"ফুরিয়ার রূপান্তর একই ফ্রিকোয়েন্সিতে দুটি পর্যায় মাপতে পারে না” "কেন নয়?

15

আমি পড়েছি যে ফুরিয়ার ট্রান্সফর্ম একই ফ্রিকোয়েন্সি সহ উপাদানগুলি পৃথক করতে পারে না তবে বিভিন্ন ধাপ। উদাহরণস্বরূপ, ম্যাথওভারফ্লো , বা এক্সাইফিজিক্সে , যেখানে আমি আমার প্রশ্নের শিরোনাম পেয়েছি: "ফুরিয়ার ট্রান্সফর্ম একই ফ্রিকোয়েন্সিতে দুটি পর্যায় মাপতে পারে না।"

কেন এটি গাণিতিকভাবে সত্য?

fourier-transform fourier

— স্তম্ভিত স্তম্ভিত
সূত্র

5

আপনি

এর উপাদানগুলি আলাদা করতে পারবেন

\sin (x) + \sin (x + c)

$\sin(x) + \sin(x+c)$ ? আমি বাজি ধরতে পারি তুমি পারবে না।

— ইলমারি করোনেন

এফটি একটি নির্দিষ্ট সংকেত পুনর্গঠন করতে একসাথে যুক্ত হতে পারে এমন উপাদানগুলি সন্ধান করে । তবে এর অর্থ এই নয় যে সেই উপাদানগুলি কোনওভাবে প্রকৃত অর্থে উপস্থিত ছিল। এখানে অসীম বিভিন্ন উপায়ে কোনও প্রদত্ত সিগন্যালটি "নির্মিত" হতে পারত তবে সিগন্যালে কেবলমাত্র একটি অনন্য এফটি থাকবে।

— সলোমন আস্তে 19

30

এর কারণ একই ফ্রিকোয়েন্সি এবং বিভিন্ন ধাপের সাথে দুটি সাইনোসয়েডাল সিগন্যালের একসাথে উপস্থিতি একই ফ্রিকোয়েন্সিতে একক সাইনোসোডিয়ালের সমতুল্য , তবে একটি নতুন ফেজ এবং প্রশস্ততা নিম্নরূপ:

দুটি সাইনোসোডিয়াল উপাদানগুলি এভাবে সংক্ষেপে বলা উচিত:

x (t) = a \cos (ω_{0} t + ϕ) + b \cos (ω_{0} t + θ)

$x(t) = a \cos(\omega_0 t + \phi) + b \cos(\omega_0 t + \theta)$

তারপরে ট্রিগনোমেট্রিক ম্যানিপুলেশনগুলি থেকে এটি প্রদর্শিত হতে পারে:

x (t) = A \cos (ω_{0} t + Φ)

$x(t) = A \cos(\omega_0 t + \Phi)$

যেখানে

A = \sqrt{a^{2} + b^{2} + 2 a b \cos (θ - ϕ)}

$A = \sqrt{ a^2 + b^2 + 2 a b \cos(\theta-\phi) }$ এবং

Φ = \tan^{- 1} (\frac{a \sin (ϕ) + b \sin (θ)}{a \cos (ϕ) + b \cos (θ)})

$\Phi = \tan^{-1}(\frac{ a \sin(\phi) + b\sin(\theta) } { a \cos(\phi) + b\cos(\theta) } )$

অতএব আপনার কাছে আসলে একটি একক সাইনোসয়েডাল রয়েছে (একটি নতুন ধাপ এবং প্রশস্ততা সহ), এবং তাই আসলে আলাদা করার কিছুই নেই ...

— FAT32
সূত্র

1

আমার মস্তিষ্ক অবশ্যই শাট ডাউন হতে হবে কারণ আমি ট্রিগের জিনিসগুলি অনুসরণ করি তবে এখনও চারদিকে বিভ্রান্তি ঘটাচ্ছে .. ওপি যেদিন তাদের যুক্ত করা হচ্ছিল না তাই আপনি যেখানে যুক্ত করেছেন সেখানে প্রাথমিক পদক্ষেপটি কী ন্যায়সঙ্গত করে? অন্য কথায়, আমরা যদি এগুলিকে কেবল দুটি সংকেত হিসাবে ভাবি যেখানে একজনের পরে "পরে" শুরু হয় তবে সেগুলি যুক্ত হয় না, আমরা কী সেগুলি আলাদা করতে পারি? এক ফ্রিকোয়েন্সিতে আপনার কাছে দুটি ডেটা পয়েন্ট না থাকায় আপনার এগুলি যুক্ত করতে হবে? ধন্যবাদ।

— চিহ্ন

2

@ মার্ক্লেডস, ওপি জানায় নি যে তিনি উইন্ডোড ফুরিয়ার ট্রান্সফর্মটির কথা উল্লেখ করছেন এবং প্রদত্ত লিঙ্কগুলি স্পষ্টভাবে নিয়মিত উইন্ডোড সংস্করণকে নির্দেশ করে। ফুরিয়ার বিশ্লেষণের নিয়মিত সংস্করণে, সিগন্যালগুলি বিভিন্ন ধাপের সাইনোসাইডালগুলির একটি ভারিত সমষ্টি হিসাবে রচনা করা হয়। বিশ্লেষণে এই ওজন এবং পর্যায়গুলি অন্তর্ভুক্ত। সেগুলির সংগ্রহ বর্ণালী। যদি আপনি 2 টি সাইনোসয়েডকে একত্রিত করেন তবে এই বৈশ্বিক ফুরিয়ার বিশ্লেষণ তাদের ফেজকেও আলাদা করতে পারে না। তবে, উইন্ডোড ফুরিয়ার ট্রান্সফর্মটি এমন কাজের জন্য ডিজাইন করা হয়েছে ... এমন নয় যে এটি এটি দুর্দান্তভাবে করেছে।

— স্টিফান কার্লসন

1

আমার মন্তব্যের পরামর্শ অনুসারে, উইন্ডোড ফুরিয়ার ট্রান্সফর্মের একটি উল্লেখ যুক্ত করা তথ্যমূলক হতে পারে। যদি @ ফ্যাট 32 এর সময় থাকে তবে তিনি বিভিন্ন ফ্রিকোয়েন্সি 2 টি সাইনোসয়েডের সাথে জড়িত বিযুক্তির কথা উল্লেখ করতে পারেন এবং আমরা যদি বিশ্লেষণ করার চেষ্টা করি তবে কেন আমরা বিশ্বব্যাপী ফুরিওর ট্রান্সফর্মের সাথে আপাতদৃষ্টিতে এলোমেলো ফ্রিকোয়েন্সি যুক্ত করেছি।

— স্টিফান কার্লসন

2

হাই @markleeds, যেমন StefanKarlsson ইতিমধ্যে উল্লিখিত, প্রশ্ন ক্ষেত্রে ছিল উপরিপাত একই ফ্রিকোয়েন্সি ঐ দুই sinusoidals এর (যুগপত যুত উপস্থিতি)। খুব সাবধানে লক্ষ করুন যে পর্যায়টি একটি আপেক্ষিক শব্দ এবং পরম নয়; উদাহরণস্বরূপ, এটি একটি নির্বাচিত সাধারণ (সময়) উত্সের সাথে সম্মান করে পরিমাপ করা হয়, যা উপরে

। সংযুক্তকরণের (ফেজ শিফট keying মধ্যে মত) বাতায়নযুক্ত বৈষম্য পারবেন কিন্তু আপনি এখনও যাহাই হউক না কেন ফেজ পার্থক্য বলতে একটি সাধারণ সময় উৎপত্তি পড়ুন করা উচিত নয়। এজন্য পিএসকে রিসিভারগুলির জন্য কঠোর নাড়ির সময়

t = 0

$t=0$

— সিঙ্ক্রোনাইজেশন

1

@ এসএমএসকে নিজেকে পুনরাবৃত্তি করার মতো মনে হয় তবে যদি এই দুটি কেবলের আউটপুট যুক্ত হয় এবং তারপরে এফটি এর মাধ্যমে বিশ্লেষণ করা হয় তবে আপনি একটি যৌগিক পর্যায়ে & এমপিএল সহ একটি সাইন ওয়েভ দেখতে পাবেন ... তবে আপনি যদি এগুলি যুক্ত না করেন এবং আলাদাভাবে বিশ্লেষণ করেন, তাহলে আপনি তাদের আপেক্ষিক পর্যায়গুলি বলতে সক্ষম হবেন ... এবং এটি ডিএফটি সম্পর্কিত নয় related

— ফ্যাট 32

1

আপনি যদি আরও পড়েন তবে নীচে " ফুরিয়ার রূপান্তরটির সরল সংস্করণ যা আমরা উপরে আলোচনা করেছি তা পর্যায়ের শিফটগুলির জন্য অ্যাকাউন্ট করতে পারে না - ফুরিয়ার রূপান্তরটি কীভাবে এটি সম্পাদন করে?" আপনি কিছুটা ভাল ব্যাখ্যা নোট করবেন, তারা সাইন এবং কোসাইন ব্যবহার করে।

" ফেজ শিফ্টের গণিত (alচ্ছিক) ।

কীভাবে একটি পর্বের শিফটটি নন-শিফটড সিন এবং কোসিনগুলিতে বিভক্ত করা যায় তা দেখতে আমাদের একটি ত্রিকোণমিতিক পরিচয় প্রয়োজন: sin (a + b) = sin (a) * cos (b) + cos (a) * sin ( খ)।

এ * পাপ (২ * π * চ * টি + φ) = এ * কোস (φ) * পাপ (২ * π * চ * টি) + এ * পাপ (φ) * কোস (২ * π * চ * টি)

আপনি দেখতে পাচ্ছেন, ফেজ শিফট সাইন সিগন্যালের কিছু প্রশস্ততা (শক্তি) একটি কোসাইন সিগন্যালে স্থানান্তরিত করে, তবে ফ্রিকোয়েন্সি পরিবর্তন হয় না। যদি আপনি ফুরিয়ার ট্রান্সফর্মের জটিল সংখ্যার প্রতিনিধিত্ব ব্যবহার করেন , তবে পর্যাপ্ত পরিমাণে অপরিবর্তিত রেখে ফেজ শিফটটি জটিল প্লেনের মধ্যে কেবলমাত্র মানটির আবর্তনকে উপস্থাপন করে। ফেজ শিফটগুলি কেবল জিন থেকে কোসিনে প্রশস্ততা সরিয়ে দেয় তার অর্থ একই ফ্রিকোয়েন্সি এবং বিভিন্ন ধাপের সাথে দুটি সংকেত যুক্ত করা সেই ফ্রিকোয়েন্সিটিতে সামগ্রিক (গড়) ফেজ শিফট সহ একটি সংকেত দেয় - এবং উপাদানগুলির কোনও স্মৃতি নেই ""

অনুশীলনে এটি আরও জটিল, " আংশিক ফুরিয়ার কৌশল ", " ফেজ-কনজুগেট সিমমেট্রি " এবং " এফওভি এবং কে-স্পেস " দেখুন। " পর্যায়-এনকোডিং - আই " তে তারা ব্যাখ্যা করে:

"... যখন একই ফ্রিকোয়েন্সি সহ দুটি সাইন ওয়েভ (এ এবং বি) কিন্তু বিভিন্ন পর্যায় একসাথে যুক্ত করা হয় তখন ফলাফলটি একই ফ্রিকোয়েন্সি সহ অন্য একটি সাইন ওয়েভ হয় তবে ভিন্ন ধাপে When হস্তক্ষেপ, এবং পর্যায়ের বাইরে তারা ধ্বংসাত্মকভাবে হস্তক্ষেপ।

... কেবল তাদের যোগফলের দিকে তাকালে আপনি কেবল একটি নির্দিষ্ট ফ্রিকোয়েন্সি এবং পর্যায়ের একটি সাইন ওয়েভ দেখতে পাবেন। A এবং B তরঙ্গগুলির দ্বারা পৃথক অবদানগুলি বাছাই করা এই একক পর্যবেক্ষণ থেকে অসম্ভব is

তবে, এ এবং বি দিয়ে দুটি পর্যবেক্ষণ করে বিভিন্ন পর্যায়ক্রমে স্থানান্তরিত করে কেবল তাদের পরিমাণগুলি দেখে তাদের ব্যক্তিগত অবদানগুলি নির্ধারণ করা সম্ভব। এটি নীচে একটি এমআর ইমেজে চিত্রিত হয়েছে, যেখানে A এবং B একই এনকোডযুক্ত ফ্রিকোয়েন্সি (ω) এ অনুরূপভাবে একই উল্লম্ব কলামে দুটি পিক্সেল। বিশেষত, পদক্ষেপ 0 এ (বেসলাইন, যখন কোনও ফেজ-এনকোডিং গ্রেডিয়েন্ট প্রয়োগ করা হয়নি) এএন্ডবি থেকে মোট সংকেত একসাথে লেখা যেতে পারে: সুতরাং (টি) = একটি পাপ + বি পাপ ωt = (এ + বি) পাপ ωt .t .t।

...

পদক্ষেপ 1-এ এই একক পরিমাপ থেকে আমরা এখনও পৃথক বিভাজন A এবং B জানি না, কেবল তাদের পার্থক্য (A − B)। পদক্ষেপ 0 এবং পদক্ষেপ 1 উভয় থেকে একসাথে তথ্য ব্যবহার করে আমরা সাধারণ বীজগণিতের দ্বারা অনন্য সংকেত অবদানগুলি বের করতে সক্ষম হয়েছি:

½ [সুতরাং + এস 1] = ½ [(এ + বি) + (এ − বি)] = এ এবং ½ [সুতরাং - এস 1] = ½ [(এ + বি) - (এ − বি)] = বি

"।

অন্যথায় এটি দেখতে (চিত্র এ) এর মতো হবে:

পিএফআই বিভিন্ন অ্যালগরিদম থেকে নিদর্শনগুলি দেখায়: (ক) বেসিক অ্যালগরিদম, (খ) বাক্স অ্যালগরিদম, (সি) শূন্য-পূরণের অ্যালগরিদম, (ডি) বুনিয়াদি অ্যালগরিদম এমন ডেটা ব্যবহার করে যা পূর্বে ধ্রুবক, রৈখিক এসডিপিএস সংশোধন, উচ্চতর অর্ডার এসডিপিএস থেকে চিত্রিত চিত্রকর্মকে চিত্রিত করে।

— হরণ করা
সূত্র

1

$c\cos(\omega t+\phi)$ $Re(ce^{(\omega t+\phi)i})$ $Re$ $c_1\cos(\omega t+\phi_1)+c_2\cos(\omega t+\phi_2)=Re(c_1e^{(\omega t+\phi_1)i}+c_2e^{(\omega t+\phi_2)i})$ $ae^{\omega t i}$ $Re(e^{\omega t i}(c_1e^{\phi_1i}+c_2e^{\phi_2i}))$ $c e^{\phi i}$ $c$ $\phi$

সুতরাং উভয় সংকেত আউটপুটটির প্রস্থকে প্রভাবিত করার সময়, একটি অতিরিক্ত সংকেত প্রভাব ফেলবে না যেখানে পর্যায় স্পেসে আউটপুট কোথায়।

— Acccumulation
সূত্র

1

আমি প্রশ্নের জ্যামিতিক সংস্করণটির পথ অবলম্বন করতে চাই, বৃত্তের পরিমাণ ব্যবহার করে।

Sines এবং cosines হল "শুধু" cisoids, বা জটিল exponentials আসল এবং কাল্পনিক অংশ (কিছু রেফারেন্স পাওয়া যাবে আমি কিভাবে একটি জটিল সূচকীয়, intuitively ব্যাখ্যা করবেন? , একটি বিশ্লেষণমূলক সংকেত জন্য 3D আন্দোলিত চক্রান্ত: Heyser টানিয়া বাহির / সর্পিল , ফুরিয়ার ট্রান্সফর্ম পরিচয় )

$s_{\omega,\phi}(t) = e^{2\pi i (\omega t+\phi)}$ $\mathrm{Re}(s_{\omega,0}(t))=\cos(2\pi \omega t)$ $\mathrm{Im}(s_{\omega,\pi/2}(t))=\cos(2\pi \omega t)$ $\omega$

{একটি}_{1} {গুলি}_{ω, φ_{1}} (টি) + + {একটি}_{2} {গুলি}_{ω, φ_{2}} (টি) ?

$a_1 s_{\omega,\phi_1}(t) +a_2 s_{\omega,\phi_2}(t)\,?$

$a_1$ $a_2$ $e^{2 \pi i\phi_1}$ $e^{2 \pi i\phi_2}$

{গুলি}_{ω, 0} (টি) + + একটি {গুলি}_{ω, φ} (টি),

$s_{\omega,0}(t) +a s_{\omega,\phi}(t)\,,$

$|a|<1$

\begin{matrix} (1) & ই^{2 π আমি (ω টি)} + + একটি ই^{2 π আমি (ω টি + + φ)} \end{matrix}

$e^{2\pi i (\omega t)}+ae^{2\pi i (\omega t+\phi)}\label{a}\tag{1}$

এবং এইভাবে:

\begin{matrix} (2) & (1 + + একটি ই^{2 π আমি φ}) ই^{2 π আমি (ω টি)}, \end{matrix}

$(1+ae^{2\pi i\phi})e^{2\pi i (\omega t)}\,,\label{b}\tag{2}$

$(1+ae^{2\pi i\phi})$ হিসাবে আবার লিখতে পারে $\alpha e^{2\pi i\varphi}$ , @ ফ্যাট 32 দ্বারা বিশদ ত্রিকোণমিতিক বিধি সহ (যা পরে প্রয়োজনে আমি বিশদ করতে পারতাম)। এখন, আমরা স্বজ্ঞাতকে জ্যামিতি করি। ইউনিট বৃত্তটি চলমান সাইকেলের চক্রের বিন্দুর গতি (ভালভের ডগাটি বলুন)। দ্য $a$ -রাডিয়াস সার্কেলটি ভালভের সাথে সংযুক্ত একটি ছোট স্পিনিং হুইলের মতো (কেবল উপরের ছবি থেকে নীল এবং লাল বৃত্তের মতো)। এখন, আমরা ছোট চাকাটির ঘেরে একটি বিন্দুর গতি দেখি।

আপনার প্রশ্নটি কী জিজ্ঞাসা করে: যদি বড় চক্রের ছোট কৌণিক ঘূর্ণন একই হয়, তবে আপনি বলতে পারবেন না যে রেডির দুটি চাকার গতির সংমিশ্রণ থেকে বিন্দুটির গতি ফলাফল হয় কিনা? $1$ এবং $a$ (কিছু প্রাথমিক কোণ সহ) বা একক বড় চাকা থেকে (ব্যাসার্ধের) $\alpha$ ), অন্য কিছু সূচনা কোণ সহ। এই দ্বারা বোঝানো হয় $\ref{a}$ এবং $\ref{b}$ ।

অন্য কথায়, কোনও ফুরিয়ার রূপান্তর বা কোনও মানব চোখই একই ফ্রিকোয়েন্সি নয় তবে বিভিন্ন ধাপের সাথে উপাদানগুলিকে আলাদা করতে পারে ।

[[সময় পেলে আমি অ্যানিমেশনগুলি যুক্ত করব]]]

— লরেন্ট ডুভাল
সূত্র