এই উত্তরটি পরিবর্তন করে চলেছে। বর্তমান সংস্করণটি মন্তব্যগুলিতে @ কার্ডিনালের সাথে আমার যে আলোচনার সাথে সম্পর্কিত ছিল তা সম্পর্কিত নয় (যদিও এই আলোচনার মাধ্যমেই আমি ধন্যবাদ জানলাম যে কন্ডিশনিং পদ্ধতির কোথাও নেতৃত্ব দেওয়া হয়নি)।
এই প্রয়াসের জন্য, আমি হয়েফডিংয়ের মূল 1963 পেপারের আরও একটি অংশ ব্যবহার করব , যার অর্থ বিভাগ 5 "নির্ভরশীল র্যান্ডম ভেরিয়েবলসের যোগফল"।
সেট
Wi≡Yi∑ni=1Yi,∑i=1nYi≠0,∑i=1nWi=1,n≥2
যদিও আমরা সেট যদি ।Wi=0∑ni=1Yi=0
তারপরে আমাদের ভেরিয়েবল আছে
Zn=∑i=1nWiXi,E(Zn)≡μn
আমরা সম্ভাবনা আগ্রহী
Pr(Zn≥μn+ϵ),ϵ<1−μn
অন্যান্য অনেক অসমতার জন্য, হ্যাফডিং তার যুক্তিটি শুরু করেছেন যে
এবং তা
Pr(Zn≥μn+ϵ)=E[1{Zn−μn−ϵ≥0}]
1{Zn−μn−ϵ≥0}≤exp{h(Zn−μn−ϵ)},h>0
নির্ভরশীল-ভেরিয়েবলের ক্ষেত্রে, হয়েফডিং হিসাবে আমরা এই বিষয়টি ব্যবহার করি যে এবং জেনসেনের অসমতার জন্য অনুরোধ জানাতে (উত্তল) সূচকীয় ফাংশন, লিখতে∑ni=1Wi=1
ehZn=exp{h(∑i=1nWiXi)}≤∑i=1nWiehXi
এবং লিঙ্কিং ফলাফল পৌঁছাতে
Pr(Zn≥μn+ϵ)≤e−h(μn+ϵ)E[∑i=1nWiehXi]
আমাদের ক্ষেত্রে উপর মনোযোগ নিবদ্ধ করে, যেহেতু এবং স্বাধীন, প্রত্যাশিত মান, পৃথক করা যেতে পারেWiXi
Pr(Zn≥μn+ϵ)≤e−h(μn+ϵ)∑i=1nE(Wi)E(ehXi)
আমাদের ক্ষেত্রে, IID Bernoullis সঙ্গে প্যারামিটার হয় এবং তাদের সাধারণ মুহূর্ত উৎপাদিত ফাংশন , । সুতরাংXiθE[ehXi]hE[ehXi]=1−θ+θeh
Pr(Zn≥μn+ϵ)≤e−h(μn+ϵ)(1−θ+θeh)∑i=1nE(Wi)
প্রতি সম্মানের সাথে আরএইচএস হ্রাস করা , আমরা পাইh
eh∗=(1−θ)(μn+ϵ)θ(1−μn−ϵ)
এটি অসমতার মধ্যে প্লাগিং করা এবং আমরা প্রাপ্ত হেরফেরগুলি
Pr(Zn≥μn+ϵ)≤(θμn+ϵ)μn+ϵ⋅(1−θ1−μn−ϵ)1−μn−ϵ∑i=1nE(Wi)
যখন
Pr(Zn≥θ+ϵ)≤(θθ+ϵ)θ+ϵ⋅(1−θ1−θ−ϵ)1−θ−ϵ∑i=1nE(Wi)
হফফিং দেখায় যে
(θθ+ϵ)θ+ϵ⋅(1−θ1−θ−ϵ)1−θ−ϵ≤e−2ϵ2
ওপির সৌজন্যে (ধন্যবাদ, আমি কিছুটা ক্লান্ত হয়ে ...)
∑i=1nE(Wi)=1−1/2n
সুতরাং, অবশেষে, "নির্ভরশীল ভেরিয়েবলের অ্যাপ্রোচ" আমাদের
Pr(Zn≥θ+ϵ)≤(1−12n)e−2ϵ2≡BD
আসুন এটি কার্ডিনালের তুলনা করুন, এটি একটি "স্বাধীনতা" রূপান্তর, উপর ভিত্তি করে । আমাদের আবদ্ধ হওয়ার জন্য আমাদের আরও কঠোর হতে হবেBI
BD=(1−12n)e−2ϵ2≤e−nϵ2/2=BI
⇒2n−12n≤exp{(4−n2)ϵ2}
সুতরাং আমাদের কাছে । জন্য , বেশ দ্রুত চেয়ে কঠিন হয়ে কিন্তু খুব ছোট জন্য , যখন এমনকি এই ছোট "উইন্ডো" দ্রুত শূন্য র দিকে এগোয়। উদাহরণস্বরূপ, , যদি , তবে কঠোর। সুতরাং সব মিলিয়ে কার্ডিনালের গণ্ডি আরও কার্যকর। বি ডি ≤ বি আই এন ≥ 5 বি আই বি ডি ϵ n = 12 ϵ ≥ 0.008 বি আইn≤4BD≤BIn≥5BIBDϵn=12ϵ≥0.008BI
মন্তব্য
হয়েফডিংয়ের মূল কাগজ সম্পর্কিত বিভ্রান্তিকর ছাপ এড়াতে, আমাকে উল্লেখ করতে হবে যে হয়েফিং নির্ভরশীল এলোমেলো ভেরিয়েবলগুলির একটি ডিস্ট্রিমেন্টিক উত্তল সংশ্লেষের ক্ষেত্রে পরীক্ষা করে। সুনির্দিষ্ট, তার এর সংখ্যাগুলি, র্যান্ডম ভেরিয়েবল নয়, যখন প্রতিটি স্বতন্ত্র র্যান্ডম ভেরিয়েবলের যোগফল, অন্যদিকে মধ্যে নির্ভরতা থাকতে পারে । তারপরে তিনি বিভিন্ন "ইউ-পরিসংখ্যান" বিবেচনা করেন যা এইভাবে উপস্থাপিত হতে পারে।X i X iWiXiXi