34

আমি এই বইয়ের সোজা বাইরে হোমওয়ার্ক সমস্যা বলে বলে শুরু করতে যাচ্ছি। আমি প্রত্যাশিত মানগুলি কীভাবে সন্ধান করতে পারি তার জন্য কয়েক ঘন্টা ব্যয় করেছি এবং নির্ধারণ করেছি যে আমি কিছুই বুঝতে পারি না।

যাক সিডিএফ আছে । এই যারা মানের জন্য , যার জন্য বিদ্যমান। $X$ $F(x) = 1 - x^{-\alpha}, x\ge1$
$E(X)$ $\alpha$ $E(X)$

এটি কীভাবে শুরু করা যায় তা সম্পর্কে আমার কোনও ধারণা নেই। আমি কীভাবে নির্ধারণ করতে পারি যে কোন মান বিদ্যমান? আমি সিডিএফ দিয়ে কী করব তাও জানি না (আমি ধরে নিচ্ছি এটির অর্থ সংযোজনীয় বিতরণ ফাংশন)। আপনার যখন ফ্রিকোয়েন্সি ফাংশন বা ঘনত্বের ক্রিয়া থাকে তখন প্রত্যাশিত মানটি সন্ধানের জন্য সূত্র রয়েছে। উইকিপিডিয়া বলে সিডিএফ সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশন পরিপ্রেক্ষিতে সংজ্ঞায়িত করা যায় নিম্নরূপ: $\alpha$ $X$ $f$

$F(x) = \int_{-\infty}^x f(t)\,dt$

এটি যতদূর পেলাম। আমি এখান থেকে কোথায় যাব?

সম্পাদনা: আমি লাগাতে । $x\ge1$

self-study expected-value

— styfle
সূত্র

19

সম্ভাব্যতা থেকে মন্তব্য জন্য সম্পাদিত

লক্ষ্য করুন এই ক্ষেত্রে তাই বন্টনের সম্ভাবনা রয়েছে কম হচ্ছে , তাই , এবং আপনি প্রয়োজন হবে একটি ক্রমবর্ধমান সিডিএফ জন্য। $F(1)=0$ $0$ $1$ $x \ge 1$ $\alpha > 0$

আপনার যদি সিডিএফ থাকে তবে আপনি অ্যান্টি-ইন্টিগ্রাল বা ডেরিভেটিভ চান যা এটির মতো অবিচ্ছিন্ন বিতরণ সহ

f (x) = \frac{d F (x)}{d x}

$f(x) = \frac{dF(x)}{dx}$

এবং বিপরীতে জন্য । $F(x) = \int_{1}^x f(t)\,dt$ $x \ge 1$

তারপরে আপনার প্রত্যাশাটি সন্ধান করতে হবে

E [X] = \int_{1}^{\infty} x f (x) d x

$E[X] = \int_{1}^{\infty} x f(x)\,dx$

এই বিদ্যমান যে প্রদান। আমি ক্যালকুলাস তোমার কাছে ছেড়ে দেব।

— হেনরি
সূত্র

3

@ হেনরি - pha , সুতরাং সমর্থন 1 এর নীচে হতে পারে না (সিডিএফ একটি অ-হ্রাসকারী ফাংশন হিসাবে)

F (1) = 1 - 1^{- α} = 1 - 1 = 0

$F(1)=1-1^{-\alpha}=1-1=0$

— সম্ভাব্যতা ব্লগ

@ প্রোব্যাবিলিটিস্লোগিক: আপনি বইয়ের ক্ষেত্রে সঠিক হতে পারেন। আমি আমার প্রতিক্রিয়া পরিবর্তন করব।

— হেনরি

উত্তরের জন্য ধন্যবাদ. F (x) কোনটি উপস্থাপন করে? সম্ভাবনা ঘনত্ব ফাংশন? সিডিএফ এর ডেরাইভেটিভ কি সর্বদা চ (এক্স) থাকে?

— স্টাইলফ্ল

1

f (x)

$f(x)$ প্রকৃতপক্ষে সম্ভাবনা ঘনত্ব ফাংশন বলে মনে করা হয়। যদি সিডিএফটির একটি ডেরাইভেটিভ থাকে তবে এটি ঘনত্ব, যদিও এখানে বিতরণ রয়েছে (উদাহরণস্বরূপ পৃথক) যেখানে সিডিএফের সর্বত্র ডাইরিভেটিভ নেই

— হেনরি

1

@ স্টাইফ্লে: যদি এটি বিদ্যমান থাকে তবে , এবং একইভাবে এর অন্যান্য ক্রিয়াকলাপগুলির প্রত্যাশার জন্য ।

E [X^{2}] = \int_{1}^{\infty} x^{2} f (x) d x

$E[X^2] = \int_{1}^{\infty} x^2 f(x)\,dx$

x

$x$

— হেনরি

71

ঘনত্ব ফাংশনের ব্যবহারের প্রয়োজন হয় না

সিডিএফকে 1 বিয়োগ করে সংহত করুন

আপনার যখন একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবল এমন একটি সমর্থন রয়েছে যা অ-নেতিবাচক (অর্থাত্ ভেরিয়েবলটির কেবল ধনাত্মক মানের জন্য ননজারো ঘনত্ব / সম্ভাবনা থাকে), আপনি নিম্নলিখিত বৈশিষ্ট্যটি ব্যবহার করতে পারেন: $X$

E (X) = \int_{0}^{\infty} (1 - F_{X} (x)) d x

$E(X) = \int_0^\infty \left( 1 - F_X(x) \right) \,\mathrm{d}x$

একটি অনুরূপ সম্পত্তি একটি পৃথক র্যান্ডম ভেরিয়েবলের ক্ষেত্রে প্রযোজ্য।

প্রমাণ

যেহেতু , $1 - F_X(x) = P(X\geq x) = \int_x^\infty f_X(t) \,\mathrm{d}t$

\int_{0}^{\infty} (1 - F_{X} (x)) d x = \int_{0}^{\infty} P (X \geq x) d x = \int_{0}^{\infty} \int_{x}^{\infty} f_{X} (t) d t d x

$\int_0^\infty \left( 1 - F_X(x) \right) \,\mathrm{d}x = \int_0^\infty P(X\geq x) \,\mathrm{d}x = \int_0^\infty \int_x^\infty f_X(t) \,\mathrm{d}t \mathrm{d}x$

তারপরে একীকরণের ক্রম পরিবর্তন করুন:

= \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{t} f_{X} (t) d x d t = \int_{0}^{\infty} {[x f_{X} (t)]}_{0}^{t} d t = \int_{0}^{\infty} t f_{X} (t) d t

$= \int_0^\infty \int_0^t f_X(t) \,\mathrm{d}x \mathrm{d}t = \int_0^\infty \left[xf_X(t)\right]_0^t \,\mathrm{d}t = \int_0^\infty t f_X(t) \,\mathrm{d}t$

স্বীকৃতিপ্রদান যে একটি ডামি পরিবর্তনশীল, অথবা সহজ প্রতিকল্পন গ্রহণ এবং , $t$ $t=x$ $\mathrm{d}t = \mathrm{d}x$

= \int_{0}^{\infty} x f_{X} (x) d x = E (X)

$= \int_0^\infty x f_X(x) \,\mathrm{d}x = \mathrm{E}(X)$

আরোপণ

আমি ব্যবহৃত বিশেষ ক্ষেত্রে জন্য সূত্র বিভাগে প্রত্যাশিত মান নিবন্ধ উইকিপিডিয়ার প্রমাণ উপর আমার মেমরি রিফ্রেশ করতে। এই বিভাগে পৃথক এলোমেলো পরিবর্তনশীল কেস এবং কোনও ঘনত্বের ক্রিয়াকলাপ না থাকার ক্ষেত্রেও প্রমাণ রয়েছে।

— Firefeather
সূত্র

1

+1 দুর্দান্ত ফলাফল: সিডিএফটির অবিচ্ছেদ্য ঘটনাটি খুব সহজ, তবুও ডেরিভেটিভগুলি এড়ানো বুদ্ধিমানের কাজ, যখনই আমরা পারি (সেগুলি অবিচ্ছেদ্য হিসাবে ভাল আচরণ করে না)))। অতিরিক্ত: বৈকল্পিক গণনা করতে সিডিএফ ব্যবহার করে এখানে দেখুন math.stackexchange.com/questions/1415366/…

— love.by. জেসুস

2

আপনি যখন ইন্টিগ্রেশনের ক্রম পরিবর্তন করেন, আপনি কীভাবে সংহতকরণ সীমাটি পাবেন?

— জাজ

স্ট্যান্ডার্ড প্রমাণটি ধরে নিবে না যে এর ঘনত্ব রয়েছে।

X

$X$

— ae0709

@ জাজ আমরা সংহতকরণ সীমাটি সেট করেছিলাম যাতে (টি, এক্স) জায়গার একই অংশটি .েকে যায়। মূল সীমাবদ্ধতাগুলি হল এক্স> 0 এবং টি> এক্স। আমরা বাইরের সীমাটি অভ্যন্তরীণ ভেরিয়েবলের উপর নির্ভর করতে পারি না তবে আমরা t> 0 এবং 0 <x <t এর মতো একই অঞ্চলটিকে সংজ্ঞায়িত করতে পারি। এই প্রক্রিয়াটির ভাল উদাহরণগুলি এখানে: mathinsight.org/…

— ফ্রেডক্যালওয়ে

12

ফলাফলটি এর ম মূহুর্ত পর্যন্ত প্রসারিত । এখানে একটি গ্রাফিকাল উপস্থাপনা: $k$ $X$

— StijnDeVuyst
সূত্র

8

আমি মনে করি আপনি প্রকৃতপক্ষে বোঝাচ্ছেন , অন্যথায় সিডিএফ ফাঁকা নয়, । $x\geq 1$ $F(1)=1-1^{-\alpha}=1-1=0$

আপনি সিডিএফ সম্পর্কে "জানেন" তা হ'ল শেষ পর্যন্ত তারা আর্গুমেন্ট শূন্যের কাছে পৌঁছায় এবং বাউন্ড না করে শেষ পর্যন্ত । এগুলিও অ-হ্রাস পাচ্ছে, সুতরাং এর অর্থ all সমস্ত । $x$ $x \to \infty$ $0\leq F(y)\leq F(x)\leq 1$ $y\leq x$

সুতরাং আমরা যদি সিডিএফ প্লাগ ইন করি তবে:

0 \leq 1 - x^{- α} \leq 1 ⟹ 1 \geq \frac{1}{x^{α}} \geq 0 ⟹ x^{α} \geq 1 > 0 ⟹ x \geq 1 .

$0\leq 1-x^{-\alpha}\leq 1\implies 1\geq \frac{1}{x^{\alpha}}\geq 0\implies x^{\alpha}\geq 1 > 0\implies x\geq 1 \>.$

আমরা এই থেকে উপসংহারে যে জন্য সমর্থন হয় । এখন আমাদের এরও দরকার যা which বোঝায় $x$ $x\geq 1$ $\lim_{x\to\infty} F(x)=1$ $\alpha>0$

প্রত্যাশাটি কী মূল্যবোধের উপস্থিতি তা নিয়ে কাজ করার জন্য আমাদের প্রয়োজন:

E (X) = \int_{1}^{\infty} x \frac{d F (x)}{d x} d x = α \int_{1}^{\infty} x^{- α} d x

$\newcommand{\rd}{\mathrm{d}}E(X)=\int_{1}^{\infty}x\frac{\rd F(x)}{\rd x}\rd x=\alpha\int_{1}^{\infty}x^{-\alpha} \rd x$

এবং এই সর্বশেষ অভিব্যক্তিটি দেখায় যে অস্তিত্বের জন্য আমাদের অবশ্যই থাকতে হবে , যা পরিবর্তিতভাবে বোঝায় । এটি সহজেই মান নির্ধারণ করতে বাড়ানো যেতে পারে যার জন্য 'ত কাঁচা মুহুর্ত বিদ্যমান। $E(X)$ $-\alpha<-1$ $\alpha>1$ $\alpha$ $r$ $E(X^{r})$

— probabilityislogic
সূত্র

(+1) বিশেষত তীক্ষ্ণ চোখের স্বীকৃতির জন্য যে প্রদত্ত সমর্থনটি ভুল ছিল।

— কার্ডিনাল

উত্তরের জন্য ধন্যবাদ. আমি প্রশ্ন স্থির করলাম। আমি x> = 1 লাগাতে চাইছিলাম। ঘনত্বের ক্রিয়াটি পেতে আপনি প্রথমে সিডিএফকে আলাদা করতে কীভাবে জানলেন?

— স্টাইলফেল

@ স্টাইফ্লে - কারণ সিডিএফ যখনই অবিচ্ছিন্ন এবং পার্থক্যযোগ্য হয় তখনই এটি একটি পিডিএফ। আপনি কীভাবে আপনার সিডিএফ সংজ্ঞায়িত করেছেন তা দেখে আপনি এটি দেখতে পারেন। একটি অখণ্ডকে পার্থক্য করা ঠিক যখন উচ্চতর সীমাটি তারতম্যের বিষয় হয় তখন আপনাকে সংহত দেয়।

— সম্ভাব্যতাব্লোগিক

1

@ স্টাইফ্লে - পিডিএফটিকে এমন কোনও সম্ভাবনা হিসাবে দেখা যেতে পারে যে কোনও আরভি অসীম বিরতিতে থাকে। হিসাবে । ঘনত্ব ছাড়াই বিচ্ছিন্ন আরভি এবং আরভি-র জন্যও এই পদ্ধতিটি আরও সাধারণভাবে ধারণ করে (সীমাটি একটি ডেরাইভেটিভ ব্যতীত অন্য কিছু)

P r (x < X < x + d x) = F (x + d x) - F (x) \to \frac{d F (x)}{d x} d x = f (x) d x

$Pr(x<X<x+dx)=F(x+dx)-F(x)\to \frac{dF(x)}{dx}dx=f(x)dx$

d x \to 0

$dx\to 0$

— সম্ভাব্যতা

1

আদেশ পরিবর্তনের প্রয়োজনীয় উত্তর অহেতুক কুৎসিত। এখানে আরও মার্জিত 2 লাইন প্রমাণ রয়েছে।

$\int udv = uv - \int vdu$

এখন এবং $du = dx$ $v = 1- F(x)$

$\int_{0}^{\infty} [ 1- F(x)] dx = [x(1-F(x)) ]_{0}^{\infty} + \int_{0}^{\infty} x f(x)dx$

$= 0 + \int_{0}^{\infty} x f(x)dx$

$= \mathbb{E}[X] \qquad \blacksquare$

— চিরাগ নাগপাল
সূত্র

আমি মনে করি আপনি ডু-ডেক্সকে বোঝাতে চাইছেন যাতে ইউ = এক্স।

— মাইকেল আর চেরনিক

সিডিএফ ব্যবহার করে প্রত্যাশিত মানটি সন্ধান করুন

ঘনত্ব ফাংশনের ব্যবহারের প্রয়োজন হয় না

সিডিএফকে 1 বিয়োগ করে সংহত করুন

প্রমাণ

আরোপণ