ফুরিয়ার রূপান্তর এত গুরুত্বপূর্ণ কেন?

129

প্রত্যেকে সিগন্যাল প্রক্রিয়াজাতকরণের বিষয়ে আলোচনা করার সময় ফুরিয়ার রূপান্তর নিয়ে আলোচনা করে। সিগন্যাল প্রসেসিং কেন এটি এত গুরুত্বপূর্ণ এবং এটি আমাদের সংকেত সম্পর্কে কী বলে?

এটি কি কেবল ডিজিটাল সিগন্যাল প্রক্রিয়াকরণের ক্ষেত্রে প্রযোজ্য বা এটি অ্যানালগ সংকেতগুলিতেও প্রয়োগ হয়?

fourier-transform

— jcolebrand
সূত্র

10

সম্প্রতি ফুরিয়ার ট্রান্সফর্ম সম্পর্কে একটি আলোচনা গণিত.এসইতে পুনরুদ্ধার করা হয়েছিল এবং আমি ভেবেছিলাম যে এই সাইটের লোকেরা এর কিছুটা উপযুক্ত খুঁজে পেতে পারে এবং এমনকি এতে অংশ নিতে চাইবে।

— দিলীপ সরোতে

1

cf. কিছু দুর্দান্ত historicalতিহাসিক পটভূমি জন্য এই উত্তর । টুরিমির এপিসিসিলিক জ্যোতির্বিদ্যার চেয়ে কমপক্ষে ফিরিয়ার সিরিজের তারিখ । ফুরিয়ার সিরিজে আরও পদ যুক্ত করার সাথে সাথে আরও কিছু এক্সেন্ট্রিক্স এবং এপিসিসিল যুক্ত করা, আকাশে কোনও অবজেক্টের যে কোনও ক্রমাগত গতির জন্য অ্যাকাউন্ট নেওয়া যেতে পারে ।

— জেরেমিয়া

144

এটি বেশ বিস্তৃত প্রশ্ন এবং সিগন্যাল প্রক্রিয়াজাতকরণে ফুরিয়ার রূপান্তরগুলি কেন গুরুত্বপূর্ণ তা নির্ধারণ করা সত্যিই শক্ত । সবচেয়ে সহজ, হাত দোলানো উত্তরটি যেটি দিতে পারে তা হ'ল এটি একটি অত্যন্ত শক্তিশালী গাণিতিক সরঞ্জাম যা আপনাকে নিজের সিগন্যালগুলিকে একটি অন্য ডোমেনে দেখতে দেয়, যার মধ্যে বেশ কয়েকটি কঠিন সমস্যা বিশ্লেষণ করা খুব সহজ হয়ে যায়।

ইঞ্জিনিয়ারিং এবং শারীরিক বিজ্ঞানের প্রায় প্রতিটি ক্ষেত্রেই এর সর্বব্যাপীতা, কারণ বিভিন্ন কারণে, কোনও কারণ সঙ্কুচিত করা আরও বেশি শক্ত করে তোলে। আমি আশাবাদী যে এর কয়েকটি বৈশিষ্ট্য যা এর ব্যবহারিক প্রয়োগ এবং ইতিহাসের একটি ড্যাশ সহ এটির ব্যাপক গ্রহণযোগ্যতা দেখা দিয়েছে সেটিকে তার গুরুত্ব বুঝতে সাহায্য করতে পারে।

ইতিহাস:

ফুরিয়ার রূপান্তরটির গুরুত্ব বোঝার জন্য, কিছুটা পিছিয়ে যেতে এবং জোসেফ ফুরিয়ারের দেওয়া ফুরিয়ার সিরিজের শক্তির প্রশংসা করা গুরুত্বপূর্ণ। বাদাম-শেলের মধ্যে, ডোমেনে সংক্ষিপ্ত যে কোনও পর্যায়ক্রমিক ফাংশন হিসাবে সাইন এবং কোজিনের অসীম যোগফল হিসাবে রচনা করা যেতে পারে $g(x)$ $\mathcal{D}=[-\pi,\pi]$

g (x) = \sum_{k = - \infty}^{\infty} τ_{k} e^{ȷ k x}

$g(x)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}\tau_k e^{\jmath k x}$

τ_{k} = \frac{1}{2 π} \int_{D} g (x) e^{- ȷ k x} d x

$\tau_k=\frac{1}{2\pi}\int_{\mathcal{D}}g(x)e^{-\jmath k x}\ dx$

যেখানে । এই ধারণাটি যে কোনও ক্রিয়াকলাপটিকে তার উপাদানগুলির ফ্রিকোয়েন্সিগুলিতে বিভক্ত করা যেতে পারে (অর্থাত্, সমস্ত ফ্রিকোয়েন্সিগুলির সাইনস এবং কোসিনগুলিতে পরিণত করা) এটি একটি শক্তিশালী এবং ফুরিয়ার রূপান্তরটির মেরুদন্ড গঠন করে। $e^{\imath\theta}=\cos(\theta)+\jmath\sin(\theta)$

ফুরিয়ার রূপান্তর:

ফুরিয়ার রূপান্তরটি উপরোক্ত ফুরিয়ার সিরিজের অ পর্যায়ক্রমিক ফাংশনে এক্সটেনশন হিসাবে দেখা যেতে পারে। সম্পূর্ণতা এবং স্পষ্টতার জন্য, আমি এখানে ফুরিয়ার রূপান্তর সংজ্ঞায়িত করব। যদি একটি অবিচ্ছিন্ন, সমন্বিত সংকেত হয় তবে এর ফুরিয়ার রূপান্তর, দ্বারা প্রদত্ত $x(t)$ $X(f)$

X (f) = \int_{R} x (t) e^{- ȷ 2 π f t} d t, \forall f \in R

$X(f)=\int_{\mathbb{R}}x(t)e^{-\jmath 2\pi f t}\ dt,\quad \forall f\in\mathbb{R}$

এবং বিপরীত রূপান্তর দ্বারা দেওয়া হয়

x (t) = \int_{R} X (f) e^{ȷ 2 π f t} d f, \forall t \in R

$x(t)=\int_{\mathbb{R}}X(f)e^{\jmath 2\pi f t}\ df,\quad \forall t\in\mathbb{R}$

সংকেত প্রক্রিয়াকরণে গুরুত্ব:

প্রথম এবং সর্বাগ্রে, একটি সিগন্যালের ফুরিয়ার ট্রান্সফর্ম আপনাকে জানায় যে আপনার সিগন্যালে কোন ফ্রিকোয়েন্সি উপস্থিত রয়েছে এবং কোন অনুপাতে রয়েছে ।

উদাহরণ: আপনি কি কখনও খেয়াল করেছেন যে কোনও কল করার সময় আপনি যখন চাপছেন তখন আপনার ফোনের প্রতিটি নম্বরের বোতামটি আলাদা শোনাচ্ছে এবং প্রতিটি ফোনের মডেলের ক্ষেত্রে এটি একই শোনাচ্ছে? এর কারণ তারা প্রত্যেকে দুটি আলাদা সাইনোসয়েড সমন্বয়ে গঠিত যা বোতামটি অনন্যরূপে সনাক্ত করতে ব্যবহার করা যেতে পারে। আপনি যখন কোনও মেনু নেভিগেট করার জন্য সংমিশ্রণগুলিতে খোঁচা দেওয়ার জন্য আপনার ফোনটি ব্যবহার করেন, তখন অন্য পক্ষটি কী কী চাপায় তা জানার উপায়টি ইনপুটটির ফুরিয়ার রূপান্তর করে এবং উপস্থিত ফ্রিকোয়েন্সিগুলি দেখে।

গণিতকে সাধারণভাবে জড়িত করে তোলে এমন কিছু খুব দরকারী প্রাথমিক বৈশিষ্ট্য ছাড়াও সিগন্যাল প্রক্রিয়াকরণে এর এত ব্যাপক গুরুত্ব থাকার কারণগুলির কয়েকটি অন্যান্য কারণ হ'ল:

ফুরিয়ার রূপান্তরকরণের বর্গক্ষেত্র, তাত্ক্ষণিকভাবে আমাদের জানায় যে নির্দিষ্ট ফ্রিকোয়েন্সি তে সিগন্যাল কত শক্তি রয়েছে । $\vert X(f)\vert^2$ $x(t)$ $f$
পার্সেভালের উপপাদ্য (আরও সাধারণভাবে প্ল্যানচেয়ারেলের উপপাদ্য) থেকে, আমাদের কাছে যার অর্থ যে সমস্ত সময় জুড়ে একটি সিগন্যালে মোট শক্তি সমস্ত ফ্রিকোয়েন্সি জুড়ে রূপান্তরিত মোট শক্তির সমান । সুতরাং, রূপান্তর শক্তি সংরক্ষণ করা হয়। $\int_{R} | x (t) |^{2} d t = \int_{R} | X (f) |^{2} d f$ $\int_\mathbb{R}\vert x(t)\vert^2\ dt = \int_\mathbb{R}\vert X(f)\vert^2\ df$
সময় ডোমেনে কনভোলিউশনগুলি ফ্রিকোয়েন্সি ডোমেনে গুণনের সমতুল্য, যেমন দুটি সিগন্যাল এবং , তবে যদি $x(t)$ $y(t)$

$z (t) = x (t) ⋆ y (t)$ $z(t)=x(t)\star y(t)$ যেখানে সংশ্লেষকে বোঝায়, তারপরে ফুরিয়ার রূপান্তর কেবল $\star$ $z(t)$
$Z (f) = X (f) \cdot Y (f)$ $Z(f)=X(f)\cdot Y(f)$
বিচ্ছিন্ন সংকেতগুলির জন্য, প্রায়শই দক্ষ এফএফটি অ্যালগরিদমগুলির বিকাশের সাথে, সময় ডোমেনের তুলনায় ফ্রিকোয়েন্সি ডোমেনে একটি কনভোলশন অপারেশন বাস্তবায়ন করা দ্রুত।
কনভোলশন অপারেশনের অনুরূপ, ক্রস-সম্পর্কিতগুলিও ফ্রিকোয়েন্সি ডোমেনে হিসাবে সহজেই প্রয়োগ করা হয় , যেখানে জটিল সংযোগকে বোঝায়। $Z(f)=X(f)^*Y(f)$ $^*$
সিগন্যালগুলি তাদের উপাদান ফ্রিকোয়েন্সিগুলিতে বিভক্ত করতে সক্ষম হয়ে, কেউ সহজেই তাদের অবদানগুলি বাতিল করে নির্দিষ্ট কিছু ফ্রিকোয়েন্সিগুলি বাছাই করতে পারে।

উদাহরণ: আপনি যদি কোনও ফুটবল (ফুটবল) অনুরাগী হন তবে আপনি সম্ভবত ভুভেলাসের অবিচ্ছিন্ন ড্রোনটিতে বিরক্ত হয়েছিলেন যে দক্ষিণ আফ্রিকার ২০১০ বিশ্বকাপের সময় সমস্ত মন্তব্য ডুবে গেছে। যাইহোক, ভুভুলেলার একটি ধ্রুবক p 235Hz পিচ রয়েছে যা ব্রডকাস্টারদের পক্ষে আপত্তিজনক আওয়াজকে কাটা বন্ধ করার জন্য একটি খাঁজ ফিল্টার প্রয়োগ করা সহজ করে তোলে। ^[1]
সময়ের ডোমেনে একটি স্থানান্তরিত (বিলম্বিত) সংকেত ফ্রিকোয়েন্সি ডোমেনের একটি পর্যায় পরিবর্তন হিসাবে উদ্ভাসিত হয়। এটি প্রাথমিক সম্পত্তি বিভাগের অধীনে থাকা অবস্থায়, এটি অনুশীলনে বিশেষত চিত্র এবং টমোগ্রাফি অ্যাপ্লিকেশনগুলিতে একটি বহুল ব্যবহৃত সম্পত্তি,

উদাহরণ: যখন একটি তরঙ্গ ভিন্নজাতীয় মাধ্যমের মধ্য দিয়ে ভ্রমণ করে, তখন মাধ্যমটিতে তরঙ্গ প্রচারের গতির পরিবর্তন অনুযায়ী এটি ধীর হয়ে যায় এবং গতি বাড়ায়। সুতরাং কী প্রত্যাশা করা হয়েছে এবং কী কী পরিমাপ করা হয়েছে তা থেকে পর্যায়টির পরিবর্তন পর্যালোচনা করে, কেউ অতিরিক্ত সময়ের বিলম্ব অনুমান করতে পারে যা ঘুরেফিরে আপনাকে বলে যে তরঙ্গের গতি মাঝখানে কতটা পরিবর্তিত হয়েছে। এটি অবশ্যই একটি খুব সরল সাধারণ ব্যক্তির ব্যাখ্যা, তবে টমোগ্রাফির ভিত্তি তৈরি করে।
সিগন্যালের ডেরাইভেটিভস ( ^এনও ডেরিভেটিভসও ) ফুরিয়ার ট্রান্সফর্ম ব্যবহার করে সহজেই গণনা করা যায় (106 দেখুন)।

ডিজিটাল সিগন্যাল প্রসেসিং (ডিএসপি) বনাম অ্যানালগ সিগন্যাল প্রসেসিং (এএসপি)

ফুরিয়ার রূপান্তর তত্ত্বটি প্রযোজ্য যতক্ষণ না এটি "সুন্দর" এবং একেবারে একীকরণযোগ্য ততক্ষণ সংকেত অবিচ্ছিন্ন বা বিযুক্ত। সুতরাং হ্যাঁ, এএসপি ততক্ষণ ফুরিয়ার রূপান্তর ব্যবহার করে যতক্ষণ সংকেতগুলি এই মানদণ্ডটি মেটায়। তবে এএসপিতে ল্যাপ্লেস ট্রান্সফর্ম, যা সাধারণীকরণ করা ফুরিয়ার রূপান্তর, সে সম্পর্কে কথা বলা সম্ভবত আরও সাধারণ বিষয়। ল্যাপ্লেস রূপান্তর হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়

X (s) = \int_{0}^{\infty} x (t) e^{- s t} d t, \forall s \in C

$X(s)=\int_{0}^{\infty}x(t)e^{-st}\ dt,\quad \forall s\in\mathbb{C}$

সুবিধাটি হ'ল ফুরিয়ার ট্রান্সফর্মের মতো একটি অবশ্যই প্রয়োজনীয় "দুর্দান্ত সংকেত" হিসাবে সীমাবদ্ধ নয়, তবে রূপান্তরটি কেবলমাত্র একটি নির্দিষ্ট অঞ্চলের অভ্যন্তরেই বৈধ। এটি এলসি / আরসি / এলসিআর সার্কিটগুলি অধ্যয়ন / বিশ্লেষণ / ডিজাইনিংয়ে ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয়, যা ঘুরেফিরে রেডিও / বৈদ্যুতিক গিটার, ওয়াহ-ওয়াহ প্যাডেল ইত্যাদিতে ব্যবহৃত হয়

এই মুহূর্তে আমি এখনই যা ভাবতে পেরেছিলাম এটি যথেষ্ট, তবে লক্ষ করুন যে কোনও পরিমাণ লেখাই / ব্যাখ্যা পুরোপুরি সিগন্যাল প্রক্রিয়াকরণে এবং বিজ্ঞান / প্রকৌশলতে ফুরিয়ার রূপান্তরগুলির সত্যিকার গুরুত্বকে পুরোপুরি ক্যাপচার করতে পারে না

— Lorem Ipsum
সূত্র

2

এফটি এবং এর বৈশিষ্ট্যগুলি ব্যবহার করে কিছু রিয়েলওয়ার্ল্ড অ্যাপ্লিকেশন দেওয়ার জন্য দুর্দান্ত উত্তর। +1 টি।

— গোল্ডেনম্যান

3

@ এন্ডোলিথ আমি বলিনি যে ফুরিয়ার রূপান্তরটি প্রথম ছিল, কেবল এটি শক্তিশালী । নোট করুন যে কোনও টেলর সিরিজটি উপাদানগুলির ফ্রিকোয়েন্সিগুলির ক্ষেত্রে কোনও প্রসার নয় । উদাহরণস্বরূপ, প্রায় টেলর সিরিজটি হ'ল , অন্যদিকে ফুরিয়ার রূপান্তর হ'ল (কিছু সাধারণকরণের কারণ দিন বা নিন)। দ্বিতীয়টি হ'ল সঠিক ফ্রিকোয়েন্সি উপস্থাপনা, সুতরাং আমি নিশ্চিত নই যে টেলর সিরিজের সাথে কোনও তুলনা এখানে উপযুক্ত কিনা।

\sin (α x)

$\sin(\alpha x)$

0

$0$

α x - α^{3} x^{3} / 3! + α^{5} x^{5} / 5! \dots

$\alpha x-\alpha^3x^3/3!+\alpha^5x^5/5!\ldots$

\sin (α x)

$\sin(\alpha x)$

[δ (ω - α) - δ (ω + α)] / (2 ȷ)

$\left[\delta(\omega-\alpha)-\delta(\omega+\alpha)\right]/(2\jmath)$

— Lorem Ipsum

6

আমি যখন এই প্রতিক্রিয়াটি পড়তে শুরু করি, তখন কোনওভাবেই আমি জানতাম @ যোদা এটি লিখেছিল আগে আমি এটি স্ক্রোল করার আগে এটি আসলে কে ছিল =)

— ফোনের

2

# 3 এ বিস্তারিতভাবে বোঝার জন্য: আপনি যখন কোনও চিত্রের উপর কোনও ফিল্টার প্রয়োগ করেন, যেমন একটি গড় ফিল্টার বা গাউসিয়ান ফিল্টার (যদিও আপনি ফুরিয়ার-রৈখিক অ-রৈখিক ফিল্টারগুলি করতে পারবেন না) তখন কনভোলিউশনটি আপনি যা করেন।

— জোনাস

1

পিটার কে এর বক্তব্য সত্যই সমালোচনা। সংকেত থেকে সম্মান সঙ্গে প্রতিনিধিত্ব করা যাবে অনেক বিভিন্ন ঘাঁটি। সাইনস এবং কোসাইনগুলি বিশেষ কারণ এগুলি এলটিআই সিস্টেমগুলির ইগনফুনেশন।

— নিবোট

53

লরেম ইপসামের দুর্দান্ত উত্তরটি একটি জিনিস মিস করে: ফুরিয়ার রূপান্তর সংকেতগুলিকে জটিল জটিল তাত্পর্য হিসাবে বিভক্ত করে:

e^{ȷ ω t}

$e^{\jmath \omega t}$

রৈখিক, সময় আক্রমণকারী সিস্টেমগুলির জন্য eigenfunitions হ'ল জটিল এক্সপেনসিয়েনালগুলি ।

সহজ কথায় বলতে গেলে, যদি কোনও সিস্টেম, লিনিয়ার এবং সময়-আক্রমণকারী হয়, তবে জটিল ক্ষতিকারকটির প্রতিক্রিয়া একই ফ্রিকোয়েন্সিটির একটি জটিল ক্ষতিকারক হবে তবে (সম্ভবত) বিভিন্ন ধাপ, এবং প্রশস্ততা, , --- এবং প্রশস্ততা শূন্য হতে পারে: $H$ $\phi$ $A$

y = H [e^{ȷ ω t}] = A e^{ȷ ϕ} e^{ȷ ω t}

$y = H[e^{\jmath \omega t}] = A e^{\jmath \phi} e^{\jmath \omega t}$

সুতরাং ফুরিয়ার রূপান্তরটি লিনিয়ার, সময়-আক্রমণকারী সিস্টেমগুলির বিশ্লেষণের জন্য একটি দরকারী সরঞ্জাম।

— পিটার কে
সূত্র

@ পিটার কে। আমি মনে করি যে কোনও উত্তরের "জনপ্রিয়তা" সম্পর্কে সঠিকভাবে (একাডেমিক) সঠিকতার উপর দর্শন অনুসরণ করে, আপনার উত্তরটি লোরেম ইপসাম প্রদত্ত উপরের উত্তরের সাথে একীভূত করা উচিত, যা উত্তর হিসাবে নির্বাচিত হওয়া সত্ত্বেও 96 ব্যবহারকারীদের পয়েন্টগুলি, এই খুব গুরুত্বপূর্ণ দৃষ্টিভঙ্গির অভাব রয়েছে।

— ফ্যাট 32

@ পিটার এই অনুরোধটি নিয়ে আপনাকে বিরক্ত করার জন্য দুঃখিত, তবে আপনি 1) একজন মডারেটর, 2) আপনার নামটি আপনার বিমফর্মিং ট্যাগ সহ "সক্রিয়" ব্যবহারকারীদের তালিকায় উপস্থিত হয়েছে। ম্যাথ.এসইতে এই পোস্টটি এখানে ভালভাবে গ্রহণযোগ্য হবে কিনা তা সম্পর্কে আপনি কি দ্রুত মন্তব্য দিতে পারেন ? আমি নিশ্চিত নই, ডিএসপি.এসই, ম্যাথ.এসই বা ইই.এসইর কাছে সেই প্রশ্নকারীকে সাহায্য করার সর্বোত্তম সুযোগ আছে কিনা। আমি মাইগ্রেশন বিবেচনা করছি (যা আমি ম্যাথ.এসই মডারেটর হিসাবে করতে পারি)।

— জিরকি লাহটনেন

@ পিটার কে।, আপনি কি দয়া করে এই প্রশ্নটি আবার খুলতে পারেন: dsp.stackexchange.com/questions/37468 । আমি এটা ঠিক করেছি. ধন্যবাদ.

— রই

@ রোয় ইতোমধ্যে খোলা আছে?

— পিটার কে।

পিটার (কীভাবে কিছু লোককে ব্যবহার করে যোগাযোগ করা যেতে পারে @এবং কিছু লোক আসতে পারে না? এর বিকল্পটি কোথায়?), মনে হয় কেউ এটি খুলেছে। ধন্যবাদ.

— রই

16

আর একটি কারণ:

রৈখিক সময় জটিলতার কারণে (বিশেষত, এফএফটি থেকে ) এটি দ্রুত (উদাহরণস্বরূপ সমঝোতার জন্য দরকারী )। আমি যুক্তি দিয়ে বলব, এটি যদি না হয় তবে আমরা সম্ভবত সময় ডোমেনে আরও অনেক কিছু করতাম, এবং ফুরিয়ার ডোমেনে অনেক কম।

সম্পাদনা: যেহেতু লোকেরা আমাকে এফএফটি দ্রুত কেন লিখতে বলেছে ...

এটি কারণ এটি চালাকি করে অতিরিক্ত কাজ করা এড়ানো হয়।

এটি কীভাবে কাজ করে তার একটি নিখুঁত উদাহরণ দেওয়ার জন্য, ধরুন আপনি দুটি , এবং । $a_0 x^0 + a_1 x^1 + \ldots + a_nx^n$ $b_0 x^0 + b_1 x^1 + \ldots + b_nx^n$

আপনি যদি নির্লজ্জভাবে এটি করতে ( FOIL পদ্ধতিটি ব্যবহার করে ) করতে থাকেন তবে আপনার আনুমানিক গাণিতিক ক্রিয়াকলাপ প্রয়োজন (একটি ধ্রুবক ফ্যাক্টর দিন বা নিন)। $n^2$

তবে, আমরা একটি আপাতদৈর্ঘ্য জাগতিক পর্যবেক্ষণ করতে পারি: দুটি বহুবচনকে গুণ করতে, আমাদের গুণফলগুলি পূরণ করতে হবে না । এর পরিবর্তে, আমরা কেবল পারেন মূল্যায়ন polynomials পয়েন্ট (যথেষ্ট) সংখ্যা, একটি কি pointwise মূল্যায়ন মূল্যবোধের গুণ, এবং তারপর ঢুকান ফলাফলের ফিরে পেতে।

কেন এটি দরকারী? সর্বোপরি, প্রতিটি বহুতোষের পদ রয়েছে এবং যদি আমরা প্রতিটি পয়েন্টে মূল্যায়ন করতে পারি তবে তার ফলস্বরূপ ক্রিয়াকলাপ হবে, সুতরাং এটি সাহায্য করবে বলে মনে হয় না। $n$ $2n$ $\approx n^2$

তবে এটি করে, যদি আমরা এটি সঠিকভাবে করি! এ একটি একক বহুপদী মূল্যায়ন অনেক একযোগে পয়েন্ট দ্রুত স্বতন্ত্রভাবে ঐ বিন্দুতে এটা মূল্যায়নের চেয়ে আমরা যদি "অধিকার" বিন্দুতে মূল্যায়ন । "সঠিক" পয়েন্টগুলি কী কী?

দেখা যাচ্ছে যে সেগুলি একতার মূল (যেমন সমস্ত জটিল সংখ্যা যেমন )যদি আমরা unityক্যের শিকড়গুলিতে বহুপদী মূল্যায়ন করতে বেছে নিই, তবে প্রচুর প্রকাশগুলি একই রকম হয় (কারণ প্রচুর মনোমালিন্য একই হয়ে উঠবে)। এর অর্থ হল আমরা তাদের পাটিগণিত একবার করতে পারি এবং এরপরে এটি অন্য সমস্ত বিন্দুতে বহুপদী মূল্যায়নের জন্য পুনরায় ব্যবহার করতে পারি । $z$ $z^n = 1$

আমরা কেবল unity ক্যের বিপরীত শিকড় ব্যবহার করে ফলাফলের বহুপদী সহগগুলি ফিরে পেতে পয়েন্টগুলির মধ্যে ইন্টারপোলটিংয়ের জন্য খুব অনুরূপ প্রক্রিয়াটি করতে পারি ।

স্পষ্টতই এখানে প্রচুর গণিত আমি এড়িয়ে যাচ্ছি, তবে কার্যকরভাবে, এফএফটি মূলত আমি বর্ণিত অ্যালগরিদমটি হ'ল বহুবর্ষগুলি মূল্যায়ন ও বিভক্ত করতে।
এর ব্যবহারগুলির মধ্যে একটি, যেমন আমি দেখিয়েছি তা হ'ল সাধারণের তুলনায় অনেক কম সময়ে বহুবচনগুলি গুন করা। দেখা যাচ্ছে যে এটি প্রচুর পরিমাণে কাজ সাশ্রয় করে, চলমান সময়টিকে (চতুর্ভুজ) এর পরিবর্তে আনুপাতিকভাবে (অর্থাৎ লিনিয়ারীথমিক) আনতে চলেছে । $n \log n$ $n^2$

সুতরাং একটি সাধারণ ক্রিয়াকলাপ (যেমন বহুপদী গুণ) হিসাবে দ্রুত গতিতে एफএফটি ব্যবহারের দক্ষতা এটিকে দরকারী করে তোলে এবং এ কারণেই লোকেরা এখন এমআইটি-এর স্পার্স এফএফটি অ্যালগরিদমের নতুন আবিষ্কার দ্বারা উত্তেজিত ।

— Mehrdad
সূত্র

রৈখিক সময় জটিলতা কী? আমি এই উত্তরটিকে হ্রাস করব না তবে আমি মনে করি না এটি ফুরিয়ার রূপান্তর সম্পর্কিত এই আলোচনায় কোনও মূল্যবোধ যুক্ত করে ।

— দিলীপ সরোতে

1

@ দিলিপ সরওয়াতে আমার সন্দেহ হয় যে তিনি এটিকে ও (এন * লগ (এন)) এর শর্টহ্যান্ড হিসাবে ব্যবহার করছেন।

— জিম ক্লে

@ দিলিপ সরওয়াতে: জিম ঠিক বলেছেন। এটির (বিযুক্ত) ফুরিয়ার ট্রান্সফর্মগুলির সাথে সম্পর্কিত সবকিছু রয়েছে । এফএফটি ব্যতীত আপনার ফুরিয়ার রূপান্তরগুলি ইনপুট আকারের বর্গক্ষেত্রের সমানুপাতিক সময় গ্রহণ করবে , যা তাদেরকে অনেক কম দরকারী করে তুলবে। তবে এফএফটির সাহায্যে তারা ইনপুটটির আকারের সমানুপাতিক সময় নেয় (এর লোগারিথমের দ্বিগুণ) যা তাদেরকে আরও বেশি দরকারী করে তোলে এবং যা প্রচুর গণনার গতি বাড়িয়ে তোলে। এছাড়াও এই একটি আকর্ষণীয় পঠিত হতে পারে।

— মেহরদাদ

এটি কেন আপনার দ্রুত উল্লেখ করা উচিত। এর রোজা কোথায় এবং কেন আমরা রোজা রাখি তা যত্নশীল?

— সাইবারমেন

1

আমি মনে করি যে এই উত্তরটি বৈধ। এটি প্যারাফ্রেস করা উচিত - "অন্যান্য লোকেদের উত্তরে বর্ণিত সমস্ত দুর্দান্ত বৈশিষ্ট্যগুলির পাশাপাশি, এফএফটি এটিকে রিয়েল-টাইম অ্যাপ্লিকেশনগুলিতে একটি সম্ভাব্য পদ্ধতির হয়ে উঠতে দেয়"।

— আন্দ্রে রুবস্টেইন

15

$e^{kx}$ $\frac{d^n}{dx^n}$ $k$ $k$

$e^{kx}$

সম্পাদনা: প্রকৃতপক্ষে, ডিফারেনশিয়াল (এবং অবিচ্ছেদ্য) অপারেটরগুলি এলএসআইভি অপারেটর, এখানে দেখুন ।

— chaohuang
সূত্র

8

এই থ্রেডের অন্যান্য উত্তরগুলির মধ্যে কয়েকটিতে ফুরিয়ার ট্রান্সফর্মের সংজ্ঞা এবং বৈশিষ্ট্যগুলির বিষয়ে দুর্দান্ত গাণিতিক আলোচনা রয়েছে; অডিও প্রোগ্রামার হিসাবে, আমি কেন এটি আমার পক্ষে গুরুত্বপূর্ণ তা কেবল নিজের ব্যক্তিগত অন্তর্দৃষ্টি দিতে চাই।

ফুরিয়ার রূপান্তর আমাকে এমন একটি শব্দ সম্পর্কে প্রশ্নের উত্তর দেওয়ার অনুমতি দেয় যা অন্যান্য পদ্ধতির সাথে উত্তর দেওয়া কঠিন বা অসম্ভব। এটি কঠিন সমস্যাগুলি সহজ করে তোলে।

একটি রেকর্ডিংয়ে তিনটি মিউজিকাল নোটের সেট থাকে। নোট কি? যদি আপনি সময়ের সাথে অবিচ্ছিন্ন সেট হিসাবে রেকর্ডিংটি ছেড়ে দেন তবে এটি কোনও সহজ সমস্যা নয়। আপনি যদি সময়ের সাথে সাথে রেকর্ডিংকে ফ্রিকোয়েন্সিগুলির একটি সেটে রূপান্তর করেন তবে এটি সত্যিই সহজ।

আমি কোনও রেকর্ডিংয়ের পিচটি তার সময়কাল পরিবর্তন না করেই পরিবর্তন করতে চাই। আমি এটা কিভাবে করবো? একটি ইনপুট সিগন্যালের প্রশস্ততা মাত্র চালিত করে এটি সম্ভব, তবে করা সহজ নয়। আপনি যদি সংকেতকে অন্তর্ভুক্ত করে এমন ফ্রিকোয়েন্সিগুলি জানেন তবে এটি সহজ।

এই রেকর্ডিংয়ে কি বক্তৃতা রয়েছে বা এটিতে সংগীত রয়েছে? কেবলমাত্র প্রশস্ততা-ভিত্তিক পদ্ধতিগুলি ব্যবহার করে সুপার সুপার। তবে ফুরিয়ার ট্রান্সফর্ম এবং এর পরিবারের উপর ভিত্তি করে বেশিরভাগ সময় সঠিক উত্তর অনুমান করা যায় এমন ভাল সমাধান রয়েছে।

আপনি ডিজিটাল অডিও রেকর্ডিং সম্পর্কে প্রায় প্রতিটি প্রশ্ন জিজ্ঞাসা করতে চাইলে ফুরিয়ার ট্রান্সফর্মের একটি পৃথক সংস্করণ ব্যবহার করে রেকর্ডিংকে রূপান্তর করে আরও সহজ করা হয়।

অনুশীলনে, প্রতিটি আধুনিক ডিজিটাল অডিও ডিভাইস ফুরিয়ার ট্রান্সফর্মের মতো অনুরূপ ফাংশনগুলিতে খুব বেশি নির্ভর করে।

আবার, অত্যন্ত অনানুষ্ঠানিক বর্ণনাটি ক্ষমা করুন; এটি কেবল আমার ব্যক্তিগত অন্তর্নিহিততা কেন ফুরিয়ার রূপান্তরটি গুরুত্বপূর্ণ।

— johnwbyrd
সূত্র

আরে জন, আমার একটা বোকা প্রশ্ন আছে। আমি কোনও কর্মক্ষেত্রে রেকর্ড করা শব্দ থেকে টিডব্লিউএ ( osha.gov/pls/oshaweb/… ) গণনা করতে চাই , আমি অবাক হয়েছি যদি আমি আমার অডিও ফাইল বিশ্লেষণে ফুরিয়ার ট্রান্সফর্মেশন নিয়োগ করি তবে আমি এই মানটি আরও নিখুঁতভাবে পরিমাপ করতে পারতাম।

— হোসেইন সরসর

মাইক্রোফোন এবং রেকর্ডিংয়ের পরিবেশটি ক্যালিব্রেট না করা না, না।

— জনউবিবার্ড

6

অন্যান্য ব্যক্তিরা দুর্দান্ত, কার্যকর উত্তর দিয়েছেন। কিছু সংকেত সম্পর্কে কেবল চিন্তা করুন: আপনি কেবলমাত্র এটির (এবং তাদের ধাপ) এর ফ্রিকোয়েন্সিগুলি কী তা টাইম ডোমেন সম্পর্কে নয় care আমি জানি না যে এটি একটি চূড়ান্ত বা সম্পূর্ণ উত্তর, তবে ফুরিয়ার রূপান্তরটি দরকারী কারণের অন্য একটি কারণ।

আপনার যখন কিছু সংকেত থাকে, তখন এটি আপনার নমুনা হারের উপর নির্ভর করে এটি একটি অসীম (বা কাছাকাছি) ফ্রিকোয়েন্সি নিয়ে গঠিত হতে পারে। তবে, এটি কেস নয়: আমরা জানি যে বেশিরভাগ সংকেতগুলিতে খুব কম সংখ্যক ফ্রিকোয়েন্সি রয়েছে, বা আমরা উচ্চ পর্যায়ে উচ্চমাত্রায় নমুনা দিচ্ছি।

যদি আমরা এটি জানি, তবে কেন আমরা এটি ব্যবহার করতে পারি না? সংকুচিত সংবেদনের ক্ষেত্র এটিই করে। তারা জানে যে সম্ভবত সম্ভাব্য সংকেত এমন একটি যাতে সবচেয়ে কম ত্রুটি রয়েছে এবং এর মধ্যে খুব কম ফ্রিকোয়েন্সি রয়েছে। সুতরাং, তারা আমাদের পরিমাপের সাথে সাথে ফুওরির রূপান্তরটির প্রস্থের সাথে সম্পর্কিত সামগ্রিক ত্রুটিটি হ্রাস করে।

কয়েকটি ফ্রিকোয়েন্সি সংকেতটিতে প্রায়শই একটি সর্বনিম্ন ফুরিয়ার ট্রান্সফর্ম হয়, বা বেশিরভাগ শূন্য (ওরফে "স্পারস," যেমন তারা সংকুচিত সংবেদনে বলে)। একটি ফ্রিকোয়েন্সি সিগন্যালের রূপান্তর হিসাবে কেবল একটি ডেল্টা ফাংশন রয়েছে, উদাহরণস্বরূপ।

আমরা আনুষ্ঠানিক গাণিতিক সংজ্ঞাটিও ব্যবহার করতে পারি।

$\bar{x} = \textrm{arg min } ||y-Ax|| + \lambda||F(x)||$

$||\cdot||$ $||\cdot||$

$\bar{x}$
$y$
$A$
$x$
$\lambda$
$F(x)$

আপনি মনে করতে পারেন যে নাইকুইস্ট বলেছেন যে একটি ভাল প্রতিনিধিত্ব পেতে আপনাকে সর্বোচ্চ দ্বিগুণ দ্বিগুণ করতে হবে। ঠিক আছে, ধরেই নেওয়া হয়েছিল যে আপনার সিগন্যালে আপনার অসীম ফ্রিকোয়েন্সি রয়েছে। আমরা অতীত পেতে পারেন!

কমপ্রেসড সেন্সিংয়ের ক্ষেত্রটি কোনও ডোমেইনে বেশিরভাগ শূন্য (বা স্পার্স) এমন কোনও সংকেত পুনর্গঠন করতে পারে। ঠিক আছে, ফুরিয়ার ট্রান্সফর্মের ক্ষেত্রে এটিই।

— স্কট
সূত্র

5

ফুরিয়ার রূপান্তরের প্রধান গুরুত্ব সিস্টেম বিশ্লেষণের সাথে অন্তর্ভুক্ত। আমাদের মহাবিশ্বের মূল উপাদানটি শূন্যস্থান, এবং শূন্যস্থান হল ক্ষেত্রগুলির একটি মৌলিক রৈখিক এবং সময়-আক্রমণকারী বাহক: বিভিন্ন ক্ষেত্রগুলি তাদের নিজ নিজ ভেক্টর যুক্ত করে সুপারিম্পোজ করে এবং আপনি নির্দিষ্ট ক্ষেত্রের প্রয়োগের পুনরাবৃত্তি যখনই করেন না কেন, ফলাফলটি একই হবে ।

ফলস্বরূপ, শারীরিক পদার্থের সাথে জড়িত প্রচুর সিস্টেমগুলি লিনিয়ার, সময়-আক্রমণকারী সিস্টেম হিসাবে আচরণ করা একটি ভাল আনুমানিকতা হয়।

এই জাতীয় এলটিআই সিস্টেমগুলি তাদের "আবেগ প্রতিক্রিয়া" দ্বারা বর্ণনা করা যেতে পারে, এবং যে কোনও সময়-বিতরণ করা সংকেতের প্রতিক্রিয়াটিকে প্রেরণামূলক প্রতিক্রিয়ার সাথে সংকেতকে বিশুদ্ধ করে বর্ণনা করা হয়।

কনভ্যোলিউশনটি একটি পরিবর্তনশীল এবং সাহসী অপারেশন, তবে এটি বেশ গণনামূলক এবং ধারণাগতভাবে ব্যয়বহুল। যাইহোক, ফাংশনগুলির রূপান্তরটি ম্যাপযুক্ত ফুরিয়ার দ্বারা টুকরোজ গুণে রূপান্তর করে।

তার অর্থ লৈখিক সময় আক্রমণকারী সিস্টেমগুলির বৈশিষ্ট্য এবং তাদের সংমিশ্রণগুলি ফুরিয়ার রূপান্তরের পরে আরও ভালভাবে বর্ণিত এবং হেরফের হয়।

ফলস্বরূপ, "ফ্রিকোয়েন্সি প্রতিক্রিয়া" এর মতো জিনিসগুলি প্রচুর সিস্টেমের আচরণ বর্ণনা করার জন্য যথেষ্ট বৈশিষ্ট্যযুক্ত এবং সেগুলি বৈশিষ্ট্যযুক্ত করার জন্য দরকারী হয়ে ওঠে।

ফাস্ট ফুরিয়ার রূপান্তরগুলি "প্রায়, তবে পুরোপুরি পুরোপুরি ফুরিয়ার রূপান্তরিত নয়" শ্রেণিতে রয়েছে কারণ তাদের ফলাফলটি তত্ত্বের দৃ firm়ভাবে উত্থিত হলেও ফুরিয়ার রূপান্তর হিসাবে সত্যই সংবেদনশীলভাবে ব্যাখ্যাযোগ্য নয়। রূপান্তর ব্যবধানের পর্যায়ক্রমিক সময়ের সাথে একটি নমুনাযুক্ত সংকেত সম্পর্কে কথা বললেই তারা ফুরিয়ারকে পুরোপুরি রূপান্তরিত করে। বিশেষত "সাময়িকী" মাপদণ্ড প্রায় সর্বদা পূরণ হয় না।

ওভারল্যাপিং উইন্ডোটিং ফাংশন ব্যবহারের মতো এর চারপাশে কাজ করার জন্য বেশ কয়েকটি কৌশল রয়েছে।

তবে এফএফটি সঠিকভাবে কাজ করার সময় আলাদা-সময় সমঝোতা করার জন্য নিযুক্ত করা যেতে পারে এবং এটি একটি দক্ষ অ্যালগরিদম, এটি এটি অনেক কিছুর জন্য দরকারী করে তোলে।

যেহেতু বিপুল সংখ্যায় বা বহুবচনগুলি গুণিত করার সময় দ্রুত সংশোধন করার জন্য সংখ্যার তাত্ত্বিক রূপান্তরগুলি (যা জটিল "রিয়েলস" এর পরিবর্তে পৃথক সংখ্যার ক্ষেত্রে কাজ করে) জন্য কেউ বেসিক এফএফটি অ্যালগরিদমকে নিয়োগ করতে পারে। এই ক্ষেত্রে, "ফ্রিকোয়েন্সি ডোমেন" মূলত যে কোনও ইনপুটটির জন্য সাদা গোলমাল থেকে পৃথক হয় এবং আপনার আবার বিপরীত রূপান্তর করার আগে এর কোনও কার্যকর ব্যাখ্যা নেই।

— ডেভিড
সূত্র

2

ফুরিয়ার ট্রান্সফর্মের পদার্থবিজ্ঞানের প্রাসঙ্গিকতা হ'ল এটি সিগন্যালে উপস্থিত ফ্রিকোয়েন্সিগুলির আপেক্ষিক প্রশস্ততা বলে। এটি উভয় পৃথক সময় এবং অবিচ্ছিন্ন সময় সংকেত জন্য সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে। যে কোনও সংকেতকে অনেক সুরেলা ফ্রিকোয়েন্সিগুলির মিশ্রণ হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে। ফুরিয়ার ফিল্টার অ্যাপ্লিকেশনগুলিতে সহায়তা রূপান্তরিত করে, যেখানে আমাদের কেবলমাত্র কয়েকটি নির্দিষ্ট ফ্রিকোয়েন্সি প্রয়োজন এবং তারপরে প্রথমে আমাদের জানতে হবে সংকেতটিতে ফ্রিকোয়েন্সিগুলির প্রশস্ততাগুলি কী।

— vatsyayan
সূত্র