খুঁটি কীভাবে ফ্রিকোয়েন্সি প্রতিক্রিয়ার সাথে সম্পর্কিত

Question

আমি সম্প্রতি আছে ভ্রান্ত ধারণা মধ্যে নিপতিত , মেরু গুলি = 1 সেখানে ফ্রিকোয়েন্সি 1. এ অসীম প্রতিক্রিয়া এখনো বিবেচনা করা, প্রতিক্রিয়া শুধুমাত্র 1. এখন ছিল, আপনি ফ্রিকোয়েন্সি প্রতিক্রিয়া আহরণ করতে পারেন খুঁটি দেওয়া?

দ্বিতীয়ত, তত্ত্বটি বলে যে একটি সিস্টেম স্থিতিশীল থাকে যখন খুঁটিগুলি বাম-এর-প্লেনে থাকে এবং এইভাবে সময়ে ক্ষয় হয়। কিন্তু অপেক্ষা করো. "মেরু" এর অর্থ কি অসীম প্রতিক্রিয়া - সময়ের বৃদ্ধি?

অবশেষে, এটি কি ডিএসপিতে সঠিক প্রশ্ন? আইএমও, ডি মানে ডিজিটাল যেখানে এস-ডোমেন অ্যানালগ। আমার পোস্ট লেবেল করতে আমি এস-প্লেন বা ল্যাপ্লেস রূপান্তর ট্যাগগুলি পাই না।

আপডেট উত্তরের জন্য ধন্যবাদ। দেখে মনে হচ্ছে যে এটি একটি ছোটখাটো তবে মৌলিক জিনিসটি ছাড়া পেয়েছি - ফ্রিকোয়েন্সি সহ মেরুগুলির (এবং শূন্যের) সম্পর্ক। মূলত, কেন eigenvalues (অথবা, আপনি কিভাবে কল হয় অপারেটর / পরিবর্তনশীল) ফ্রিকোয়েন্সি সঙ্গে সম্পর্কিত? এটি ঘৃণ্য বৃদ্ধি এবং ল্যাপ্লেস ট্রান্সফর্মের সাথে কোনওভাবে সম্পর্কিত হওয়া উচিত। আমি বেশ বুঝতে পেরেছি যে মেরুগুলি ইগেনভ্যালু হয় (বিশেষত পৃথক পুনরাবৃত্তির জন্য)। তবে, ফ্রিকোয়েন্সিটির সাথে এটি কীভাবে সম্পর্কিত?$s$

Comments

এটি "সিগন্যাল প্রসেসিং স্ট্যাক এক্সচেঞ্জ", "ডিএসপি স্ট্যাক এক্সচেঞ্জ" নয়। :)

— এন্ডোলিথ

হ্যাঁ, এন্ডোইথ হিসাবে উল্লিখিত হিসাবে, এনালগ সিগন্যাল প্রসেসিংয়ের বিষয় রয়েছে। প্রাথমিক প্রবর্তনের জন্য ডিএসপি.এসই একটি উত্তম নাম ছিল, তবে সিগন্যালস.স্ট্যাকেক্সচেঞ্জ.কম এখন এখানে লিঙ্ক করেছে।

— ডেটাজিস্ট

আপনি যখন মেরু এবং ফ্রিকোয়েন্সিগুলির মধ্যে সম্পর্কের জন্য জিজ্ঞাসা করেন তখন ঠিক কী বোঝায়?

— সুদারসন

স্পষ্টতই, খুঁটিগুলি কীভাবে এবং কেন ফ্রিকোয়েন্সি প্রতিক্রিয়া নির্ধারণ করে।

— Val,

উত্তর ইতিমধ্যে দেওয়া হয়েছে আমার অনুমান। ফ্রিকোয়েন্সি প্রতিক্রিয়া হ'ল আপনি $j\omega$ অক্ষের সাথে সরানোর সাথে সাথে সিস্টেমের প্রতিক্রিয়ার চৌম্বকতা । তবে আপনি সিস্টেম স্থানান্তর ফাংশন উপাদান থাকেন তাহলে $H(s)$ পণ্য মধ্যে $1/(s-p_{i})$ এবং $(s-z_{i})$ , সমস্ত আপনাকে যা করতে হবে এ মাত্রার খুঁজে পেতে $s=j\omega$ স্থানান্তরের জন্য ফাংশন এবং এটি স্পষ্টতই মেরু এবং জিরোসের অবস্থান দ্বারা নির্ধারিত হয় যেহেতু এগুলিই ফ্যাক্টার্ড সিস্টেমের প্রতিক্রিয়াতে প্রদর্শিত হবে।

— সুদারসান

Answer 1

আমি মনে করি আপনার প্রশ্নে আসলে 3 টি প্রশ্ন রয়েছে:

প্রশ্ন 1: আমি কোনও (লিনিয়ার সময়-আক্রমণকারী) সিস্টেমের খুঁটি দিয়ে ফ্রিকোয়েন্সি প্রতিক্রিয়া পেতে পারি?

হ্যাঁ, আপনি একটি ধ্রুবক পর্যন্ত করতে পারেন। যদি $s_{\infty,i}$ , $i=1,\ldots,N,$ হস্তান্তর ফাংশনের খুঁটি হয় তবে আপনি স্থানান্তর ফাংশনটি লিখতে পারেন

$$H(s)=\frac{k}{(s-s_{\infty,1})(s-s_{\infty,2})\ldots (s-s_{\infty,N})}\tag{1}$$

লক্ষ্য করুন $s$ একটি জটিল পরিবর্তনশীল $s=\sigma+j\omega$ , এবং ফ্রিকোয়েন্সি পরিবর্তনশীল $\omega$ জটিল কাল্পনিক অক্ষ সাথে সঙ্গতিপূর্ণ $s$ -plane। এখন আমাদের স্থানান্তর ফাংশন থেকে ফ্রিকোয়েন্সি প্রতিক্রিয়া পেতে হবে। স্থিতিশীল সিস্টেমের জন্য এই কেবল স্থানান্তর ফাংশন মূল্যায়নের দ্বারা করা সম্ভব $H(s)$ জন্য $s=j\omega$ । সুতরাং আপনি প্রতিস্থাপন $s$ দ্বারা $j\omega$ মধ্যে (1) এবং আপনি সম্পন্ন করেছেন। দ্রষ্টব্য, তবে, এটি কেবল স্থিতিশীল সিস্টেমের ক্ষেত্রেই সত্য (যেমন যদি এইচ ( গুলি) এর রূপান্তর অঞ্চল the$H(s)$$j\omega$ -axisঅন্তর্ভুক্ত)।

প্রশ্ন 2: একটি স্থিতিশীল সিস্টেমে খুঁটি থাকতে পারে কীভাবে?

আপনি ইতিমধ্যে জানেন যে কার্যকারিতা এবং স্থিতিশীল সিস্টেমগুলির জন্য, সমস্ত খুঁটি অবশ্যই জটিল $s$ -প্লেনের বাম অর্ধ-সমতলতে থাকা উচিত । প্রকৃতপক্ষে, স্থানান্তর ফাংশন $H(s)$ মান একটি মেরু $s=s_{\infty}$ at এ অনন্ততায় যাবে , তবে ফ্রিকোয়েন্সি প্রতিক্রিয়াটি ঠিক হবে, কারণ যদি সমস্ত মেরু বাম অর্ধ-সমতলে থাকে, তবে কোনও মেরু নেই $j\omega$ -axis (অথবা এর ডানদিকে)। আপনি যদি এটি সময়-ডোমেনে দেখে থাকেন তবে প্রতিটি (সাধারণ) মেরুর সিস্টেমের আবেগের প্রতিক্রিয়াতে $e^{s_{\infty}t}$ অবদান রয়েছে । যদি মেরুটি বাম অর্ধ-সমতলে অবস্থিত থাকে তবে এর অর্থ হ'ল $s_{\infty}=\sigma_{\infty}+j\omega_{\infty}$ একটি নেতিবাচক বাস্তব অংশ রয়েছে$\sigma_{\infty}<0$ । সুতরাং

$$e^{s_{\infty}t}=e^{\sigma_{\infty}}e^{j\omega_{\infty}}$$

এটি তাত্পর্যপূর্ণভাবে স্যাঁতসেঁতে ফাংশন এবং এটি বৃদ্ধি পায় না তবে ক্ষয়ে যায়, কারণ $\sigma_{\infty}<0$ ।

প্রশ্ন 3: এই প্রশ্নটি এখানে?

অন্যান্য সম্প্রদায়ের সদস্যদের এই প্রশ্নটি এখানে রয়েছে কিনা তা বিচার করতে হবে। আমি মনে করি এটি করে। এটি সরাসরি খাঁটি ডিএসপির সাথে সরাসরি সম্পর্কিত নয়, তবে ডিএসপি ইঞ্জিনিয়ারদের প্রায়শই এডি রূপান্তর হওয়ার আগে এনালগ সংকেত এবং সিস্টেমগুলির সাথেও ডিল করতে হয়, তাই তারা অবিচ্ছিন্ন সিস্টেম তত্ত্ব সম্পর্কেও জানেন। দ্বিতীয়ত, প্রায় সমস্ত ডিএসপি লোকেরা (কমপক্ষে traditionalতিহ্যবাহী প্রশিক্ষণ প্রাপ্ত ব্যক্তিরা) সাধারণ সংকেত এবং সিস্টেম তত্ত্বের সাথে কিছুটা এক্সপোজার পেয়েছিলেন, যার মধ্যে অবিচ্ছিন্ন সময় এবং বিচ্ছিন্ন সময় ব্যবস্থা রয়েছে।

যাইহোক, বিচ্ছিন্ন-সময় সিস্টেমগুলির জন্য আপনি ল্যাপ্লেস-ট্রান্সফর্মের পরিবর্তে $\mathcal{Z}$ -ট্রান্সফর্ম পাবেন এবং আপনার জটিল পরিবর্তনশীলটিকে এখন s এর পরিবর্তে $z$ বলা হয় । যে ভেরিয়েবল ডি আপনি উল্লেখ করেছেন সেটি ডি = জেড - 1 হিসাবে সংজ্ঞায়িত হয়েছে এবং মূলত কোডিং সাহিত্যে ব্যবহৃত হয়। এর সংজ্ঞা অনুসারে, এটি একটি বিলম্ব উপাদানকে বোঝায়, তাই ডি দাঁড়ায় "বিলম্ব" ("ডিজিটাল" নয়)।$s$$D$$D=z^{-1}$$D$

আপনি কি জানেন যে বাম জটিল অর্ধ সমতল তাহলে $s$ জটিল একক বৃত্তের ভিতরে অঞ্চলে -plane মানচিত্রগুলি $z$ -plane (অর্থাত $|z|<1$ ), এবং $j\omega$ ইউনিট চেনাশোনাতে মানচিত্রগুলি -axis $|z|=1$ , তারপরে আপনি দুটি ডোমেনের মধ্যে একটি সম্পর্কে যা জানবেন তার প্রায় সমস্ত কিছুই অন্য ডোমেনে সহজেই নিয়ে যাবে।

Comments

আমি মনে করি যে ফ্রিকোয়েন্সি প্রতিক্রিয়াতে s = jω এর জন্য এইচ (গুলি) -এর সাথে অতিরিক্ত সংযুক্তি জড়িত ω

— Val,

Answer 2

একটি জিনিস যা আমাকে মেরু এবং শূন্যগুলি বুঝতে সত্যই সহায়তা করেছিল তা হ'ল এটিকে প্রশস্ততা উপরিভাগ হিসাবে কল্পনা করা। এর মধ্যে বেশ কয়েকটি প্লট এ ফিল্টার প্রাইমারে পাওয়া যাবে । কিছু নোট:

• প্রথমে এনালগ এস প্লেনটি শিখতে আরও সহজ হবে এবং আপনি এটি বুঝতে পারার পরে ডিজিটাল জেড প্লেন কীভাবে কাজ করে তা শিখুন।
• একটি শূন্য একটি বিন্দু যেখানে ট্রান্সফার ফাংশনের লাভ শূন্য হয়।
• একটি মেরু এমন একটি বিন্দু যেখানে ট্রান্সফার ফাংশনের লাভ অসীম।
• অনন্ত সময়ে প্রায়শই শূন্য বা খুঁটি থাকে, যা সবসময় স্থানান্তর ফাংশনের বর্ণনায় অন্তর্ভুক্ত থাকে না তবে এটি বুঝতে প্রয়োজনীয়।
• এস বিমানে ফ্রিকোয়েন্সি প্রতিক্রিয়া কেবল jω অক্ষের সাথে ঘটে।
  • উত্স 0 হার্জেড, বা ডিসি এবং ফিল্টারগুলির কাট অফের ফ্রিকোয়েন্সি উত্স থেকে রেডিয়ালি বাড়িয়ে দেয়। উত্স থেকে নির্দিষ্ট দূরত্বে একটি বৃত্ত বরাবর যে কোনও বিন্দুতে একটি মেরু স্থাপন একই কাটফফ ফ্রিকোয়েন্সি উত্পাদন করবে।
  • কোনও ফিল্টারের কাট অফের ফ্রিকোয়েন্সি বাড়ানোর জন্য, খুঁটিগুলি রেডিয়ালি বাইরের দিকে সরান।
  • বিকাড ফিল্টারটির কিউ বাড়ানোর জন্য, মেরুগুলি বৃত্ত বরাবর Jω অক্ষের দিকে নিয়ে যান, যা কাটফফ ফ্রিকোয়েন্সিটিকে স্থির রাখে, তবে মেরুটির ফ্রিকোয়েন্সি প্রতিক্রিয়ার উপর যে প্রভাব রয়েছে তা বাড়িয়ে তোলে, এটি আরও "পিকি" করে তোলে।
  • 
• Jω অক্ষে যদি একটি শূন্য উপস্থিত হয়, তবে ফ্রিকোয়েন্সি প্রতিক্রিয়া সেই ফ্রিকোয়েনিতে শূন্যে নেমে যাবে; যদি আপনি সেই ফ্রিকোয়েন্সিতে সাইন ওয়েভ ইনপুট করেন তবে আউটপুট 0 হবে।
• Jω অক্ষে যদি একটি মেরু উপস্থিত হয়, তবে আবেগ প্রতিক্রিয়া একটি দোলক; যে কোনও অনুপ্রেরণা চূড়ান্তভাবে সেই ফ্রিকোয়েন্সিতে চিরতরে বাজে। আবেগগুলির সসীম শক্তি রয়েছে তবে ফিল্টারটির প্রতিক্রিয়াতে অসীম শক্তি রয়েছে, তাই এটি অসীম লাভ করেছে।

একটি সাধারণ উদাহরণ হ'ল একটি সংহত এইচ (গুলি) = 1 / গুলি:

• এই ফাংশনটি 0 এর সমান হয় যখন এস অসীম হয়, সুতরাং এটি অনন্তের শূন্য থাকে।
• এই ফাংশনটি অসীমের সমান হয় যখন গুলি শূন্য হয়, সুতরাং এর শূন্যে একটি মেরু থাকে।

অন্য কথায়, এটি ডিসি-তে অসীম লাভ অর্জন করে (একটি সংস্থার পদক্ষেপের প্রতিক্রিয়া চিরদিনের জন্য বৃদ্ধি পাচ্ছে), এবং ফ্রিকোয়েন্সি বাড়ার সাথে সাথে লাভ হ্রাস পায়:

উত্স থেকে পোলটিকে এস প্লেনের বাম হাতের মধ্যে কাল্পনিক অক্ষ সহ সরানো, আবার ডাব্লু ডাব্লু অক্ষের সীমাতে 0 হার্জেড লাভ করে এবং এখন আপনার কাছে লো-পাস ফিল্টার রয়েছে:

Comments

+1, সুন্দর উত্তর। তবে আপনি কী বলতে চাইছেন তা বুঝতে পারছি না "উত্স থেকে নির্দিষ্ট দূরত্বে একটি বৃত্ত বরাবর যে কোনও পয়েন্টের একই ফ্রিকোয়েন্সি রয়েছে।" প্লেনের ধ্রুবক ফ্রিকোয়েন্সি এর বক্ররেখাগুলি আসল অক্ষের সমান্তরাল লাইন are এ উৎপত্তি সঙ্গে চেনাশোনা জন্য গুলি = 0 আপনি পেতে σ 2 + + ω 2 = গ ণ এন গুলি টন , যেখানে গুলি = σ + + ঞ ω । $s$$s=0$$\sigma^2+\omega^2=const$$s=\sigma+j\omega$

— ম্যাট এল

তিনি এস-প্লেনটিকে জেড-প্লেনের সাথে বিভ্রান্ত বলে মনে করছেন

— ভ্যাল

@ ম্যাটল: হুমম্ম। আমি কোনও এনথ-অর্ডার বাটারওয়ার্থ ফিল্টারের খুঁটিগুলি উত্স থেকে সমতুল্য একটি বৃত্তের সাথে থাকা উদাহরণস্বরূপ, বা বিকাশের খুঁটিগুলি উত্স থেকে সমতুল্য একটি বৃত্ত বরাবর চলমান হিসাবে আপনি যখন ফিল্টারটির কিউ সামঞ্জস্য করেন ফ্রিকোয়েন্সি ধ্রুবক, বা একটি রেডিয়াল দিক থেকে খুঁটিগুলি উত্সের কাছাকাছি কাছাকাছি বা দূরে সরানো বা ফিল্টারের কাট অফকে পরিবর্তন করে, বা ইউনিট বৃত্তটি সম্পর্কে খুঁটিগুলি উল্টিয়ে লোপপাসকে হাইপাসে রূপান্তর করে। আমি কীভাবে এটিকে উচ্চারণ করব?

— এন্ডোলিথ

@Val: Cutoff ফ্রিকোয়েন্সি। পোস্টটি সংশোধন করার জন্য ইতিমধ্যে আমি সম্পাদনা করেছি।

— এন্ডোলিথ

ভাল, @endolith- এ কোনও দ্বিধাহীন মন্তব্য করার দরকার নেই।

— স্পেসি

Answer 3

আমি মেরু (1) / জিরো (0) থেকে ফ্রিকোয়েন্সি প্রতিক্রিয়াটির জন্য পুরো ম্যাপিংটি বলব না তবে আমি মনে করি আমি ফ্রিকোয়েন্সি এবং শূন্য / অসীম প্রতিক্রিয়ার মধ্যে সংযোগটি ব্যাখ্যা করতে পারি, কেন আপনার অসীম / শূন্য প্রতিক্রিয়া আছে? W = z- র শূন্য / মেরু , অর্থাত কি ই - ঞ W কি আছে z- র ।$e^{-jw}=z_\text{zero/pole},$$e^{-jw}$$z$

রৈখিক সিস্টেমের সাধারণ ফর্মটি হল যা করতে পারে be-z- তে Y ( z ) = ( b 0 + b 1 z + b ) হিসাবে সমাধান করা হবে

$$y_n+a_1y_{n-1}+a_2y_{n-2}+\cdots = b_0 x_n + b_1x_{n-1}+b_2x_{n-2}+\cdots,$$ $$Y(z) = {(b_0 + b_1 z + b_2 z^2+\cdots)\over(1+a_1z+a_2z^2+\cdots)}X(z) = H(z)X(z) = {(1-z_0z)(1-z_1z)\cdots \over(1-p_0z)(1-p_1z)\cdots}X(z).$$

শেষ পর্যন্ত, দ্বিপদী পণ্যগুলির সিরিজ সিস্টেমের একটি সিরিজ হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে, যেখানে প্রথম আউটপুট, অন্যটির জন্য ইনপুট।$(1-z_0 z)\cdots{1\over 1-p_0 z}$

আমি একক মেরু এবং শূন্যের প্রভাব বিশ্লেষণ করতে চাই। আসুন প্রথম শূন্যটি একত্রিত করুন, এটি স্থানান্তর ফাংশন বিবেচনা করে যাতে এর বাকি ইনপুট সিগন্যাল হয়, ওয়াই ( জেড ) = ( 1 - জেড 0 জেড ) Χ ( জেড ) , যা এর সাথে মিলে যায় কিছু y n = b 0 x n + b 1 x n - 1 । আসুন খ 0 নেওয়া যাক$H(z)X(z)$$Y(z)=(1-z_0z)Χ(z),$$y_n = b_0x_n + b_1x_{n-1}.$সরলতার জন্য = খ 1 = 1 । মানে হ'ল y n = x n + x n - 1 ।$b_0=b_1=1$$y_n = x_n + x_{n-1}$

$$x_n = e^{jwn}\overset{z}{\leftrightarrow} 1 + e^{jw}z + e^{2jw} z^2 + \cdots = 1/(1-e^{jw})= X(z).$$ $$y_n = x_n + x_{n-1}|_{x_n = e^{jwn}} = e^{jwn} + e^{jw(n-1)} = e^{jwn}(1+e^{-jw})$$ $1+e^{-jw}$$Y(z) = {(1+z)\over (1-e^{jw}z)} =(1+z)X(z)$

$1+z$$z$

$H(jw) = 1 + e^{-jw} = e^{-jw/2}(e^{jw/2}+e^{-jw/2}) =e^{-jw/2}2\cos(w/2)$

$$\begin{cases} w=0 & \Rightarrow &H(j0) = 1\cdot 2 \cos (0) = 2\\ w=\pi & \Rightarrow & H(j\pi) = e^{j\pi/2}2\cos(\pi/2) = 0 \end{cases}$$

$2 cos \alpha = e^{i\alpha} + e^{-i\alpha}$

$y_n=x_n -x_n|_{x_n=e^{jwn}} =e^{jwn}(1-e^{-jw})$$H(jw) = (1-e^{-jw}) = e^{-jw/2}(e^{jw/2}-e^{-jw/2})=e^{-jw}2\sin(w/2)$$w=0$$sin(0)=0$

$$H(jw)=1-e^{-jw} = 0 \Rightarrow e^{-jw} = 1 = e^0 \Rightarrow w = 0.$$

$H(z) = 1\pm z$$H(jw)=1\pm e^{-jw}$$e^{-jw}$

$y_n = x_n \pm x_{n-1}=0$$\pm$$1\pm z=0$$e^{jwn}$$e^{jw(n-1)}$$e^{jw}$$e^{jwn}(1 \pm e^{-jw}) =0$$1\pm e^{-jw}$$1\pm z=0$

$y_n = b_0 x_n + b_1 x_{n-1}$

$$Y(z) = (b_0 + b_1 z)X(z) = (b_0+ b_1z)(1+x_1z+x_2z^2+\cdots) = b_0 + (b_0 x_1 + b_1 x_0)z + (b_0 x_2 + b_1 x_1)z^2 + \cdots.$$ When $b_0+b_1 z = 0$, i.e. when $z=-b_0/b_1,$ whereas frequency response is, $$y_n(x_n = e^{jwn}) = b_0 e^{jwn} + b_1 e^{jw(n-1)} = e^{jwn}(b_0+b_1 e^{-jw})= e^{jwn}b_0(1-z_0 e^{-jw}),$$

which goes to zero when $1-z_0 e^{-jw} = 0$ or $e^{-jw} = 1/z_0$, which matches the computation for $z$ if $z=e^{-jw}$. The only thing that bothers me is that fixed-amplitude complex exponential is not enough for the frequency (harmonic) basis. You cannot obtain arbitrary ratio $1/z_0= e^{-jw}$ by choosing appropriate frequency $w$, a decaying harmonic signal is needed for that. That is weird because I have heard that any signal can be represented as sum of (constant amplitude) sines and cosines. But, anyway, we see that system zero stands for relationship between adjacent samples of input signal. When they are right, the output is identically 0 and we can choose such such frequency $w$ so that zero $z = 1/z_0 = e^{-jw}.$

Now, what about the poles? Let's single out a single pole $a$. The system has a from of $y_n = a y_{n-1} + (x_n + x_{n-1} + \cdots)$, under assumption $y_0 = 0$, has z-transform of $Y(z) = X(z)/(1-az)$.

The feedback $a$ is equivalent to infinite impulse response ${1,a,a^2,\ldots} \overset{z}{\leftrightarrow} 1 + az + a^2z^2 + \cdots = 1/(1-az)$. It says that response is infinite when $z=1/a$. What does it mean if we apply the test signal

$$x_n=e^{jwn}\overset{z}{\leftrightarrow} X(z) = 1+e^{jw}z+e^{2jw}z^2+\cdots = 1/(1-e^{jw}z)$$ to our system? We'll get $Y(z)={1\over 1-az}{1\over 1-e^{jw}z},$ or $$y_n = e^{jwn} + ae^{jw(n-1)} +a^2e^{jw(n-2)} +\cdots = e^{jwn}(1+ae^{-jw} + a^2e^{-2jw} + \cdots) ={e^{jwn}\over 1-ae^{-jw}}.$$ That is, frequency response is $1/(1-ae^{-jw}),$ which goes to infinity when $e^{-jw}=1/a,$ the same as $z_{pole}$ above, $e^{-jw}=z_{pole}=1/a$. But again, you can not always arrive at the pole $1/a$ adjusting the frequency $w$ alone. The frequency basis functions must be decaying amplitude in general and look like $(ke^{jw})^n$.

That is, zeroes or poles of the transfer function $H(z)$ happen to match the zeroes and poles of frequency response $H(jw)$, which is really amazing. I noticed that this is related to the relation between adjacent samples, $e^{jwn}/e^{jw(n-1)} = e^{jw} = 1/z_{zero}$ in case of zeroes. The fact that $e^{jwn}$ scales exponentially over time, along with the system with feedback $a$, also seems to be the key for matching between $e^{jw}$ and $z_{poles}$. It also seems important that you cannot simply look for the appropriate frequency of $e^{jwn}$, the basis function must also have adjustable amplitude factor $k^n$.

I would be happy if anybody could explain the same more condensely or more crisply.