ইউনিট পদক্ষেপের ক্রমটির আলাদা-সময় ফুরিয়ার রূপান্তর

Question

পাঠ্য বই থেকে আমরা জানি যে আপনার ডিটিএফটি$u[n]$ দ্বারা প্রদত্ত

$$U(\omega)=\pi\delta(\omega)+\frac{1}{1-e^{-j\omega}},\qquad -\pi\le\omega <\pi\tag{1}$$

তবে, আমি কোনও ডিএসপি পাঠ্যপুস্তকটি দেখিনি যা কমপক্ষে এর কম বা কম শব্দ প্রাপ্তির ভান করে ।$(1)$

Proakis [1] ডান দিকে ডান অর্ধেক আহরিত সেটিং দ্বারা মধ্যে এর -transform এবং বলে যে এটা বৈধ বাদ দিয়ে (যা অবশ্যই সঠিক)। তারপরে তিনি বলেছিলেন যে ম্যাথকল -ট্রান্সফর্মের মেরুতে আমাদের এর একটি অঞ্চল দিয়ে একটি ব-দ্বীপ প্রবণতা যুক্ত করতে হবে, তবে এটি অন্য যে কোনও কিছুর চেয়ে আমার কাছে একটি রেসিপির মতোই প্রদর্শিত হবে।$(1)$$z=e^{j\omega}$$\mathcal{Z}$$u[n]$$\omega=2\pi k$$\mathcal{Z}$$\pi$

ওপেনহাইম এবং স্ক্যাফার [২] এই প্রসঙ্গে উল্লেখ করেছেন

যদিও এটি দেখাতে সম্পূর্ণ সোজা না হলেও এই ক্রমটি নীচের ফুরিয়ার রূপান্তর দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা যেতে পারে:

যা অনুসরণ করে সমতুল্য একটি সূত্র । দুর্ভাগ্যক্রমে, তারা আমাদের সেই "পুরোপুরি সোজা না" প্রমাণ দেখানোর জন্য সমস্যাটি নেয়নি।$(1)$

একটি বই যা আমি আসলে জানতাম না, তবে যা প্রমাণ সন্ধানের জন্য আমি পেয়েছি তা হ'ল বিএ শেনইয়ের লেখা ডিজিটাল সিগন্যাল প্রসেসিং এবং ফিল্টার ডিজাইনের পরিচয় । উপর পৃষ্ঠা 138 একটি এর "শিক্ষাদীক্ষা" আছে , কিন্তু দুর্ভাগ্যবশত এটি ভুল। লোকেরা সেই প্রমাণটিতে কী ভুল তা দেখানোর জন্য আমি একটি "ডিএসপি-ধাঁধা" প্রশ্ন জিজ্ঞাসা করেছি]]$(1)$$(1)$

সুতরাং আমার প্রশ্নটি হ'ল:

গাণিতিকভাবে ঝুঁকিত ইঞ্জিনিয়ারদের জন্য অ্যাক্সেসযোগ্য থাকা অবস্থায় কেউ এর প্রমাণ / ডেরাইভেশন সরবরাহ করতে পারে যা শব্দ বা এমনকি কঠোরও? এটি কেবল কোনও বই থেকে অনুলিপি করা হয়েছে কিনা তা বিবেচ্য নয়। আমি মনে করি এটি যাইহোক এই সাইটে এটি রাখা ভাল হবে।$(1)$

মনে রাখবেন যে গণিতেও.এসই প্রায় প্রাসঙ্গিক কিছুই খুঁজে পাওয়া যায় না: এই প্রশ্নের কোনও উত্তর নেই, এবং এর একটির দুটি উত্তর রয়েছে যার একটিটি ভুল (শেনয়ের যুক্তির অনুরূপ), এবং অন্যটি "সংশ্লেষ সম্পত্তি" ব্যবহার করে , যার সাথে আমি খুশি হব, তবে তারপরে একজনকে সেই সম্পত্তিটির প্রমাণ দেওয়া দরকার যা আপনাকে শুরুতে ফিরিয়ে দেয় (কারণ উভয় প্রমাণই মূলত একই জিনিসটি প্রমাণ করে)।

চূড়ান্ত দ্রষ্টব্য হিসাবে, আমি প্রমাণের মতো কিছু নিয়ে এসেছি (ভাল, আমি প্রকৌশলী), এবং এখন থেকে কিছু দিন আগে এটার উত্তর হিসাবে পোস্ট করব, তবে অন্য প্রকাশিত বা অপ্রকাশিত প্রমাণ সংগ্রহ করতে পেরে আমি আনন্দিত হব যেগুলি সহজ এবং মার্জিত এবং সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ, এটি ডিএসপি ইঞ্জিনিয়ারদের জন্য অ্যাক্সেসযোগ্য।

পিএস: আমি এর বৈধতা সম্পর্কে সন্দেহ করি না , আমি কেবল একটি বা কয়েকটি অপেক্ষাকৃত সরল প্রমাণ দেখতে চাই।$(1)$

---

[১] প্রোাকিস, জেজি এবং ডিজি মনোলাকিস, ডিজিটাল সিগন্যাল প্রসেসিং: নীতি, অ্যালগরিদম এবং অ্যাপ্লিকেশন , তৃতীয় সংস্করণ, বিভাগ ৪.২.৮

[২] ওপেনহেইম, এভি এবং আরডাব্লু স্ক্যাফার, ডিস্ক্রিট-টাইম সিগন্যাল প্রসেসিং , ২ য় সংস্করণ, পি। 54।

---

---

মার্কাস মুলারের একটি মন্তব্যে অনুপ্রাণিত হয়ে আমি একের দেওয়া দেখাতে চাই । প্রয়োজনীয়তা পূরণ করে$U(\omega)$$(1)$

$$u[n]=u^2[n]\rightarrow U(\omega)=\frac{1}{2\pi}(U\star U)(\omega)$$

If $U(\omega)$ is the DTFT of $u[n]$, then

$$V(\omega)=\frac{1}{1-e^{-j\omega}}$$

must be the DTFT of

$$v[n]=\frac12\text{sign}[n]$$

(where we define $\text{sign}[0]=1$), because

$$V(\omega)=U(\omega)-\pi\delta(\omega)\Longleftrightarrow u[n]-\frac12=\frac12\text{sign}[n]$$

So we have

$$\frac{1}{2\pi}(V\star V)(\omega)\Longleftrightarrow \left(\frac12\text{sign}[n]\right)^2=\frac14$$

from which it follows that

$$\frac{1}{2\pi}(V\star V)(\omega)=\text{DTFT}\left\{\frac14\right\}=\frac{\pi}{2}\delta(\omega)$$

With this we get

$$\begin{align}\frac{1}{2\pi}(U\star U)(\omega)&=\frac{1}{2\pi}\left[(\pi\delta(\omega)+V(\omega))\star (\pi\delta(\omega)+V(\omega))\right]\\&=\frac{1}{2\pi}\left[\pi^2\delta(\omega)+2\pi V(\omega)+(V\star V)(\omega)\right]\\&=\frac{\pi}{2}\delta(\omega)+V(\omega)+\frac{\pi}{2}\delta(\omega)\\&=U(\omega)\qquad\text{q.e.d.}\end{align}$$

Comments

waaah. Don't break my world. Doubt in that formula introduces a realm of chaos. For example, $u^2(t) = u(t)$, and hence (with a cont. FT definition prefactor depending constant $c$), $$\begin{align}\text{DTFT}(u^2)(\omega) &=c\,\cdot\, U(\omega)*U(\omega) \\&=c\pi U(\omega)+ \frac{c}{1+e^{-j\omega}}*U(\omega)\\&=c\pi \left(\pi\delta(\omega)+\frac{1}{1-e^{-j\omega}}\right)+\frac{c\pi}{1+e^{-j\omega}}+c\frac{1}{1+e^{-j\omega}}*\frac{1}{1+e^{-j\omega}}\\&=c\pi^2\delta(\omega)+\frac{2c\pi}{1+e^{-j\omega}} + c\frac{1}{1+e^{-j\omega}}*\frac{1}{1+e^{-j\omega}}\\&\overset{\text{magic?}}=U\end{align}$$

— Marcus Müller

@MarcusMüller: No doubt about that formula, it's correct. The question is just how to show it in a way that a simple minded engineer can understand. And $u^2[n]=u[n]$ works out for the given DTFT, no problem.

— Matt L.

I consider myself very simple-minded, and that means I worry when things don't feel "safe" when I can't see how they are derived.

— Marcus Müller

I see that what you're after is not to prove whether the equation is correct or not, but rather it's to rigorously and directly derive $U(w)$ from first principles and definition of DTFT. Then whenever one wants to make a rigorous proof involving impulses then I guess one should better refer to the cited books from generalized function theory: Lighthill-1958 is cited in Opp&Schafer for a discussion of impulse function and its use in Fourier transforms. All other proofs will inevitably rely on the proofs made on those references and will be insufficient to replace a rigorous proof.

— Fat32

@Fat32: That's a valid viewpoint. I think, however, that a reasonably sound derivation is possible if we accept basic transforms such as $\text{DTFT}\{1\}=2\pi\delta(\omega)$, and if we're content to define integrals by their Cauchy principal value.

— Matt L.

Answer 1

Cedron Dawg posted an interesting initial point in this answer. It begins with these steps:

$$\begin{align} U(\omega) &= \sum\limits_{n=0}^{+\infty} e^{-j \omega n} \\ &= \lim_{ N \to \infty } \sum\limits_{n=0}^{N-1} e^{-j \omega n}\\ &= \lim_{ N \to \infty } \left[ \frac{ 1 - e^{-j \omega N} }{ 1 - e^{-j \omega } } \right] \\ &= \frac{ 1 }{ 1 - e^{-j \omega } } - \lim_{ N \to \infty } \left[ \frac{ e^{-j \omega N} }{ 1 - e^{-j \omega } } \right] \end{align}$$

It turns out the term inside the limit can be expanded as follows:

$$\begin{aligned} \frac{ e^{-j \omega N} }{ 1 - e^{-j \omega } } ={} &\frac{1}{\sin^2(\omega)+(1-\cos(\omega))^2} \cdot \\ &\left[-\cos(\omega)\cos(N\omega)+\cos(N\omega)-\sin(\omega)\sin(N\omega)+ \\ j(-\sin(\omega)\cos(N\omega)+\cos(\omega)\sin(\omega)-\sin(N\omega))\right] \end{aligned}$$

The common factor outside the brackets can be expressed as:

$$\frac{1}{\sin^2(\omega)+(1-\cos(\omega))^2} = \frac{1}{4\sin^2(\omega/2)}$$

The real part inside the brackets also equals:

$$-\cos(\omega)\cos(N\omega)+\cos(N\omega)-\sin(\omega)\sin(N\omega)= 2\sin(\omega/2)\sin[\omega(-N+1/2)]$$

On the other hand, the imaginary part can be rewritten as:

$$-\sin(\omega)\cos(N\omega)+\cos(\omega)\sin(\omega)-\sin(N\omega)=-2\sin(\omega/2)\cos[\omega(-N+1/2)]$$

Rewritting the original term we get that:

$$\begin{align} \frac{ e^{-j \omega N} }{ 1 - e^{-j \omega } } &=\frac{2\sin\left(\frac \omega 2\right)}{4\sin^2\left(\frac \omega 2\right) } \left( \sin[\omega(-N+1/2)] - j\cos[\omega(-N+1/2)]\right) \\ &=-\frac{\sin[\omega(M+1/2)]}{2\sin\left(\frac \omega 2\right)} - j\frac{\cos[\omega(M+1/2)]}{2\sin\left(\frac \omega 2\right)} \end{align}$$

where I used $M=N-1$ and the limit stays unaffected as $M\to \infty$ as well.

According to the 7th definition in this site:

$$\lim_{M\to \infty} -\frac{1}{2\sin(\omega/2)}\sin[\omega(M+1/2)] = -\pi \delta(\omega)$$

So far we have that:

$$\lim_{ M \to \infty } \frac{ e^{-j \omega (M+1)} }{ 1 - e^{-j \omega } } =-\pi\delta(\omega) -j\lim_{M\to \infty} \frac{\cos[\omega(M+1/2)]}{2\sin(\omega/2)}$$

If we could prove that the second term on the right of the equality is $0$ in some sense, then we are done. I asked it at math.SE and, indeed, that sequence of functions tends to the zero distribution. So, we have that:

$$\begin{align} U(\omega) &= \frac{ 1 }{ 1 - e^{-j \omega } } - \lim_{ N \to \infty } \left[ \frac{ e^{-j \omega N} }{ 1 - e^{-j \omega } } \right] \\ &=\frac{ 1 }{ 1 - e^{-j \omega } }+\pi\delta(\omega) +j\lim_{M\to \infty} \frac{\cos[\omega(M+1/2)]}{2\sin(\omega/2)} \\ & =\frac{ 1 }{ 1 - e^{-j \omega } }+\pi\delta(\omega) \end{align}$$

Comments

This is very nice! I checked it and everything seems to be correct, so that imaginary part must tend to zero in some sense. I'll think about it for a bit.

— Matt L.

@MattL. Let me know if you are able to make any progress!

— Tendero

@MattL. The proof is finally complete!

— Tendero

Good work! I had figured out that the cosine term would tend to zero due to the Riemann-Lebesgue lemma, but my problem was the case $\omega=0$. Because the very first formula is based on the geometric sum, which is only valid for $\omega\neq 0$. It all somehow works out after all, but that's still a minor flaw. I have another derivation that does not split out the term $1/(1-e^{-j\omega})$, in which the case $\omega=0$ is handled with a bit more care, but it's still an "engineer's proof". I might post it when I have more time.

— Matt L.

Answer 2

I'll provide two relatively simple proofs that do not require any knowledge of distribution theory. For a proof that computes the DTFT by a limit process using results from distribution theory, see this answer by Tendero.

I will only mention (and not elaborate on) the first proof here, because I've posted it as an answer to this question, the purpose of which was to show that a certain published proof is faulty.

The other proof goes as follows. Let's first write down the even part of the unit step sequence $u[n]$:

$$u_e[n]=\frac12\left(u[n]+u[-n]\right)=\frac12+\frac12\delta[n]\tag{1}$$

The DTFT of $(1)$ is

$$\text{DTFT}\{u_e[n]\}=\pi\delta(\omega)+\frac12\tag{2}$$

which equals the real part of the DTFT of $u[n]$:

$$U_R(\omega)=\text{Re}\{U(\omega)\}=\pi\delta(\omega)+\frac12\tag{3}$$

Since $u[n]$ is a real-valued sequence we're done because the real and imaginary parts of $U(\omega)$ are related via the Hilbert transform, and, consequently, $U_R(\omega)$ uniquely determines $U(\omega)$. However, in most DSP texts, these Hilbert transform relations are derived from the equation $h[n]=h[n]u[n]$ (which is valid for any causal sequence $h[n]$), from which it follows that $H(\omega)=\frac{1}{2\pi}(H\star U)(\omega)$. So in order to show the Hilbert transform relation between the real and imaginary parts of the DTFT we need the DTFT of $u[n]$, which we actually want to derive here. So the proof becomes circular. That's why we'll choose a different way to derive the imaginary part of $U(\omega)$.

For deriving $U_I(\omega)=\text{Im}\{U(\omega)\}$ we write the odd part of $u[n]$ as follows:

$$u_o[n]=\frac12\left(u[n]-u[-n]\right)=u[n-1]-\frac12+\frac12\delta[n]\tag{4}$$

Taking the DTFT of $(4)$ gives

$$\begin{align}jU_I(\omega)&=e^{-j\omega}U(\omega)-\pi\delta(\omega)+\frac12\\&=e^{-j\omega}(U_R(\omega)+jU_I(\omega))-\pi\delta(\omega)+\frac12\\&=e^{-j\omega}\left(\pi\delta(\omega)+\frac12\right)+e^{-j\omega}jU_I(\omega)-\pi\delta(\omega)+\frac12\\&=\frac12(1+e^{-j\omega})+e^{-j\omega}jU_I(\omega)\tag{5}\end{align}$$

where I've used $(3)$. Eq. $(5)$ can be written as

$$jU_I(\omega)(1-e^{-j\omega})=\frac12(1+e^{-j\omega})\tag{6}$$

The correct conclusion from $(6)$ is (see this answer for more details)

$$jU_I(\omega)=\frac12\frac{1+e^{-j\omega}}{1-e^{-j\omega}}+c\delta(\omega)\tag{7}$$

But since we know that $U_I(\omega)$ must be an odd function of $\omega$ (because $u[n]$ is real-valued), we can immediately conclude that $c=0$. Hence, from $(3)$ and $(7)$ we finally get

$$\begin{align}U(\omega)&=U_R(\omega)+jU_I(\omega)\\&=\pi\delta(\omega)+\frac12+\frac12\frac{1+e^{-j\omega}}{1-e^{-j\omega}}\\&=\pi\delta(\omega)+\frac12\left( 1+\frac{1+e^{-j\omega}}{1-e^{-j\omega}}\right)\\&=\pi\delta(\omega)+\frac{1}{1-e^{-j\omega}}\tag{8}\end{align}$$