আয়তক্ষেত্রাকার উইন্ডোটির সাহায্যে বৃহত্তর পদক্ষেপের সাথে পার্থক্য ব্যবহার করে একটি সংকেতটির স্মুথ ডেরাইভেটিভ গণনা করা হচ্ছে

Question

আমার a যেখানে আমি = 0..n-1 তে একটি সংকেত নমুনা পেয়েছি। আমি সিগন্যালের প্রথম ডেরিভেটিভ: f '(টি) খুঁজে পেতে চাই।$\Delta t: fi(ti=i\Delta t)$

আমার প্রথম চিন্তাটি কেন্দ্রীয় পার্থক্যের দ্বারা এটি অনুমান করা হয়েছিল:

$f'(t_i) =\frac{f(t_{i+1})−f(t_{i−1})}{2\Delta t}$

তবে সিগন্যালে প্রচুর উচ্চ ফ্রিকোয়েন্সি শব্দ হতে পারে যা চ 'তে দ্রুত ওঠানামার কারণ হতে পারে। আমার ধারণা যথাযথ জিনিসটি হ'ল উইন্ডো ফাংশন যেমন হ্যান এর সাথে সংশ্লেষ করে সিগন্যালটি মসৃণ করা এবং তারপরে পার্থক্যগুলি থেকে ডাইরিভেটিভ সন্ধান করা।

একজন সহকর্মী ডেরাইভেটিভের একটি ধীর গতিযুক্ত হিসাব সন্ধানের দ্রুততর উপায়ের পরামর্শ দিয়েছেন: 2n নমুনাগুলির চেয়ে একটি কেন্দ্রীয় পার্থক্য ব্যবহার করুন, যেখানে এন >> 1:

$f'(t_i) =\frac{f(t_{i+n})−f(t_{i−n})}{2n\Delta t}$

এটি অবশ্যই একটি উইন্ডো ফাংশন দিয়ে প্রথম সংশ্লেষের তুলনায় গণ্যতর দ্রুত হবে তবে এটি কি ভাল সমাধান?

যদি আমরা যোগফল গঠন করি:

$S=2\Delta t[f'(t_{i-n+1})+f'(t_{i-n+2})+..+f'(t_{i+n-1})]$

এবং পদক্ষেপ সহ কেন্দ্রীয় পার্থক্য দ্বারা প্রতিটি ডেরাইভেটিভ প্রসারিত করুন :$\Delta t$

$S=f(t_{i-n+2})-f(t_{i-n})+f(t_{i-n+3})-f(t_{i-n+2})+..+f(t_{i+n})-f(t_{i+n-2})$

দুটি পদ বাতিল ব্যতীত সমস্ত পদ:

$S=f(t_{i+n})-f(t_{i-n})=2n\Delta tf'(t_i)$

অতএব:

$f'(t_i)=\frac{1}{n}[f'(t_{i-n+1})+f'(t_{i-n+2})+..+f'(t_{i+n-1})]$

সুতরাং 2n নমুনার উপরে কেন্দ্রীয় পার্থক্য নেওয়া 2n - 2 আকারের একটি আয়তক্ষেত্রাকার উইন্ডো দ্বারা প্রথম কনভলভ করার সমতুল্য এবং তারপরে +/- 1 নমুনার মধ্যবর্তী কেন্দ্রীয় পার্থক্য নেওয়া।

একটি আয়তক্ষেত্রাকার উইন্ডো দিয়ে মসৃণ করা কতটা "খারাপ"?

আমরা যদি এফএফটি গ্রহণ করি তবে এটি "বাজছে" এর কারণ ঘটবে, তবে আমাদের এফএফটি নেওয়ার দরকার নেই।

কোনও উত্তরের জন্য অগ্রিম ধন্যবাদ!

Answer 1

এটি সাধারণভাবে পরিচালনা করা একটি কঠিন প্রশ্ন। একটি আয়তক্ষেত্রাকার উইন্ডো দিয়ে স্মুথিং সর্বদা ব্যবহৃত হয় (প্রায়শই "মুভিং এভারেজ" নামে পরিচিত), সুতরাং এটি অবশ্যই সমস্যা নয়। আপনি কী বলছেন তা আমি নিশ্চিত নই, সম্ভবত আয়তক্ষেত্রাকার উইন্ডোর ফ্রিকোয়েন্সি প্রতিক্রিয়াটির সিডেলোবগুলি।

পার্থক্য স্বভাবতই একটি হাইপাস অপারেশন; আদর্শ অবিচ্ছিন্ন সময় ডিফারেনেটর এর স্থানান্তর ফাংশন রয়েছে:

$$H(s) = s$$

যাতে এর প্রস্থের প্রতিক্রিয়া হ'ল:

$$|H(j\omega)| = \omega$$

ডিফারেন্টিটারের লাভ তাই ফ্রিকোয়েন্সি সহ একঘেয়েভাবে বৃদ্ধি পায়। যদি আপনার সিগন্যালে উচ্চ-ফ্রিকোয়েন্সি শব্দ থাকে, তবে এটি ডিফারেন্সেটর প্রয়োগ করে প্রশস্ত করা যেতে পারে। এটিকে মোকাবেলায় দুটি পন্থা সুস্পষ্ট:

• আপনার আগ্রহের সিগন্যালটি কভার করে এমন ব্যান্ডের অংশের উপর কাঙ্ক্ষিত রৈখিক দৈর্ঘ্যের প্রতিক্রিয়া রয়েছে এমন আরও পরিশীলিত ডিফারেন্টিটার ফিল্টারটি ডিজাইন করুন, তারপরে উচ্চতর ফ্রিকোয়েন্সিগুলিকে তীব্রভাবে তত্পর করে তুলুন। আপনি উদাহরণস্বরূপ, কম-স্কোয়ার পদ্ধতি বা ফ্রিকোয়েন্সি-নমুনা পদ্ধতি ব্যবহার করে এই জাতীয় ফিল্টার ডিজাইন করতে পারেন।

• ক্যাসকেড পদ্ধতির ব্যবহার করুন যেখানে আপনি লোপপাস ফিল্টারটি ব্যবহার করতে পারেন এমন উচ্চ-ফ্রিকোয়েন্সি শব্দটি প্রথমে প্রথমে দমন করেন, তারপরে ডিফারেন্টেটরটি অনুসরণ করুন। লোপাস ফিল্টার আউট-অফ-ব্যান্ডের শব্দটি দূর করবে বলে ডিফারেন্টিটারের ফ্রিকোয়েন্সি কভারেজটি এতটা কড়া হওয়া দরকার না।

আপনি যদি লিনিয়ার ফিল্টার ব্যবহার করছেন তবে পদ্ধতিগুলি মোটামুটি সমতুল্য হওয়া উচিত; আপনি প্রথম একক-ফিল্টার পদ্ধতির কোনও পার্থক্যকারী এবং একটি লোপাস ফিল্টার হিসাবে কেবল ক্যাসকেড হিসাবে ভাবতে পারেন। আপনি যেমন উল্লেখ করেছেন, কেন্দ্রীয়-পার্থক্য পদ্ধতির উপায়টি এই পদ্ধতিতে তৈরি করা যেতে পারে। আপনার আবেদনের কোনও জ্ঞান ছাড়াই যে কারও পক্ষে এটি "খারাপ" বলা শক্ত। আমার মূল চিন্তাটি হ'ল এটি "খারাপ" যদি স্মুথিং অপারেশনটি আপনার আগ্রহের সংকেতকে সংকুচিত করে, যেমন ডেরাইভেটিভ অনুমানটি কার্যকর হয় না। তবে, যদি সিগন্যালের প্যারামিটারগুলি এমন হয় যে আপনি লক্ষণীয়ভাবে সংকেতটি বিকৃত না করেই আওয়াজকে মসৃণ করতে পারেন (যেমন যদি সংকেতটি ভালভাবে ওভারস্যাম্পল করা থাকে) তবে এটি একটি বিজয় হতে পারে।