বিভিন্ন এফটি - সিএফটি, ডিএফটি, ডিটিএফটি এবং ফুরিয়ার সিরিজের সর্বাধিক সুস্পষ্ট, স্বজ্ঞাত ব্যাখ্যা কি?

30

এগুলি বেশ কিছু সময়ের জন্য অধ্যয়ন করার পরেও, আমি ভুলে যাব [যদি আমি কিছুক্ষণের জন্য যোগাযোগের বাইরে না থাকি] তবে কীভাবে তারা একে অপরের সাথে সম্পর্কিত এবং প্রতিটি কী দাঁড়ায় [যেহেতু তাদের মতো একই শব্দযুক্ত নাম রয়েছে)। আমি আশা করছি আপনি এমন একটি ব্যাখ্যা নিয়ে এসেছেন যা এতটা স্বজ্ঞাত এবং গাণিতিকভাবে সুন্দর যে তারা চিরকালের জন্য আমার স্মৃতিতে অন্তর্ভুক্ত হয়ে যাবে এবং যখনই আমার [বা অন্য কেউ] এর প্রয়োজন হবে তখন এই থ্রেডটি দ্রুত দ্রুত রিফ্রেশার হিসাবে কাজ করবে।

fourier-transform

— Vighnesh
সূত্র

2

সম্ভবত ফুরিয়ার সিরিজটি দিয়ে শুরু করা উচিত

— এন্ডোলিথ

আপনি কি পন্ট্রিয়াগিন দ্বৈতত্বের সাথে পরিচিত?

— Lorem Ipsum

@ ইয়োদা - না, আপনি দয়া করে আমাকে কিছু ভাল উল্লেখ করতে বা আমাকে উল্লেখ করতে পারেন? [আমি অবশ্যই এটি গুগল করব]]

— বিঘ্নেশ

1

"স্টিভ অন ইমেজ প্রসেসিং": ফুয়েরিয়ার ঠিক ঠিক এই প্রশ্নের ঠিকানা পরিবর্তন করে ।

— নোবার

আমি এখানে কখন উত্তর লিখতে হবে তা না করে (প্রয়োজন না হলে) unless তবুও, একটি সম্ভাব্য উত্তর দেওয়া যেতে পারে আমি কি অবিচ্ছিন্ন সময় ফুরিয়ার ট্রান্সফর্ম অধ্যয়ন করতে পারি এবং বাকীটিকে বিশেষ ঘটনা হিসাবে বিবেচনা করব @ লোরেমআইপসাম দ্বারা প্রস্তাবিত পন্ট্রিয়াগিন দ্বৈত ট্র্যাক

— লরেন্ট ডুভাল

24

আমি এই হ্যান্ডআউটটি ওপেনহাইম এবং উইলস্কির পরিপূরক হিসাবে লিখেছি । নীচে পুনরুত্পাদন করা 14 পৃষ্ঠায় টেবিল 4.1 দেখুন, দয়া করে। (বৃহত্তর চিত্রের জন্য ক্লিক করুন)) আমি সেই টেবিলটি আপনার মতো প্রশ্নের উত্তর দেওয়ার জন্য লিখেছিলাম।

চারটি অপারেশনের মধ্যে মিল এবং পার্থক্যগুলি দ্রষ্টব্য:

"সিরিজ": সময়ে সময়ে পর্যায়ক্রমে, ফ্রিকোয়েন্সি থেকে পৃথক
"রূপান্তর": সময়ের মধ্যে এপরিওডিক, নিয়মিতভাবে ফ্রিকোয়েন্সি
"অবিচ্ছিন্ন সময়": ক্রমাগত অবিচ্ছিন্ন, ফ্রিকোয়েন্সিতে এপরিওডিক
"বিচ্ছিন্ন সময়": সময়ে স্বতন্ত্র, ফ্রিকোয়েন্সি সময়ে পর্যায়ক্রমে

আমি আশা করি আপনি এই নোটগুলি সহায়ক বলে মনে করি! আপনার ইচ্ছামত বিতরণ করতে নির্দ্বিধায় দয়া করে।

— স্টিভ তেজোয়া
সূত্র

1

ভাল সংক্ষিপ্তসার। নোট করুন যে উপরের সারণীতে রেফারেন্সযুক্ত "ডিস্ক্রিট টাইম ফিউরির সিরিজ" সাধারণত ডিস্ট্রিট ফুরিয়ার ট্রান্সফর্ম (ডিএফটি) হিসাবে উল্লেখ করা হয়।

— জেসন আর

কিছুটা নিটপিক করার জন্য, জেসন আর বলেছেন যে এই উত্তরটি আসলেই একটি ভাল সংক্ষিপ্তসার এবং ডিএসপি.এসইতে স্থায়ীভাবে রাখার মতো এমন কিছু যাতে ভবিষ্যতের রেফারেন্সের জন্য প্রত্যেকেই এটির সাথে লিঙ্ক করতে পারে তবে এটি যে প্রশ্নটি জিজ্ঞাসা করেছিল তা সত্যই প্রতিক্রিয়াশীল নয় asked এই বিষয়গুলির একটি স্বজ্ঞাত ব্যাখ্যার জন্য (লোভিতা সম্ভবত একটি যুক্ত বোনাস হওয়ায় এবং এটি শিরোনামে উল্লেখ করা হলেও প্রশ্নের টেক্সটে নয় তবে একেবারে পুনর্বিবেচিত নয়)।

— দিলীপ সরোতে

2

একটি দুর্দান্ত প্রতিক্রিয়া স্টিভ - আমি বিশ্বাস করি এটিই ওপি খুঁজছে। সংক্ষিপ্ত, মিষ্টি, এবং বিন্দু।

— স্পেসি

এটি আপনার হ্যান্ডআউটের 2 পৃষ্ঠার পরিবর্তিত নীচে কোনও ভুল ছাপ? এটি উল্লিখিত হয়েছে: । এর অর্থ কি ?

x (t) b (t - t_{0}) = x (t_{0}) b (t - t_{0})

$x(t)b(t-t_0)=x(t_0)b(t-t_0)$

\int_{- \infty}^{\infty} x (t) b (t - t_{0}) d t = x (t_{0})

$\int_{-\infty}^{\infty}x(t)b(t-t_0)dt = x(t_0)$

— এমবায়েটফ

1

একটি ভুল ছাপ নয়। আপনার উভয় বক্তব্য সত্য, তবে আমি প্রথমটি লিখতে চেয়েছিলাম কারণ গাইডের বিভাগটি ইউনিট আবেগের প্রাথমিক, অ্যাক্সিয়োম্যাটিক সংজ্ঞা বর্ণনা করে। দ্বিতীয় বিবৃতিটি তখন সেই সংজ্ঞাগুলি থেকে নেওয়া: ।

\int_{\infty}^{\infty} x (t) δ (t - t_{0}) d t = \int_{\infty}^{\infty} x (t_{0}) δ (t - t_{0}) d t = x (t_{0}) \int_{\infty}^{\infty} δ (t - t_{0}) d t = x (t_{0})

$\int_{\infty}^{\infty} x(t)\delta(t-t_0) dt = \int_{\infty}^{\infty} x(t_0)\delta(t-t_0) dt = x(t_0) \int_{\infty}^{\infty} \delta(t-t_0) dt = x(t_0)$

— স্টিভ তেজোয়া

9

এই ধারণাগুলির সুস্পষ্ট ও সঠিক ব্যাখ্যার জন্য আপনাকে কিছু স্ট্যান্ডার্ড পাঠ্যপুস্তকগুলি (ওপেনহাইম-শেফার, প্রোাকিস-মনোলাকিস বা রিচার্ড লিয়ন্স রচিত "ডিজিটাল সিগন্যাল প্রসেসিং বোঝা" যা খুব ভাল তবে তুলনামূলক কম জনপ্রিয় বই হিসাবে যেতে হবে) । তবে একটি কফি-টেবিল আলোচনা অনুমান করে, আমি এরপরে কিছু চূড়ান্তভাবে বিবৃতি দেব। :)

একটি সাধারণ ক্রমাগত সময় সংকেতের জন্য, আপনি কোনও নির্দিষ্ট ফ্রিকোয়েন্সি অনুপস্থিত থাকার প্রত্যাশা করবেন না, সুতরাং এর ফুরিয়ার ট্রান্সফর্ম (বা ধারাবাহিক ফুয়ারি ট্রান্সফর্ম) সম্ভবত ইনফ থেকে ইনফ্ল্যাক্ট সমর্থন সহ একটি অবিচ্ছিন্ন বক্ররেখা হবে।

পর্যায়ক্রমিক অবিচ্ছিন্ন সংকেতের জন্য (পিরিয়ড টি), ফুরিয়ার একই সময়কালীন (টি, টি / 2, টি / 3, টি / 4, ...) সাইন এবং কোসাইনগুলির সংমিশ্রণ হিসাবে সংকেতটি প্রকাশ করেছিলেন। কার্যকরভাবে, এই সংকেতের বর্ণালীটি 1 / টি, 2 / টি, 3 / টি, 4 / টি, অবস্থানগুলিতে স্পাইকগুলির একটি সিরিজ ... এটি ফুরিয়ার সিরিজের প্রতিনিধিত্ব বলে। একটি উপপাদ্য রয়েছে যা বলেছে যে কোনও পর্যায়ক্রমিক অবিচ্ছিন্ন সময় সংকেতের ফুরিয়ার সিরিজের প্রতিনিধিত্ব সংকেতকে রূপান্তর করে কারণ আপনি আরও বেশি সংখ্যক সাইন এবং কোসাইন (বা জটিল ক্ষতিকারক) বর্গীয় অর্থে অন্তর্ভুক্ত করেন।

নৈতিক এখনও অবধি: সময় সময়কাল => স্পিকি বর্ণালী

বিচ্ছিন্ন সময় অবধি ... আপনি যদি একটি অবিচ্ছিন্ন সময় সংকেত নমুনা করেন? এটি পরিষ্কার হওয়া উচিত যে পর্যাপ্ত উচ্চতর সংকেতের জন্য, আপনি সংকেতটি পুনর্গঠন করতে সক্ষম হবেন না। যদি আপনি সিগন্যালে ফ্রিকোয়েন্সি সম্পর্কে কোনও ধারণা না করেন, তবে নমুনাযুক্ত সংকেত দেওয়া হলে, সত্যিকারের সংকেত কী তা বলতে পারবেন এমন কোনও উপায় নেই। অন্য কথায়, বিভিন্ন ফ্রিকোয়েন্সি পৃথক সময় সংকেত সমানভাবে প্রতিনিধিত্ব করা হয়। কিছু গণিতের মধ্য দিয়ে যাওয়াই আপনাকে বলে যে আপনি আসল অবিচ্ছিন্ন সংকেত থেকে নমুনাযুক্ত সিগন্যালের বর্ণালী অর্জন করতে পারেন। কিভাবে? আপনি অবিচ্ছিন্ন সময় সংকেতের বর্ণালীটিকে + -1 / T, + -2 / T, পরিমাণে স্থানান্তরিত করুন এবং সমস্ত স্থানান্তরিত অনুলিপিগুলি (কিছু স্কেলিং সহ) যুক্ত করুন। এটি আপনাকে একটানা স্পেকট্রাম দেয় যা পর্যায়ক্রম 1 / টি পর্যায়ক্রমিক হয়। (দ্রষ্টব্য: বর্ণালী সময় সময় নমুনার ফলে পর্যায়ক্রমিক হয়, সময় সংকেত না ' টি পর্যায়ক্রমিক হতে হবে) যেহেতু বর্ণালীটি অবিচ্ছিন্ন, আপনি এটির পাশাপাশি কেবলমাত্র একটি পিরিয়ডের মাধ্যমে এটি উপস্থাপন করতে পারেন। এটি ডিটিএফটি ("ডিসক্রিট-টাইম" ফুরিয়ার ট্রান্সফর্ম)। আপনার আসল অবিচ্ছিন্ন সময় সংকেতটিতে ফ্রিকোয়েন্সিগুলি + -1 / 2T এর চেয়ে বেশি নয় এমন ক্ষেত্রে বর্ণালীটির স্থানান্তরিত অনুলিপিগুলি ওভারল্যাপ হয় না এবং তাই বর্ণালীটির একটি সময়কাল নির্বাচন করে আপনি আসল অবিচ্ছিন্ন সময় সংকেতটি পুনরুদ্ধার করতে পারেন ( Nyquist নমুনা উপপাদ্য)।

আরেকটি উপায় মনে রাখবেন: স্পেকি টাইম সিগন্যাল => বর্ণালীতে পর্যায়ক্রম

আপনি যদি কিছু কে-এর জন্য স্যাম্পলিং পিরিয়ড টি / কে সঙ্গে একটি অবিচ্ছিন্ন-সময় পর্যায়ক্রমিক সংকেত নমুনা করেন তবে কি হবে? ঠিক আছে, অবিচ্ছিন্ন-সময় সংকেতের বর্ণালীটি স্পিচ ছিল এবং টি এর কিছু বিভাজক দ্বারা এটি নমুনা দেওয়ার অর্থ হ'ল স্থানান্তরিত অনুলিপিগুলিতে স্পাইকগুলি ঠিক 1 / টি এর গুণায় পড়ে যায়, ফলস্বরূপ বর্ণালীটি একটি স্পিকি পর্যায়ক্রমিক স্পেকট্রাম হয় । চিকিত্সা পর্যায়ক্রমিক সময় সংকেত <=> চতুর পর্যায়ক্রমিক বর্ণালী (ধরে নিই যে পিরিয়ড এবং স্যাম্পলিং ফ্রিকোয়েন্সি উপরের মতো "সুন্দরভাবে সম্পর্কিত"।) এটিই ডিএফটি (ডিসক্রেট ফিউরিয়ার ট্রান্সফর্ম) হিসাবে পরিচিত। এফএফটি (ফাস্ট ফুরিয়ার ট্রান্সফর্ম) দক্ষতার সাথে ডিএফটি গণনা করার জন্য অ্যালগরিদমের একটি শ্রেণি।

ডিএফটি যেভাবে আহ্বান করা হয়েছে তা নিম্নরূপ: বলুন আপনি সময় মতো N নমুনার অনুক্রম বিশ্লেষণ করতে চান। আপনি ডিটিএফটি নিতে পারেন এবং এর একটি পিরিয়ডের সাথে ডিল করতে পারেন, তবে আপনি যদি ধরে নেন যে আপনার সিগন্যালটি পি পর্যায়ক্রমিক N এর সাথে পর্যায়ক্রমে হয়, তবে ডিটিএফটি ডিএফটি হ্রাস করে এবং আপনার ডিটিএফটি এর একটি পিরিয়ডের মাত্র এন নমুনা রয়েছে যা সংকেতকে সম্পূর্ণরূপে বৈশিষ্ট্যযুক্ত করে। বর্ণালী এবং আরও অনেক (যেমন আরও অনেক সম্পত্তি) এর সূক্ষ্ম নমুনা পেতে আপনি সময়টিতে সিগন্যালকে জিরো প্যাড করতে পারেন।

উপরের সমস্তগুলি তখনই কার্যকর যখন ডিএসপির অধ্যয়নের সাথে থাকে। উপরেরগুলি কয়েকটি খুব রুক্ষ নির্দেশিকা রয়েছে।

— rk2
সূত্র

7

যাক পিরিয়ড সহ একটি বেষ্টিত ফাংশন বোঝাতে হলো, সব বাস্তব সংখ্যার জন্য , । একটি বিশেষ উদাহরণ হিসাবে, এমন একটি ফাংশন। আমরা এই ফাংশনটির জন্য "সেরা" প্রায় করতে চাই যেখানে আমরা সহগ যাতে that স্কোয়ারড ত্রুটি যতটা সম্ভব ছোট হয়। ইন্টিগ্রেন্ডটি প্রসারিত করার সময়, আমাদের $x(t)$ $T$ $t$ $x(t+T) = x(t)$ $\cos(2\pi t/T)$ $a_n\cos(2\pi nt/T)$ $a_n$

\int_{0}^{T} (x (t) - a_{n} \cos (2 π n t / T))^{2} d t,

$\int_0^T (x(t) - a_n\cos(2\pi nt/T))^2\,\mathrm dt,$

squared error = \int_{0}^{T} x^{2} (t) d t - 2 a_{n} \int_{0}^{T} x (t) \cos (2 π n t / T) d t + (a_{n})^{2} \int_{0}^{T} \cos^{2} (2 π n t / T) d t .

$\text{squared error} = \int_0^T x^2(t)\,\mathrm dt - 2a_n \int_0^T x(t)\cos(2\pi nt/T)\,\mathrm dt +(a_n)^2\int_0^T \cos^2(2\pi nt/T)\,\mathrm dt.$ বামতমতম ইন্টিগ্রালটি হ'ল এক সময়কালের দ্বারা সরবরাহিত শক্তি এবং ডানদিকের অবিচ্ছেদ্যের মান এবং সুতরাং আমরা দেখতে পাই যে এখন। জন্য , দ্বিঘাত ফাংশন এ ন্যূনতম হয়েছে (শিকড় মধ্যে মাঝপথে ! !) এবং তাই হয়, যেহেতু আমরা একটি দ্বিঘাত ফাংশন হিসাবে স্কোয়ারড ত্রুটি প্রকাশ করেছেন , পছন্দমত যে ছোট স্কোয়ারড ত্রুটি

E

$E$

x (t)

$x(t)$

T / 2

$T/2$

squared error = E - 2 a_{n} \int_{0}^{T} x (t) \cos (2 π n t / T) d t + (a_{n})^{2} \frac{T}{2} .

$\text{squared error} = E - 2a_n \int_0^T x(t)\cos(2\pi nt/T)\,\mathrm dt +(a_n)^2\frac{T}{2}.$

a > 0

$a > 0$

a z^{2} + b z + c

$az^2 + bz + c$

z = - b / 2 a

$z = -b/2a$

(- b / 2 a) \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c} / 2 a

$(-b/2a) \pm \sqrt{b^2 - 4ac}/2a$

a_{n}

$a_n$

a_{n}

$a_n$

a_{n} = \frac{2}{T} \int_{0}^{T} x (t) \cos (2 π n t / T) d t .

$a_n = \frac{2}{T}\int_0^T x(t)\cos(2\pi nt/T)\,\mathrm dt.$ একইভাবে, কে এবং between এর মধ্যে স্কোয়ার ত্রুটি হ্রাস করে । সুতরাং আমরা দেখতে পাই যে ফুরিয়ার সিরিজ একই সময়কালের সাইন এবং কোসাইন সিগন্যালের ক্ষেত্রে সাময়িকী ফাংশন এর সর্বনিম্ন স্কোয়ার ত্রুটির সান্নিধ্য লাভের সস্তা কৌশল ছাড়া আর কিছুই নয় ।

b_{n}

$b_n$

b_{n} = \frac{2}{T} \int_{0}^{T} x (t) \sin (2 π n t / T) d t

$b_n = \frac{2}{T}\int_0^T x(t)\sin(2\pi nt/T)\,\mathrm dt$

x (t)

$x(t)$

b_{n} \sin (2 π n t / T)

$b_n\sin(2\pi nt/T)$

x (t)

$x(t)$

— দিলীপ সরওয়াতে
সূত্র

4

এন্ডোলিথটি সঠিক, যদি আপনি প্রকৃতপক্ষে ফুরিয়ার সিরিজটি শুরু করেন এবং দেখুন এটি কীভাবে ফুরিয়ার ট্রান্সফর্মের দিকে প্রসারিত হয় তবে জিনিসগুলি প্রচুর পরিমাণে বুদ্ধিমান হতে শুরু করে। আমি এই উত্তরটির প্রথমার্ধে এর জন্য একটি সংক্ষিপ্ত বিবরণ দিচ্ছি ।

ফুরিয়ার একটা ভালো চেহারায় (সম্ভবত সহজ নয়) পথ পরিবার (যা দ্বারা আমি 4 আপনি উপরের তালিকাভুক্ত করেছি মানে) রুপান্তর, মাধ্যমে হয় Pontryagin দ্বৈত গগলস। এটি আপনাকে আসল এবং রুপান্তরিত ডোমেনগুলির দ্বারা পৃথক রূপান্তরগুলি মনে রাখার একটি দুর্দান্ত উপায় দেয়।

উপর একটি জটিল মূল্যবান ফাংশন জন্য (অভিমানী অন্যান্য প্রয়োজনীয় অবস্থার জন্য ফুলটাইম অস্তিত্ব), তার ফুরিয়ার রুপান্তর এছাড়াও একটি জটিল মূল্যবান ফাংশন । স্থান a একটি পন্ট্রিয়াগিন স্ব-দ্বৈত এবং আপনি বলতে পারেন যে যদি পুরো পরিবারে কোনও রূপান্তর the মূল এবং রূপান্তরিত ডোমেন উভয় হিসাবে থাকে তবে এটি ফুরিয়ার রূপান্তর (বা সিএফটি) হিসাবে রয়েছে আপনি এটি বলেছেন)। $\mathbb{R}$ $\mathbb{R}$ $\mathbb{R}$ $\mathbb{R}$

সংখ্যার একটি জটিল মূল্যবান ক্রম on এ পর্যায়ক্রমিক জটিল মূল্যবান ফাংশন হিসাবে দেখা যায় , এটি একটি চক্রাকার পূর্ণসংখ্যা মডুলো গ্রুপ ( আরও তথ্যের জন্য সীমাবদ্ধ অ্যাবেলিয়ান গোষ্ঠী দেখুন)। এই অনুক্রমের রূপান্তরটিতে (স্ব-দ্বৈত) ডোমেনও রয়েছে এবং এটি হ'ল স্বতন্ত্র ফুরিয়ার রূপান্তর। $n$ $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ $n$ $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$

ইউনিট সার্কেলের ডোমেন, (পরম মান 1 সহ সমস্ত জটিল সংখ্যা; এছাড়াও চেনাশোনা গ্রুপটি দেখুন ) এবং পূর্ণসংখ্যার সেট each একে অপরের পন্ট্রিয়াগিন দ্বৈত। প্রথম মতোই, থেকে between এর মধ্যে একটি রূপান্তর বিদ্যমান এবং এটিই আমরা পৃথক-সময়ের ফুরিয়ার রূপান্তর এবং অন্যভাবে রাউন্ডটি ফুরিয়ার সিরিজ , যা থেকে সবকিছু শুরু হয়েছিল। $\mathbb{T}$ $\mathbb{Z}$ $\mathbb{Z}$ $\mathbb{T}$

এই উত্তরটি সম্পূর্ণরূপে সম্পূর্ণ নয় এবং আমি সময় পেলে কয়েকটি পয়েন্ট পরিষ্কার করার জন্য আমি সম্ভবত এই উত্তরটি তৈরি করব, তবে ততক্ষণ আপনি অন্য কারও কাছ থেকে আরও স্বজ্ঞাত ব্যাখ্যা না পাওয়া পর্যন্ত এটি চিবিয়ে দেওয়ার কিছু হতে পারে। উইকিপিডিয়ায় ফুরিয়ার বিশ্লেষণের রূপগুলিও পড়ার চেষ্টা করুন।

— Lorem Ipsum
সূত্র

3

আমি মনে করি সর্বাগ্রে মূল বিষয়টি হল আমাদের কেন ফুরিয়ার রূপান্তর প্রয়োজন তা মৌলিকভাবে বুঝতে। এগুলি হ'ল সম্ভাব্য সংকেত রূপান্তরগুলির মধ্যে একটি, তবে এটি সবচেয়ে দরকারী একটি। একটি রূপান্তরটি মূলত একটি সিগন্যালকে অন্য ডোমেনে রূপান্তর করে যা আমাদের সেই ডোমেনের সংকেত সম্পর্কে অন্তর্দৃষ্টি দিতে পারে বা ডোমেনটি গণিতের পক্ষে কাজ করা সহজ। একবার আমরা সেই ডোমেনে কাজ শেষ করার পরে আমরা আরও সহজেই কাঙ্ক্ষিত ফলাফল পেতে ইনভার্স ট্রান্সফর্ম নিতে পারি।

ফুরিয়ার তত্ত্বের সর্বাধিক প্রাথমিক বিল্ডিং ব্লক হ'ল মনোোটোনস (সাইনস এবং কোসাইন)। ফুরিয়ার ম্যাথ ব্যবহার করে আমরা এর ফ্রিকোয়েন্সি উপাদানগুলিতে (একঘেয়েমি) একটি সংকেত পচন করতে পারি। সুতরাং, ফুরিয়ার ট্রান্সফর্মটি মূলত সময় ডোমেন থেকে ফ্রিকোয়েসি ডোমেনে একটি সংকেত রূপান্তর করে। ফুরিয়ার সিরিজের প্রতিটি মনোোটনের সহগ আমাদের সংকেতের সেই ফ্রিকোয়েন্সি উপাদানটির শক্তি সম্পর্কে বলে। ফুরিয়ার ট্রান্সফর্ম (সিএফটি, ডিএফটি) স্পষ্টতই আমাদের সিগন্যালের একটি ফ্রিকোয়েন্সি ডোমেন ভিউ দেয়। প্রকৃতিতে সাইনস এবং কোসাইনগুলি বিশিষ্ট তরঙ্গরূপসমূহ। স্কোয়ার ওয়েভের মতো কৃত্রিম সংকেত, বা তীব্র ওঠানামার সংকেতগুলি স্বাভাবিকভাবেই ঘটে যাওয়ার সম্ভাবনা কম থাকে এবং ফুরিয়ার রূপান্তরগুলি দ্বারা খুব স্পষ্টভাবে ব্যাখ্যা করা হিসাবে আশ্চর্যজনকভাবে ফ্রিকোয়েন্সিগুলির সীমাহীন সীমার রচনা করা হত না। সাইনস / কোসাইনগুলির যোগফল হিসাবে কোনও সংকেত নষ্ট হতে পারে কিনা তা নিয়ে মানুষের সন্দেহ ছিল। ফুরিয়ার দেখায় স্কোয়ার ওয়েভফর্ম (যা সাইনস / কোসাইন থেকে অনেক দূরে) সত্যই হতে পারে। সাদা শব্দে সমান শক্তি সহ সমস্ত ফ্রিকোয়েন্সি থাকে।

এছাড়াও, যদি আপনি ফুরিয়ার সিরিজ নিয়ে কাজ করছেন, তবে ফেজ টার্মের সহগ সহকারীদের অবশ্যই সঠিকভাবে সুপারিশ করা প্রয়োজন যা উপাদানগুলি সিনোসয়েডাল তরঙ্গগুলি সজ্জিত করে যাতে মহাকাশটি প্রকৃতপক্ষে প্রয়োজনীয় সংকেত যা আপনি রূপান্তর গ্রহণ করছেন। ফুরিয়ার ট্রান্সফর্মগুলির সাথে কাজ করার সময়, জটিল সংখ্যার সুস্পষ্টভাবে ফেজের শর্তাদি এবং প্রতিটি মনোোটনের প্রয়োজনীয় পরিমাণ থাকে। (ইন্টিগ্রেশন মোটামুটি সমীকরণের মতো continuous ধারাবাহিক => ইন্টিগ্রেশন, পৃথক => সংমিশ্রণ)

আমি মনে করি একবার আপনার ধারণার থিমটি বোঝার পরে, বাকিগুলি কেবলমাত্র বিবরণ যা আপনাকে নিজেরাই বই পড়ার দ্বারা বুঝতে হবে। বিভিন্ন ক্ষেত্রে ফুরিয়ার রূপান্তর প্রয়োগ সম্পর্কে পড়া আপনাকে আরও ভাল উপলব্ধি করতে পারে।

— অভিষেক
সূত্র

2

একটি ডিএফটি হ'ল এক অরথোগোনাল স্পেস থেকে অন্য সংখ্যার জোড়গুলির ভেক্টরের রূপান্তর। একটি সংখ্যার গণনা হিসাবে খুব সাধারণভাবে করা। কোন কারণে, বাস্তব জগৎ থেকে একগুচ্ছ সংখ্যা নেওয়ার সময়, 2 ষ্ঠ সংখ্যার প্রায়শই যথেষ্ট দরকারী কিছুতে যথেষ্ট কাছাকাছি হয়ে আসে।

আমি প্রাকৃতিক বিজ্ঞানের গণিতের অযৌক্তিক কার্যকারিতা স্মরণ করিয়ে দিচ্ছি , বিশেষত অনেক সিস্টেমে ডিএফটি প্রয়োগ করার ক্ষেত্রে বিভিন্ন ধরণের ২ য় ডিগ্রি ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ দ্বারা সান্নিধ্যযুক্ত বলে মনে হয়, এমনকি কফির চামচের আওয়াজও আমি ফেলেছিলাম।

অন্যান্য 3 এক্সওয়াইজেড-এফটি কফি খুব শীতল হওয়ার আগে হোয়াইটবোর্ডে প্রতীকী সমাধানগুলিতে সহায়তা করতে কিছু পৌরাণিক অসীম সত্তার অস্তিত্ব সম্পর্কে অনুমান করে। তারা সিগন্যাল প্রক্রিয়াজাতকরণের "গোলাকার গরু"। ডিটিএফটি এবং ফুরিয়ার সিরিজটি ভান করে যে একটি ভেক্টর অন্য সত্তার অসীম ঘনত্বের দামে অসীমভাবে বাড়ানো যেতে পারে। ফুরিয়ার সিরিজ ভান করে যে উভয় সত্তা অসীম ক্রমাগত ফাংশন হতে পারে।

যথেষ্ট পরিমাণে গণিত কোর্স নিন এবং এই কল্পিত সত্তাগুলিকে কিছুটা অর্থে নির্ভুল এবং সম্পূর্ণ দ্বৈত করতে প্রয়োজনীয় সমস্ত সংজ্ঞা এবং অনুমানগুলি নির্ধারণ করতে পারে।

— hotpaw2
সূত্র

আপনার প্রথম বাক্যে "অর্থোগোনাল স্পেস" বলতে কী বোঝায়? স্থান লম্ব কি করতে , বা কি বিশেষ সম্পত্তি স্থান যে আপনি এটি বিশেষণ প্রদায়ক "লম্ব" দ্বারা অন্যান্য রান-এর-কল স্পেস থেকে এটাকে আলাদা হয় আছে?

— দিলীপ সরোতে

সম্ভবত "অরথনোরমাল" ভেক্টর স্পেসগুলির জন্য আরও সঠিক শব্দ?

— হটপাউ 2

আমি সাধারণত "রথগোনাল" এবং "অরথনোরমাল" ভেক্টর বা ম্যাট্রিক্সের ছোট সংগ্রহের বিশেষণ হিসাবে প্রয়োগ করতে দেখেছি । এবং অরথোগোনাল হয় যদি এবং অরথনোরালটির অতিরিক্ত এছাড়াও ভেক্টরগুলির ইউনিট দৈর্ঘ্য থাকতে হবে। একটি তির্যক ম্যাট্রিক্স এবং পরিচয় ম্যাট্রিক্স হলে অর্থনোমাল হলে একটি ম্যাট্রিক্স কে orthogonal বলা হয় । কি লম্ব বা orthonormal স্থান মানে সব স্থান ভেক্টর একে অপরের সাথে লম্ব বা লম্ব হয় এবং ইউনিট দৈর্ঘ্য অত্যন্ত আছে? যদি তা হয় তবে আপনি কি এমন একটি জায়গার উদাহরণ দিতে পারেন?

x

$\mathbf x$

y

$\mathbf y$

⟨ x, y ⟩ = 0

$\langle\mathbf{x},\mathbf{y}\rangle=0$

A

$A$

A A^{T}

$AA^T$

A A^{T}

$AA^T$

— দিলিপ সরোতে

অভিন্ন ফ্রিকোয়েন্সি ফাংশন বাদে ডিএফটি অ্যাপারচার দৈর্ঘ্যে হুবহু পর্যায়ক্রমিক সমস্ত সাইন বা কোসাইনগুলির মধ্যে ডট পণ্য শূন্য। এমনকি ব্যাগের কফি বিনের সংখ্যার চেয়ে এন বড় হলেও। অরথনরমাল জন্য তাদের ইউনিট প্রশস্ততা করুন।

— হটপাউ 2

আপনার স্থানটি জটিল সংখ্যার -ভেক্টরগুলির স্থান (যেহেতু আপনি "সংখ্যার জোড়ের ভেক্টর" বলেছেন)। আছে কোন Sines এবং স্থান cosines, শুধুমাত্র জটিল সংখ্যার -tuples, এবং যে কোনো লম্ব বা orthonormal সেট যেমন -vectors ধারণ করতে পারে সর্বাধিক যেমন -tuples। আমি উপরে আপনার মন্তব্য মুছে ফেলার এবং সম্ভবত আপনার সম্পূর্ণ উত্তরটি সুপারিশ করব।

N

$N$

N

$N$

N

$N$

N

$N$

N

$N$

— দিলিপ সরোতে