ফুরিয়ার ট্রান্সফর্ম পরিচয়

Question

আমরা নীচে জানি,

$$\mathscr{F}\big\{x(t)\big\}=X(f) \tag{1}$$ $$\mathscr{F}\big\{x(-t)\big\}=X(-f) \tag{2}$$ $$\mathscr{F}\big\{x^*(t)\big\}=X^*(-f) \tag{3}$$

এখন, যদি কিছু সংকেত জন্য

$$x(-t)=x^*(t) \tag{4}$$

তাহলে, নিম্নলিখিতটি ধরে নেওয়া কি নিরাপদ?

$$X(-f)=X^*(-f) \tag{5}$$

বা এটি সংকেতের ধরণের উপর নির্ভর করে?

Comments

উত্তর বৈধতা আগে আর কোন বিশদ?

— লরেন্ট ডুভাল

Answer 1

আপনি সঠিক. আপনার শেষ সমীকরণটি এর সত্যিকারের মূল্যবান বলে দেওয়ার এক অভিনব উপায় ।$X(f)$

সাধারণভাবে: এটি যদি একটি ডোমেনে বাস্তব হয় তবে এটি অন্যটিতে সংমিশ্রিত প্রতিসাম্য।

Answer 2

হ্যাঁ, যদি হয়। (2) এবং (3) যে কোনও "ধরণের সংকেত" (যা তারা করেন) ধরে রাখুন, তারপরে (5) অবশ্যই ধরে রাখতে হবে।

(2) এর মধ্যে (4) সন্নিবেশ করা আমরা এবং (3)

$$\mathscr{F}\big\{x^*(t)\big\} = X(-f)$$ $$X(-f) = X^*(-f)$$

যদি আমরা প্রতিস্থাপন করি তবে আমরা পাই যা হিলমার ইতিমধ্যে পর্যবেক্ষণ করেছেন , এর অর্থ প্রকৃত মূল্যবান। এটি (4) অনুসারে, কনজুগেট জটিল প্রতিসাম্য প্রদর্শন করে বলে আশা করা যায় ।$f = - g$

$$X(g) = X^*(g)$$ $X(f)$$x(t)$

Answer 3

@ ডেভ এবং @ হিলমারের উত্তরগুলি প্রযুক্তিগতভাবে নিখুঁত। আমি কয়েকটি প্রশ্ন সহ কিছু অতিরিক্ত অন্তর্দৃষ্টি সরবরাহ করতে চাই।

প্রথমত, আপনি কি এই বিপরীত সময় / সংযোগ পরিচয় সন্তুষ্টকারী সংকেত সম্পর্কে জানেন :

$$x(−t)=x^*(t)\,?$$

প্রথম স্পষ্ট ধারণা হ'ল বাস্তব এবং প্রতিসম সংকেতগুলির মধ্যে বেছে নেওয়া। ফুরিয়ার কাঠামোর একটি প্রাকৃতিক কোসাইন ।

এখন, আসুন আমরা আরও কিছু জটিল (পাং উদ্দেশ্যে) get

সুতরাং দ্বিতীয়, আসল সাইন সম্পর্কে কি ? এটি অ্যান্টি-সিমমেট্রিক। তবে আপনি যদি মনে রাখেন যে , ফাংশন টিও একটি সমাধান হয়ে যায়। সুতরাং, সংযোজন দ্বারা, ফাংশন$i^*=-i$$t\to i.\sin t$

$$t\to e^{i t}$$

( জটিল সূচক বা সিসয়েড বলা হয় ) এটিও একটি সমাধান । এবং এর ফুরিয়ার ট্রান্সফর্ম (একটি সাধারণ ক্রিয়াকলাপ হিসাবে) সত্যই বাস্তব (যদিও কোনওভাবে "অসীম")। আরও এগিয়ে যেতে, বাস্তব সহগের সাথে সিসয়েডের যে কোনও লিনিয়ার সংমিশ্রণ এটি করবে।

আপনার প্রশ্নটি ফুরিয়ার দ্বৈততা কীভাবে গুরুত্বপূর্ণ তা ব্যাখ্যা করে এবং কীভাবে এটি ব্যবহার করে কিছু সমস্যা সরল করা যায়। বাস্তব সিগন্যালের জন্য ডিটিএফটি এর সংশ্লেষে দেখা গেছে :

অন্য কথায়, যদি একটি সিগন্যাল বাস্তব হয়, তবে এর বর্ণালী হের্মিটিয়ান (`` সংযুক্তি প্রতিসাম্য '')।$x(n)$

এখানে, আপনার বেস সংকেত হর্মিটিয়ান, এবং ফুরিয়ার সংস্করণটি আসল। সুতরাং এটি ভালভাবে বুঝতে, শুধু কল্পনা একটি ফ্রিকোয়েন্সি পরিবর্তনশীল, এবং নামার সময় এসে দ্বৈত হয়। জিওফিজিকাল সিগন্যালস এবং ওয়েভস / কমপ্লেক্স প্রতিসম বৈশিষ্ট্যগুলির ডিজিটাল বিশ্লেষণে স্ট্যান্ডার্ড প্রতিনিধিত্ব সরবরাহ করা হয় ।$x$$t$$f$

এটিকে হেইজার কর্কস্ক্রু / সর্পিলও বলা হয় ।