে ফিল্টার প্রতিক্রিয়া । দৈর্ঘ্য শূন্য-প্যাডিং দ্বারা প্রসারিত করা হয়। পরীক্ষার কোডটি কেবল দেখায় যে বিপরীতটি ফরোয়ার্ড ট্রান্সফর্মের দ্বৈত। একটি বৃত্তাকার সমঝোতা রোধ করতে দৈর্ঘ্য বাড়ানো উচিত।এন 0
% The code computes the STFT (Gabor transform) with step size = 1
% This is most useful when modifications of the signal is required in
% the frequency domain
% The Gabor transform is a STFT with a Gaussian window (w_t in the code)
% written by Nicholas Kinar
% Reference:
% [1] J. B. Allen and L. R. Rabiner,
% “A unified approach to short-time Fourier analysis and synthesis,”
% Proceedings of the IEEE, vol. 65, no. 11, pp. 1558 – 1564, Nov. 1977.
% generate the signal
mm = 8192; % signal points
t = linspace(0,1,mm); % time axis
dt = t(2) - t(1); % timestep t
wSize = 101; % window size
% generate time-domain test function
% See pg. 156
% J. S. Walker, A Primer on Wavelets and Their Scientific Applications,
% 2nd ed., Updated and fully rev. Boca Raton: Chapman & Hall/CRC, 2008.
% http://www.uwec.edu/walkerjs/primer/Ch5extract.pdf
term1 = exp(-400 .* (t - 0.2).^2);
term2 = sin(1024 .* pi .* t);
term3 = exp(-400.*(t- 0.5).^2);
term4 = cos(2048 .* pi .* t);
term5 = exp(-400 .* (t-0.7).^2);
term6 = sin(512.*pi.*t) - cos(3072.*pi.*t);
u = term1.*term2 + term3.*term4 + term5.*term6; % time domain signal
u = u';
figure;
plot(u)
Nmid = (wSize - 1) / 2 + 1; % midway point in the window
hN = Nmid - 1; % number on each side of center point
% stores the output of the Gabor transform in the frequency domain
% each column is the FFT output
Umat = zeros(wSize, mm);
% generate the Gaussian window
% [1] Y. Wang, Seismic inverse Q filtering. Blackwell Pub., 2008.
% pg. 123.
T = dt * hN; % half-width
sp = linspace(dt, T, hN);
targ = [-sp(end:-1:1) 0 sp]; % this is t - tau
term1 = -((2 .* targ) ./ T).^2;
term2 = exp(term1);
term3 = 2 / (T * sqrt(pi));
w_t = term3 .* term2;
wt_sum = sum ( w_t ); % sum of the wavelet
% sliding window code
% NOTE that the beginning and end of the sequence
% are padded with zeros
for Ntau = 1:mm
% case #1: pad the beginning with zeros
if( Ntau <= Nmid )
diff = Nmid - Ntau;
u_sub = [zeros(diff,1); u(1:hN+Ntau)];
end
% case #2: simply extract the window in the middle
if (Ntau < mm-hN+1 && Ntau > Nmid)
u_sub = u(Ntau-hN:Ntau+hN);
end
% case #3: less than the end
if(Ntau >= mm-hN+1)
diff = mm - Ntau;
adiff = hN - diff;
u_sub = [ u(Ntau-hN:Ntau+diff); zeros(adiff,1)];
end
% windowed trace segment
% multiplication in time domain with
% Gaussian window function
u_tau_omega = u_sub .* w_t';
% segment in Fourier domain
% NOTE that this must be padded to prevent
% circular convolution if some sort of multiplication
% occurs in the frequency domain
U = fft( u_tau_omega );
% make an assignment to each trace
% in the output matrix
Umat(:,Ntau) = U;
end
% By here, Umat contains the STFT (Gabor transform)
% Notice how the Fourier transform is symmetrical
% (we only need the first N/2+1
% points, but I've plotted the full transform here
figure;
imagesc( (abs(Umat)).^2 )
% now let's try to get back the original signal from the transformed
% signal
% use IFFT on matrix along the cols
us = zeros(wSize,mm);
for i = 1:mm
us(:,i) = ifft(Umat(:,i));
end
figure;
imagesc( us );
% create a vector that is the same size as the original signal,
% but allows for the zero padding at the beginning and the end of the time
% domain sequence
Nuu = hN + mm + hN;
uu = zeros(1, Nuu);
% add each one of the windows to each other, progressively shifting the
% sequence forward
cc = 1;
for i = 1:mm
uu(cc:cc+wSize-1) = us(:,i) + uu(cc:cc+wSize-1)';
cc = cc + 1;
end
% trim the beginning and end of uu
% NOTE that this could probably be done in a more efficient manner
% but it is easiest to do here
% Divide by the sum of the window
% see Equation 4.4 of paper by Allen and Rabiner (1977)
% We don't need to divide by L, the FFT transform size since
% Matlab has already taken care of it
uu2 = uu(hN+1:end-hN) ./ (wt_sum);
figure;
plot(uu2)
% Compare the differences bewteen the original and the reconstructed
% signals. There will be some small difference due to round-off error
% since floating point numbers are not exact
dd = u - uu2';
figure;
plot(dd);