এটি বেশ বিস্তৃত প্রশ্ন এবং সিগন্যাল প্রক্রিয়াজাতকরণে ফুরিয়ার রূপান্তরগুলি কেন গুরুত্বপূর্ণ তা নির্ধারণ করা সত্যিই শক্ত । সবচেয়ে সহজ, হাত দোলানো উত্তরটি যেটি দিতে পারে তা হ'ল এটি একটি অত্যন্ত শক্তিশালী গাণিতিক সরঞ্জাম যা আপনাকে নিজের সিগন্যালগুলিকে একটি অন্য ডোমেনে দেখতে দেয়, যার মধ্যে বেশ কয়েকটি কঠিন সমস্যা বিশ্লেষণ করা খুব সহজ হয়ে যায়।
ইঞ্জিনিয়ারিং এবং শারীরিক বিজ্ঞানের প্রায় প্রতিটি ক্ষেত্রেই এর সর্বব্যাপীতা, কারণ বিভিন্ন কারণে, কোনও কারণ সঙ্কুচিত করা আরও বেশি শক্ত করে তোলে। আমি আশাবাদী যে এর কয়েকটি বৈশিষ্ট্য যা এর ব্যবহারিক প্রয়োগ এবং ইতিহাসের একটি ড্যাশ সহ এটির ব্যাপক গ্রহণযোগ্যতা দেখা দিয়েছে সেটিকে তার গুরুত্ব বুঝতে সাহায্য করতে পারে।
ইতিহাস:
ফুরিয়ার রূপান্তরটির গুরুত্ব বোঝার জন্য, কিছুটা পিছিয়ে যেতে এবং জোসেফ ফুরিয়ারের দেওয়া ফুরিয়ার সিরিজের শক্তির প্রশংসা করা গুরুত্বপূর্ণ। বাদাম-শেলের মধ্যে, ডোমেনে সংক্ষিপ্ত যে কোনও পর্যায়ক্রমিক ফাংশন হিসাবে সাইন এবং কোজিনের অসীম যোগফল হিসাবে রচনা করা যেতে পারেD = [ - π , π ]ছ( এক্স )ডি =[-π, π]
τ k = 1
ছ( এক্স ) = Σকে = - ∞∞τটইȷ কে x
τk=12π∫Dg(x)e−ȷkx dx
যেখানে । এই ধারণাটি যে কোনও ক্রিয়াকলাপটিকে তার উপাদানগুলির ফ্রিকোয়েন্সিগুলিতে বিভক্ত করা যেতে পারে (অর্থাত্, সমস্ত ফ্রিকোয়েন্সিগুলির সাইনস এবং কোসিনগুলিতে পরিণত করা) এটি একটি শক্তিশালী এবং ফুরিয়ার রূপান্তরটির মেরুদন্ড গঠন করে।eıθ=cos(θ)+ȷsin(θ)
ফুরিয়ার রূপান্তর:
ফুরিয়ার রূপান্তরটি উপরোক্ত ফুরিয়ার সিরিজের অ পর্যায়ক্রমিক ফাংশনে এক্সটেনশন হিসাবে দেখা যেতে পারে। সম্পূর্ণতা এবং স্পষ্টতার জন্য, আমি এখানে ফুরিয়ার রূপান্তর সংজ্ঞায়িত করব। যদি একটি অবিচ্ছিন্ন, সমন্বিত সংকেত হয় তবে এর ফুরিয়ার রূপান্তর, দ্বারা প্রদত্তx(t)X(f)
X(f)=∫Rx(t)e−ȷ2πft dt,∀f∈R
এবং বিপরীত রূপান্তর দ্বারা দেওয়া হয়
x(t)=∫RX(f)eȷ2πft df,∀t∈R
সংকেত প্রক্রিয়াকরণে গুরুত্ব:
প্রথম এবং সর্বাগ্রে, একটি সিগন্যালের ফুরিয়ার ট্রান্সফর্ম আপনাকে জানায় যে আপনার সিগন্যালে কোন ফ্রিকোয়েন্সি উপস্থিত রয়েছে এবং কোন অনুপাতে রয়েছে ।
উদাহরণ: আপনি কি কখনও খেয়াল করেছেন যে কোনও কল করার সময় আপনি যখন চাপছেন তখন আপনার ফোনের প্রতিটি নম্বরের বোতামটি আলাদা শোনাচ্ছে এবং প্রতিটি ফোনের মডেলের ক্ষেত্রে এটি একই শোনাচ্ছে? এর কারণ তারা প্রত্যেকে দুটি আলাদা সাইনোসয়েড সমন্বয়ে গঠিত যা বোতামটি অনন্যরূপে সনাক্ত করতে ব্যবহার করা যেতে পারে। আপনি যখন কোনও মেনু নেভিগেট করার জন্য সংমিশ্রণগুলিতে খোঁচা দেওয়ার জন্য আপনার ফোনটি ব্যবহার করেন, তখন অন্য পক্ষটি কী কী চাপায় তা জানার উপায়টি ইনপুটটির ফুরিয়ার রূপান্তর করে এবং উপস্থিত ফ্রিকোয়েন্সিগুলি দেখে।
গণিতকে সাধারণভাবে জড়িত করে তোলে এমন কিছু খুব দরকারী প্রাথমিক বৈশিষ্ট্য ছাড়াও সিগন্যাল প্রক্রিয়াকরণে এর এত ব্যাপক গুরুত্ব থাকার কারণগুলির কয়েকটি অন্যান্য কারণ হ'ল:
- ফুরিয়ার রূপান্তরকরণের বর্গক্ষেত্র, তাত্ক্ষণিকভাবে আমাদের জানায় যে নির্দিষ্ট ফ্রিকোয়েন্সি তে সিগন্যাল কত শক্তি রয়েছে ।|X(f)|2x(t)f
- পার্সেভালের উপপাদ্য (আরও সাধারণভাবে প্ল্যানচেয়ারেলের উপপাদ্য) থেকে, আমাদের কাছে
যার অর্থ যে সমস্ত সময় জুড়ে একটি সিগন্যালে মোট শক্তি সমস্ত ফ্রিকোয়েন্সি জুড়ে রূপান্তরিত মোট শক্তির সমান । সুতরাং, রূপান্তর শক্তি সংরক্ষণ করা হয়।
∫R|x(t)|2 dt=∫R|X(f)|2 df
সময় ডোমেনে কনভোলিউশনগুলি ফ্রিকোয়েন্সি ডোমেনে গুণনের সমতুল্য, যেমন দুটি সিগন্যাল এবং , তবে যদিx(t)y(t)
z(t)=x(t)⋆y(t)
যেখানে সংশ্লেষকে বোঝায়, তারপরে ফুরিয়ার রূপান্তর কেবল⋆z(t)
Z(f)=X(f)⋅Y(f)
বিচ্ছিন্ন সংকেতগুলির জন্য, প্রায়শই দক্ষ এফএফটি অ্যালগরিদমগুলির বিকাশের সাথে, সময় ডোমেনের তুলনায় ফ্রিকোয়েন্সি ডোমেনে একটি কনভোলশন অপারেশন বাস্তবায়ন করা দ্রুত।
- কনভোলশন অপারেশনের অনুরূপ, ক্রস-সম্পর্কিতগুলিও ফ্রিকোয়েন্সি ডোমেনে হিসাবে সহজেই প্রয়োগ করা হয় , যেখানে জটিল সংযোগকে বোঝায়।Z(f)=X(f)∗Y(f)∗
সিগন্যালগুলি তাদের উপাদান ফ্রিকোয়েন্সিগুলিতে বিভক্ত করতে সক্ষম হয়ে, কেউ সহজেই তাদের অবদানগুলি বাতিল করে নির্দিষ্ট কিছু ফ্রিকোয়েন্সিগুলি বাছাই করতে পারে।
উদাহরণ: আপনি যদি কোনও ফুটবল (ফুটবল) অনুরাগী হন তবে আপনি সম্ভবত ভুভেলাসের অবিচ্ছিন্ন ড্রোনটিতে বিরক্ত হয়েছিলেন যে দক্ষিণ আফ্রিকার ২০১০ বিশ্বকাপের সময় সমস্ত মন্তব্য ডুবে গেছে। যাইহোক, ভুভুলেলার একটি ধ্রুবক p 235Hz পিচ রয়েছে যা ব্রডকাস্টারদের পক্ষে আপত্তিজনক আওয়াজকে কাটা বন্ধ করার জন্য একটি খাঁজ ফিল্টার প্রয়োগ করা সহজ করে তোলে। [1]
সময়ের ডোমেনে একটি স্থানান্তরিত (বিলম্বিত) সংকেত ফ্রিকোয়েন্সি ডোমেনের একটি পর্যায় পরিবর্তন হিসাবে উদ্ভাসিত হয়। এটি প্রাথমিক সম্পত্তি বিভাগের অধীনে থাকা অবস্থায়, এটি অনুশীলনে বিশেষত চিত্র এবং টমোগ্রাফি অ্যাপ্লিকেশনগুলিতে একটি বহুল ব্যবহৃত সম্পত্তি,
উদাহরণ: যখন একটি তরঙ্গ ভিন্নজাতীয় মাধ্যমের মধ্য দিয়ে ভ্রমণ করে, তখন মাধ্যমটিতে তরঙ্গ প্রচারের গতির পরিবর্তন অনুযায়ী এটি ধীর হয়ে যায় এবং গতি বাড়ায়। সুতরাং কী প্রত্যাশা করা হয়েছে এবং কী কী পরিমাপ করা হয়েছে তা থেকে পর্যায়টির পরিবর্তন পর্যালোচনা করে, কেউ অতিরিক্ত সময়ের বিলম্ব অনুমান করতে পারে যা ঘুরেফিরে আপনাকে বলে যে তরঙ্গের গতি মাঝখানে কতটা পরিবর্তিত হয়েছে। এটি অবশ্যই একটি খুব সরল সাধারণ ব্যক্তির ব্যাখ্যা, তবে টমোগ্রাফির ভিত্তি তৈরি করে।
সিগন্যালের ডেরাইভেটিভস ( এনও ডেরিভেটিভসও ) ফুরিয়ার ট্রান্সফর্ম ব্যবহার করে সহজেই গণনা করা যায় (106 দেখুন)।
ডিজিটাল সিগন্যাল প্রসেসিং (ডিএসপি) বনাম অ্যানালগ সিগন্যাল প্রসেসিং (এএসপি)
ফুরিয়ার রূপান্তর তত্ত্বটি প্রযোজ্য যতক্ষণ না এটি "সুন্দর" এবং একেবারে একীকরণযোগ্য ততক্ষণ সংকেত অবিচ্ছিন্ন বা বিযুক্ত। সুতরাং হ্যাঁ, এএসপি ততক্ষণ ফুরিয়ার রূপান্তর ব্যবহার করে যতক্ষণ সংকেতগুলি এই মানদণ্ডটি মেটায়। তবে এএসপিতে ল্যাপ্লেস ট্রান্সফর্ম, যা সাধারণীকরণ করা ফুরিয়ার রূপান্তর, সে সম্পর্কে কথা বলা সম্ভবত আরও সাধারণ বিষয়। ল্যাপ্লেস রূপান্তর হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়
X(s)=∫∞0x(t)e−st dt,∀s∈C
সুবিধাটি হ'ল ফুরিয়ার ট্রান্সফর্মের মতো একটি অবশ্যই প্রয়োজনীয় "দুর্দান্ত সংকেত" হিসাবে সীমাবদ্ধ নয়, তবে রূপান্তরটি কেবলমাত্র একটি নির্দিষ্ট অঞ্চলের অভ্যন্তরেই বৈধ। এটি এলসি / আরসি / এলসিআর সার্কিটগুলি অধ্যয়ন / বিশ্লেষণ / ডিজাইনিংয়ে ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয়, যা ঘুরেফিরে রেডিও / বৈদ্যুতিক গিটার, ওয়াহ-ওয়াহ প্যাডেল ইত্যাদিতে ব্যবহৃত হয়
এই মুহূর্তে আমি এখনই যা ভাবতে পেরেছিলাম এটি যথেষ্ট, তবে লক্ষ করুন যে কোনও পরিমাণ লেখাই / ব্যাখ্যা পুরোপুরি সিগন্যাল প্রক্রিয়াকরণে এবং বিজ্ঞান / প্রকৌশলতে ফুরিয়ার রূপান্তরগুলির সত্যিকার গুরুত্বকে পুরোপুরি ক্যাপচার করতে পারে না