গাউসীয় বিতরণের নমুনা কুর্তোসিস বিতরণের জন্য ফর্ম এক্সপ্রেশন বন্ধ

Question

গাউসীয় বিতরণ থেকে প্রাপ্ত নমুনা কুর্তোসিসের ডেটা বন্টনের জন্য কি কোনও বদ্ধ-রূপের অভিব্যক্তি রয়েছে? অর্থাত,

$P(\hat{K}<a)$ যেখানে the নমুনা কুরটোসিস।$\hat{K}$

Comments

নমুনা কুরটোসিস বন্ধ-ফর্ম এক্সপ্রেশন দ্বারা দেওয়া হয়; ভিন্ন ভিন্ন সূত্র রয়েছে, তবে কোনটি ব্যবহার করা উচিত তা আপনার কী বিতরণের উপর নির্ভর করে তা নির্ভর করে। সম্ভবত আপনি বলতে চাইছেন যে কোনও গাউসিয়ান থেকে নমুনা দেওয়ার সময় কুর্তোসিসের সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশনটির জন্য কোনও বদ্ধ-রূপের অভিব্যক্তি রয়েছে?

— নিক কক্স

আমি ভীষণ দুঃখিত, আমি নমুনা কুর্তোসিসের বিতরণ বলতে চাইছি, নমুনা কুর্তোসিস নিজেই নয়।

— ইয়োকি

স্পষ্টতার জন্য ধন্যবাদ। আরও তুচ্ছভাবে দেখুন, উদাহরণস্বরূপ meta.stats.stackexchange.com/questions/1479/… সেখানে লোককে ধন্যবাদ দেওয়ার দরকার নেই, ইত্যাদি প্রশ্ন করুন!

— নিক কক্স

Answer 1

স্যাম্পলিংয়ের সঠিক বিতরণটি পাওয়া কঠিন; সেখানে প্রথম কয়েক মুহূর্ত (১৯৯৯ সালের পুরানো), বিভিন্ন আনুমানিকতা (১৯60০-এর দশকের প্রথম দিকের ডেট) এবং টেবিলগুলি প্রায়শই সিমুলেশন (1960-এর দশকের শেষের) উপর ভিত্তি করে তৈরি হয়েছিল।

আরো নির্দিষ্ট করা:

ফিশার (1929) সাধারণ নমুনায় skewness এবং কুর্তোসিসের নমুনা বিতরণের মুহূর্ত দেয় এবং পিয়ারসন (1930) (এছাড়াও) স্কিউনেস এবং কুর্তোসিসের নমুনা বিতরণের প্রথম চারটি মুহুর্ত দেয় এবং তাদের উপর ভিত্তি করে পরীক্ষার প্রস্তাব দেয়।

সুতরাং উদাহরণস্বরূপ :$^*$

$E(b_2)=\frac{3(n-1)}{n+1}$

$\text{Var}(b_2)=\frac{24n(n-2)(n-3)}{(n+1)^2(n+3)(n+5)}$

2 এর হ'ল$b_2$$\frac{216}{n}(1-\frac{29}{n}+\frac{519}{n^2}-\frac{7637}{n^3}+\ldots)$

2 এর অতিরিক্ত হ'ল ।$b_2$$\frac{540}{n}-\frac{20196}{n^2}+\frac{470412}{n^3}+\ldots$

* সাবধান - মুহূর্তের জন্য মানগুলি এবং ব্যবহৃত নমুনা কুর্তোসিসের সঠিক সংজ্ঞা উপর নির্ভর করে। উদাহরণস্বরূপ, আপনি যদি বা জন্য আলাদা সূত্রটি দেখেন তবে এটি সাধারণত নমুনা কুর্তোসিসের কিছুটা আলাদা সংজ্ঞা বলে থাকে।$E(b_2)$$\text{Var}(b_2)$

এই ক্ষেত্রে, উপরে সূত্র প্রযোজ্য উচিত ।$b_2=n\frac{\sum_i (X_i-\bar X)^4}{(\sum_i (X_i-\bar X)^2)^2}$

পিয়ারসন ( পিয়ারসন ধরণের চতুর্থ বা জনসন বিতরণ দ্বারা সাধারণ নমুনায় নমুনা বিতরণকে প্রায় কাছাকাছি নিয়ে আলোচনা করেছেন (নিঃসন্দেহে তিন দশক আগে প্রথম চারটি মুহুর্ত দেওয়ার কারণটি ছিল পিয়ারসন পরিবারের ব্যবহারের পক্ষে সম্ভব হয়েছে) ।$S_U$

পিয়ারসন (1965) কিছু মানের জন্য সূঁচালতা এর শতকরা জন্য টেবিল দেয় ।$n$

ডি অগোস্টিনো এবং টিটজেন (১৯ 1971১) কুর্তোসিসের জন্য পারসেন্টাইলগুলির আরও বিস্তৃত টেবিল দেয়।

ডি'গোস্টিনো এবং পিয়ারসন (1973) কুর্তোসিসের শতাংশের পয়েন্টের গ্রাফ দেয় যা আবার আরও বিস্তৃত ক্ষেত্রে আক্রান্ত হয়।

ফিশার, আরএ (১৯২৯),
"নমুনা বিতরণের মুহুর্ত এবং পণ্য মুহুর্তগুলি,"
লন্ডন ম্যাথমেটিকাল সোসাইটির কার্যক্রম , সিরিজ 2, 30: 199-238।

পিয়ারসন, ইএস, (১৯৩০)
"স্বাভাবিকতার জন্য পরীক্ষার আরও একটি বিকাশ,"
বায়োমেট্রিকা , ২২ (1-2), 239-249।

পিয়ারসন, ইএস ( ১৯63৩ )
"মুহূর্তগুলি ব্যবহার করে সম্ভাব্যতা বন্টনকে ঘনিষ্ঠ করার ক্ষেত্রে কিছু সমস্যা দেখা দেয়,"
বায়োমেট্রিকা , ৫০ , 95-112

পিয়ারসন, ইএস (1965)
" সাধারণ নমুনায় এবং 2 এর শতাংশের পয়েন্টগুলির : একটি বৃত্তাকার অফ," বায়োমেট্রিকা , 52 , 282-285$\sqrt{b_1}$$b_2$

ডি'গোস্টিনো, আরবি এবং টিটজেন, জিএল (1971),
" ছোট নমুনাগুলির জন্য 2 এর সিমুলেশন সম্ভাবনা পয়েন্টগুলি ," বায়োমেট্রিকা , 58 , 669-672।$b_2$

ডি Agostino, আর বি, এবং পিয়ারসন, এস (1973),
"স্বাভাবিক থেকে প্রস্থানের জন্য পরীক্ষা। বিতরণের জন্য পরীক্ষালব্ধ ফলাফল এবং ," Biometrika , 60 , 613-622।$b_2$$\sqrt{b_1}$

Answer 2

একটি সাধারণ নমুনা থেকে নমুনা কুর্তোসিসটি প্রায় শূন্য-গড় স্বাভাবিক হিসাবে বৈচিত্র্য সাথে বিতরণ করা হয় , যেখানে নমুনার আকার হয় (প্রাকৃতিকভাবে, বৃহত্তর আরও বেশি অনুমান করা যায় the পরিবর্তনের জন্য আরও জটিল অভিব্যক্তি হতে পারে উইকিপিডিয়া পৃষ্ঠায় পাওয়া যায় )। ছোট আকারের (<40) গাউসিয়ান নমুনাগুলির জন্য, এই কাগজটিতে পেরসেন্টাইলগুলি উত্পন্ন হয়েছে: লাচার, ডিএ (1989)। স্যাঙ্কনেস এবং কুর্তোসিসের নমুনা বিতরণ। ক্লিনিকাল রসায়ন, 35 (2), 330-331।$\approx 24/n$$n$$n$

Comments

$n$সাধারণ আনুমানিক পরিমাণ যুক্তিসঙ্গত হওয়ার আগে মাঝারিভাবে বড় হতে হবে। সিমুলেটেড কুরটোসিসের পরিসংখ্যানগুলি নির্ভরযোগ্যভাবে স্কিউড (ইতিবাচক) হয় যখন ; তারা বা তার জন্য সাধারণ দেখতে শুরু করে। $n=500$$n\gt 1000$

— হোবার