শতকরা লোকসান ফাংশন

11

সমস্যার সমাধান:

min_{m} E [| m - X |]

$\min_{m} \; E[|m-X|]$

এর মিডিয়ান হিসাবে সুপরিচিত $X$ , তবে লোকসান ফাংশনটি অন্যান্য পারসেন্টাইলের মতো দেখতে কেমন? উদাহরণস্বরূপ: এক্স এর 25 তম পার্সেন্টাইল এর সমাধান:

min_{m} E [L (m, X)]

$\min_{m} \; E[ L(m,X) ]$

এই ক্ষেত্রে কি $L$ ?

expected-value loss-functions

— Cam.Davidson.Pilon
সূত্র

12

যাক $I$ সূচকটি ফাংশন হবে: এটা সমান $1$ সত্য আর্গুমেন্ট এবং $0$ অন্যথায়। চয়ন করুন $0\lt\alpha\lt 1$ এবং সেট

Λ_{α} (x) = α x I (x \geq 0) - (1 - α) x I (x < 0) .

$\Lambda_\alpha(x)=\alpha x\, I(x\ge 0) - (1-\alpha)x\, I(x\lt 0).$

ব্যক্তিত্ব

এই চিন্তা প্লট $\Lambda_{1/5}$ । এটি আপনাকে the সহায়তা করতে একটি সঠিক দিক অনুপাত ব্যবহার করে, যা $-4/5$ বাম দিকে এবং সমান $+1/5$ । এই ক্ষেত্রে উপরে প্যাকেজ ট্যুরের $0$ প্রচন্ডভাবে নিচে প্যাকেজ ট্যুরের তুলনায় downweighted হয় $0$ ।

এই প্রাকৃতিক ফাংশন কারণ এটি ওজন মান চেষ্টা হল যে অতিক্রম ভিন্নভাবে চেয়ে যে কম । আসুন ক্ষতি সম্পর্কিত গণনা করুন এবং তারপরে এটি অনুকূলিতকরণ করুন। $x$ $0$ $x$ $0$

লিখন বিতরণের ফাংশন জন্য এবং সেটিং , কম্পিউট $F$ $X$ $L_\alpha(m,x) = \Lambda_\alpha(x-m)$

\begin{aligned} E_{F} (L_{α} (m, X)) & = \int_{R} Λ_{α} (x - m) d F (x) \\ = α \int_{R} I (x \geq m) (x - m) d F (x) - (1 - α) \int_{R} (x - m) I (x < m) d F (x) \\ = α \int_{m}^{\infty} (x - m) d F (x) - (1 - α) \int_{- \infty}^{m} (x - m) d F (x) . \end{aligned}

$\eqalign{ \mathbb{E}_F(L_\alpha(m,X))&=\int_\mathbb{R} \Lambda_\alpha(x-m)dF(x)\\ &=\alpha\int_\mathbb{R} I(x\ge m)(x-m) dF(x) - (1-\alpha)\int_\mathbb{R} (x-m)I(x\lt m) dF(x)\\ &=\alpha\int_m^\infty(x-m)dF(x) - (1-\alpha)\int_{-\infty}^m(x-m) dF(x). }$

চিত্র ২

হিসাবে আদর্শ সাধারন বন্টনের সাথে এই চিত্রণ পরিবর্তিত হয় , মোট সম্ভাব্যতা-ভরযুক্ত এলাকায় অঙ্কিত হয়। (বক্ররেখার গ্রাফ হয় ।) জন্য ডানদিকের চক্রান্ত সবচেয়ে স্পষ্টভাবে ইতিবাচক মান downweighting প্রভাব, এই চক্রান্ত downweighting ছাড়া জন্য would দেখায় উত্স সম্পর্কে প্রতিসম হতে। মাঝের প্লটটি সর্বোত্তম দেখায়, যেখানে মোট নীল কালি ( ) প্রতিনিধিত্ব করে যতটা সম্ভব ছোট। $m$ $F$ $\Lambda_{1/5}$ $\Lambda_{1/5}(x-m)dF(x)$ $m=0$ $\mathbb{E}_F(L_{1/5}(m,X))\$

এই ফাংশনটি স্বতন্ত্র এবং তাই এর চরম সমালোচনা পয়েন্টগুলি পরিদর্শন করে খুঁজে পাওয়া যাবে। চেইন নিয়ম এবং ক্যালকুলাস মৌলিক উপপাদ্য প্রয়োগ করা হচ্ছে সম্মানের সঙ্গে ব্যুৎপন্ন প্রাপ্ত করার দেয় $m$

\begin{aligned} \frac{\partial}{\partial m} E_{F} (L_{α} (m, X)) & = α (0 - \int_{m}^{\infty} d F (x)) - (1 - α) (0 - \int_{- \infty}^{m} d F (x)) \\ = F (m) - α . \end{aligned}

$\eqalign{ \frac{\partial}{\partial m}\mathbb{E}_F(L_\alpha(m,X))&=\alpha\left(0-\int_m^\infty dF(x)\right) - (1-\alpha)\left(0 - \int_{-\infty}^m dF(x)\right)\\ &= F(m) - \alpha. }$

অবিচ্ছিন্ন বিতরণের জন্য এটির সর্বদা একটি সমাধান যা সংজ্ঞা অনুসারে কোনও কোয়ান্টাইল । অবিচ্ছিন্ন বিতরণের জন্য এর সমাধান নাও হতে পারে তবে কমপক্ষে একটি থাকতে পারে যার জন্য for all এবং সকলের জন্য : এটিও (সংজ্ঞা অনুসারে) একটি কোয়ান্টাইল । $m$ $\alpha$ $X$ $m$ $F(x)-\alpha\lt 0$ $x\lt m$ $F(x)-\alpha\ge 0$ $x\ge m$ $\alpha$ $X$

অবশেষে, এবং , এটি পরিষ্কার যে এবং এই ক্ষয় হ্রাস করবে না। এটি সমালোচনামূলক পয়েন্টগুলির পরিদর্শনকে যা দেখায় যে বিলটি ফিট করে। $\alpha\ne 0$ $\alpha\ne 1$ $m\to-\infty$ $m\to\infty$ $\Lambda_\alpha$

একটি বিশেষ ক্ষেত্রে হিসাবে, হ'ল প্রশ্ন। $\mathbb{E}_F(2L_{1/2}(m,X)) = \mathbb{E}_F\left(\left|m-x\right|\right)$

— whuber
সূত্র

আপনি প্রত্যাশিত ক্ষতি দেখানোর জন্য যে প্রচেষ্টা করেছেন তাতে আমি প্রশংসা করি সঠিক পয়েন্ট দ্বারা হ্রাস পেয়েছে । আমি আমার নিজের উত্তরের জন্য কীভাবে এটি করব তা ভাবছিলাম, তবে আপনার ব্যাখ্যাটি ভাল। (+1)

m

$m$

2

আপনি প্রমাণ করেছেন যে ছবিগুলির মূল্য 1000 শব্দের। ধন্যবাদ @ হুইবার =)

— ক্যাম.ড্যাভিডসন.পিলন

8

এই নিবন্ধটি আপনার উত্তর আছে। নির্দিষ্ট হতে, ক্ষতি ফাংশন হিসাবে প্রায় বিভিন্ন সম্ভাব্যতা ভর অঞ্চলে 'আউট মিট' ব্যাখ্যা করা যেতে পারে বিয়োগ মাধ্যমে । জন্য এই ভর অঞ্চলগুলি সমান: পিএম ক্ষতি লোকসানকে সমানুপাতিক করে তুলতে (প্রত্যাশায় ধ্রুবকটি নগন্যতর হয়) থেকে যা মধ্যস্থদের জন্য পছন্দসই উপসংহার দেয়।

L_{0.25} (m, X) = | (X - m) (0.25 - 1 {X > m}) | .

$L_{0.25}(m,X) = \left| \left( X - m \right) \left(0.25 - \mathbf{1}\{ X > m \} \right) \right|.$

0.25

$0.25$

0.25 - 1 {X > m}

$0.25 - \mathbf{1}\{ X > m \}$

L_{0.5} (m, X) = | (X - m) (0.5 - 1 {X > m}) | = | (X - m) \times \pm 0.5 |,

$L_{0.5}(m,X) = \left| \left( X - m \right) \left(0.5 - \mathbf{1}\{ X > m \} \right) \right| = \left| \left( X - m \right) \times \pm 0.5 \right|,$

| X - m |,

$\left| X - m\right|,$

(+1) ভাল হয়েছে! - কোথায় উইকিপিডিয়া নিবন্ধটি সন্ধান করা যায় তা স্পষ্ট ছিল না; আপনি কোয়ান্টাইল রিগ্রেশন চিন্তা করতে হবে।

— হোবার

ধন্যবাদ, @ ম্যাথিউ, এটি একটি দুর্দান্ত সন্ধান। আমি ব্যাখ্যার মধ্যে ভারসাম্য বজায় রাখতে পছন্দ করি

— ক্যাম.ড্যাভিডসন.পিলন

আমি এখনও বুঝতে ব্যর্থ। এটা কোথা থেকে আসে? এক্স যদি কোয়ান্টাইলের উপরে থাকে, , অন্যথায় ০.২৫? শুধু এটাই?

| (0.25) - 1 X > m) |

$|(0.25)-\mathbb{1}{X>m})|$

(X - m)

$(X-m)$

— আইকননটফিক্স এই