ঘৃণ্য উপরের সীমা

মনে করুন আমাদের কাছে আইআইডি র‌্যান্ডম ভেরিয়েবলগুলি বিতরণ সহ । আমরা একটি নমুনা পালন করতে যাচ্ছি 'নিম্নলিখিত পদ্ধতিতে S: দিন স্বাধীন হতে র্যান্ডম ভেরিয়েবল, আমি অনুমান যে সব ' s এবং এর স্বতন্ত্র এবং নমুনার আকার । এর ইঙ্গিত যার এর নমুনা রয়েছে, এবং আমরা নমুনা দ্বারা সংজ্ঞায়িত সফলতাগুলি ভগ্নাংশ পড়াশোনা করতে চান $X_1,\dots,X_n$ $\mathrm{Ber}(\theta)$ $X_i$ $Y_1,\dots,Y_n$ $\mathrm{Ber}(1/2)$ $X_i$ $Y_i$ $N=\sum_{i=1}^n Y_i$ $Y_i$ $X_i$

Z = {\begin{cases} \frac{1}{N} \sum_{i = 1}^{n} X_{i} Y_{i} & if N > 0, \\ 0 & if N = 0 . \end{cases}

$Z = \begin{cases} \frac{1}{N}\sum_{i=1}^n X_i Y_i & \text{if}\quad N > 0\, , \\ 0 & \text{if} \quad N = 0 \, . \end{cases}$ জন্য , আমরা একটি ঊর্ধ্ব জন্য আবদ্ধ খুঁজতে চান যে ব্যাখ্যা মূলকভাবে সঙ্গে decays । ভেরিয়েবলের মধ্যে নির্ভরতার কারণে হফফিংয়ের অসমতা তাত্ক্ষণিকভাবে প্রয়োগ হয় না।

ϵ > 0

$\epsilon>0$

P r (Z \geq θ + ϵ)

$\mathrm{Pr}\!\left(Z \geq \theta + \epsilon\right)$

n

$n$

probability-inequalities

— জেন
সূত্র

যাক । (i) of এর নয় ? (ii) ? ... ফলস্বরূপ, এটি আমার কাছে স্পষ্ট নয় যে 'স্বতন্ত্র র্যান্ডম ভেরিয়েবলগুলির যোগফল নয়'

Z_{i} = \frac{_{1}}{^{N}} X_{i} Y_{i}

$Z_i = \frac{_1}{^N} X_iY_i$

Z_{i}

$Z_i$

Z_{j \neq i}

$Z_{j\neq i}$

Z = \sum Z_{i}

$Z=\sum Z_i$

Z

$Z$

— গ্লেন_বি -রিনস্টেট মনিকা

আহ, ভাল কথা। আমি চেয়ে সম্পর্কে ভাবছিলাম । তবে আপনি কি এর পরিবর্তে লিখতে পারবেন না , এবং ? অর্থাৎ যোগফল সব ক্ষেত্রেই বেশী হোক বা না হোক 1 বা 0. ... এতে কাজ না হলে কোন। সংখ্যাটি একই তবে ডিনোমিনেটর আলাদা।

n

$n$

N

$N$

Z_{i} = \frac{1}{n} X_{i} Y_{i}

$Z_i = \frac{1}{n}X_iY_i$

Z = \sum_{i = 1}^{n} Z_{i}

$Z=\sum_{i=1}^n Z_i$

Y

$Y$

— গ্লেন_বি -রিনস্টেট মনিকা

এটি নমুনায় সাফল্যের ভগ্নাংশের চেয়ে কম দেয়, যা সমস্যাটির আগ্রহের পরিমাণ, কারণ , যেহেতু ।

(1 / n) \sum_{i = 1}^{n} X_{i} Y_{i} \leq (1 / N) \sum_{i = 1}^{n} X_{i} Y_{i}

$(1/n)\sum_{i=1}^n X_i Y_i\leq (1/N)\sum_{i=1}^n X_i Y_i$

N \leq n

$N\leq n$

— জেন

হ্যাঁ, সে কারণেই আমি "না যে কাজ করে না" দিয়ে শেষ করেছি। অসাম্যতা রয়েছে যা অ-স্বতন্ত্র ক্ষেত্রে প্রযোজ্য যেমন বার্নস্টেইনের কিছু অসমতা (চতুর্থ আইটেমটি দেখুন), এবং এমন অনেকগুলি অসমতা রয়েছে যা মার্টিংগুলিতে প্রয়োগ হয় (যদিও আমি জানি না যে সেগুলি এখানে প্রয়োগ হবে)।

— গ্লেন_বি -রিনস্টেট মনিকা

আমি একবার দেখে নেব এবং মার্টিংস ফলাফলগুলির সাথে কোনও সংযোগ খুঁজে নেওয়ার চেষ্টা করব। জন্য আবদ্ধ এত সহজ ( ) এটি কোনও ধরণের কন্ডিশনার ব্যবহার করে সাথে সংযোগ স্থাপন করতে লোভনীয় ।

U = (1 / n) \sum_{i = 1}^{n} X_{i} Y_{i}

$U=(1/n)\sum_{i=1}^nX_i Y _i$

P r (U \geq θ / 2 + ϵ) \leq \exp (- 2 n ϵ^{2})

$\mathrm{Pr}(U\geq \theta/2+\epsilon)\leq \exp(-2n\epsilon^2)$

Z

$Z$

— জেন

উত্তর:

আমরা মোটামুটি প্রত্যক্ষ উপায়ে হফিডিংয়ের অসমতার সাথে একটি সংযোগ আঁকতে পারি ।

মনে রাখবেন যে আমাদের কাছে

{Z > θ + ϵ} = {\sum_{i} X_{i} Y_{i} > (θ + ϵ) \sum_{i} Y_{i}} = {\sum_{i} (X_{i} - θ - ϵ) Y_{i} > 0} .

$\{ Z > \theta + \epsilon\} = \big\{\sum_i X_i Y_i > (\theta + \epsilon)\sum_i Y_i \big\} = \big\{ \sum_i (X_i - \theta - \epsilon) Y_i > 0 \} \>.$

সেট যাতে IID হয়, এবং অসমতার একটি সরাসরি প্রয়োগ দ্বারা (যেহেতু এবং সুতরাং এক মাপের ব্যবধানে মান গ্রহণ করুন)। $Z_i = (X_i - \theta - \epsilon)Y_i + \epsilon/2$ $Z_i$ $\mathbb E Z_i = 0$

P (Z > θ + ϵ) = P (\sum_{i} Z_{i} > n ϵ / 2) \leq e^{- n ϵ^{2} / 2},

$\mathbb P( Z > \theta + \epsilon ) = \mathbb P\big(\sum_i Z_i > n \epsilon/2\big) \leq e^{-n \epsilon^2/2}\>,$

Z_{i} \in [- θ - ϵ / 2, 1 - θ - ϵ / 2]

$Z_i \in [-\theta-\epsilon/2,1-\theta-\epsilon/2]$

এখানে একটি সমৃদ্ধ এবং আকর্ষণীয় সম্পর্কিত সাহিত্য রয়েছে যা বিগত কয়েক বছর ধরে বিশেষত বিভিন্ন বাস্তব প্রয়োগের সাথে এলোমেলো ম্যাট্রিক্স তত্ত্ব সম্পর্কিত বিষয়গুলিতে তৈরি করেছে। আপনি যদি এই ধরণের বিষয়ে আগ্রহী হন তবে আমি অত্যন্ত সুপারিশ করছি:

আর। ভার্শিনিন, এলোমেলো ম্যাট্রিকেসের অ-অ্যাসিম্পটোটিক বিশ্লেষণের পরিচিতি , সংকুচিত সংবেদন, তত্ত্ব এবং অ্যাপ্লিকেশনগুলির অধ্যায় 5। ওয়াই এলদার এবং জি কুতেনিওক সম্পাদিত। কেমব্রিজ বিশ্ববিদ্যালয় প্রেস, ২০১২।

আমি মনে করি যে প্রকাশটি স্পষ্ট এবং সাহিত্যে দ্রুত সম্মতি পাওয়ার জন্য খুব সুন্দর উপায় সরবরাহ করে।

— মৌলিক
সূত্র

যেহেতু তাদের সংজ্ঞাটিতে অন্তর্ভুক্ত করে , আমার মনে হয় যে (সীমা পরিবর্তন হয় না)।

Z_{i}

$Z_i$

ϵ / 2

$\epsilon/2$

Z_{i} \in [- θ - ϵ / 2, 1 - θ - ϵ / 2]

$Z_i \in [-\theta-\epsilon/2,1-\theta-\epsilon/2]$

— অ্যালেকোস পাপাদোপ্লোস

প্রিয় @Zen: লক্ষ্য করুন একটি সতর্কতা অবলম্বন অ্যাকাউন্টিং ক্ষেত্রে আপনি কঠোর বৈষম্য প্রতিস্থাপন করতে অনুমতি দেবে দ্বারা চূড়ান্ত আবদ্ধ পরিবর্তন না করে সর্বত্র।

N = 0

$N=0$

>

$>$

\geq

$\geq$

— কার্ডিনাল

প্রিয় @ কার্ডিনাল: আমি প্রশ্নটির পুনঃব্যবহার করেছি কারণ ম্যাথর্ম since যেহেতু আসলে থিতার একটি (সামান্য) পক্ষপাতদায়ক অনুমানকারী ।

Z

$Z$

θ

$\theta$

E [Z] = E [I_{{N = 0}} Z] + E [I_{{N > 0}} Z] = (1 - 1 / 2^{n}) θ

$\mathrm{E}[Z]=\mathrm{E}[I_{\{N=0\}}Z]+\mathrm{E}[I_{\{N>0\}}Z] = (1-1/2^n)\,\theta$

— জেন

কেস যত্ন নেওয়ার জন্য বিশদ । $N=0$

\begin{aligned} {Z \geq θ + ϵ} & = ({Z \geq θ + ϵ} \cap {N = 0}) \cup ({Z \geq θ + ϵ} \cap {N > 0}) \\ = ({0 \geq θ + ϵ} \cap {N = 0}) \cup ({Z \geq θ + ϵ} \cap {N > 0}) \\ = (\emptyset \cap {N = 0}) \cup ({Z \geq θ + ϵ} \cap {N > 0}) \\ = {\sum_{i = 1}^{n} X_{i} Y_{i} \geq (θ + ϵ) \sum_{i = 1}^{n} Y_{i}} \cap {N > 0} \\ \subset {\sum_{i = 1}^{n} X_{i} Y_{i} \geq (θ + ϵ) \sum_{i = 1}^{n} Y_{i}} \\ = {\sum_{i = 1}^{n} (X_{i} - θ - ϵ) Y_{i} \geq 0} \\ = {\sum_{i = 1}^{n} ((X_{i} - θ - ϵ) Y_{i} + ϵ / 2) \geq n ϵ / 2} . \end{aligned}

$\begin{align} \{Z\geq\theta+\epsilon\} &= \left(\{Z\geq\theta+\epsilon\} \cap \{N=0\}\right) \cup \left(\{Z\geq\theta+\epsilon\} \cap \{N>0\}\right) \\ &= \left(\{0\geq\theta+\epsilon\} \cap \{N=0\}\right) \cup \left(\{Z\geq\theta+\epsilon\} \cap \{N>0\}\right) \\ &= \left(\emptyset \cap \{N=0\}\right) \cup \left(\{Z\geq\theta+\epsilon\} \cap \{N>0\}\right) \\ &= \left\{\sum_{i=1}^n X_iY_i\geq(\theta+\epsilon)\sum_{i=1}^n Y_i\right\} \cap \{N>0\} \\ &\subset \left\{\sum_{i=1}^n X_iY_i\geq(\theta+\epsilon)\sum_{i=1}^n Y_i\right\} \\ &= \left\{\sum_{i=1}^n (X_i-\theta-\epsilon)Y_i\geq 0\right\} \\ &= \left\{\sum_{i=1}^n \left((X_i-\theta-\epsilon)Y_i+\epsilon/2\right)\geq n\epsilon/2\right\} \, . \end{align}$

অ্যালেকোসের জন্য।

\begin{aligned} E [\sum_{i = 1}^{n} W_{i}] & = E [I_{{\sum_{i = 1}^{n} Y_{i} = 0}} \sum_{i = 1}^{n} W_{i}] + E [I_{{\sum_{i = 1}^{n} Y_{i} > 0}} \sum_{i = 1}^{n} W_{i}] \\ = E [I_{{\sum_{i = 1}^{n} Y_{i} > 0}} \frac{\sum_{i = 1}^{n} Y_{i}}{\sum_{i = 1}^{n} Y_{i}}] = E [I_{{\sum_{i = 1}^{n} Y_{i} > 0}}] = 1 - 1 / 2^{n} . \end{aligned}

$\begin{align} \mathrm{E}\!\left[\sum_{i=1} ^n W_i\right]&=\mathrm{E}\!\left[I_{\{\sum_{i=1}^n Y_i=0\}}\sum_{i=1} ^n W_i\right] + \mathrm{E}\!\left[I_{\{\sum_{i=1}^n Y_i>0\}}\sum_{i=1} ^n W_i\right] \\ &=\mathrm{E}\!\left[I_{\{\sum_{i=1}^n Y_i>0\}}\frac{\sum_{i=1} ^n Y_i}{\sum_{i=1}^n Y_i}\right]=\mathrm{E}\!\left[I_{\{\sum_{i=1}^n Y_i>0\}}\right]=1-1/2^n \, . \end{align}$

— জেন
সূত্র

এই উত্তরটি পরিবর্তন করে চলেছে। বর্তমান সংস্করণটি মন্তব্যগুলিতে @ কার্ডিনালের সাথে আমার যে আলোচনার সাথে সম্পর্কিত ছিল তা সম্পর্কিত নয় (যদিও এই আলোচনার মাধ্যমেই আমি ধন্যবাদ জানলাম যে কন্ডিশনিং পদ্ধতির কোথাও নেতৃত্ব দেওয়া হয়নি)।

এই প্রয়াসের জন্য, আমি হয়েফডিংয়ের মূল 1963 পেপারের আরও একটি অংশ ব্যবহার করব , যার অর্থ বিভাগ 5 "নির্ভরশীল র্যান্ডম ভেরিয়েবলসের যোগফল"।

সেট

W_{i} \equiv \frac{Y_{i}}{\sum_{i = 1}^{n} Y_{i}}, \sum_{i = 1}^{n} Y_{i} \neq 0, \sum_{i = 1}^{n} W_{i} = 1, n \geq 2

$W_i \equiv \frac {Y_i}{\sum_{i=1}^nY_i}, \qquad \sum_{i=1}^nY_i \neq 0, \qquad \sum_{i=1}^nW_i=1, \qquad n\geq 2$

যদিও আমরা সেট যদি । $W_i =0$ $\sum_{i=1}^nY_i = 0$

তারপরে আমাদের ভেরিয়েবল আছে

Z_{n} = \sum_{i = 1}^{n} W_{i} X_{i}, E (Z_{n}) \equiv μ_{n}

$Z_n= \sum_{i=1}^nW_iX_i, \qquad E(Z_n) \equiv \mu_n$

আমরা সম্ভাবনা আগ্রহী

P r (Z_{n} \geq μ_{n} + ϵ), ϵ < 1 - μ_{n}

$\mathrm{Pr}(Z_n\geq \mu_n +\epsilon), \qquad \epsilon < 1-\mu_n$

অন্যান্য অনেক অসমতার জন্য, হ্যাফডিং তার যুক্তিটি শুরু করেছেন যে এবং তা

P r (Z_{n} \geq μ_{n} + ϵ) = E [1_{{Z_{n} - μ_{n} - ϵ \geq 0}}]

$\mathrm{Pr}(Z_n\geq \mu_n +\epsilon) = E\left[\mathbf 1_{\{Z_n-\mu_n -\epsilon \geq 0\}}\right]$

1_{{Z_{n} - μ_{n} - ϵ \geq 0}} \leq \exp {h (Z_{n} - μ_{n} - ϵ)}, h > 0

$\mathbf 1_{\{Z_n-\mu_n -\epsilon\geq 0\}} \leq \exp\Big\{h(Z_n-\mu_n -\epsilon)\Big\}, \qquad h>0$

নির্ভরশীল-ভেরিয়েবলের ক্ষেত্রে, হয়েফডিং হিসাবে আমরা এই বিষয়টি ব্যবহার করি যে এবং জেনসেনের অসমতার জন্য অনুরোধ জানাতে (উত্তল) সূচকীয় ফাংশন, লিখতে $\sum_{i=1}^nW_i=1$

e^{h Z_{n}} = \exp {h (\sum_{i = 1}^{n} W_{i} X_{i})} \leq \sum_{i = 1}^{n} W_{i} e^{h X_{i}}

$e^{hZ_n} = \exp\left\{h\left(\sum_{i=1}^nW_iX_i\right)\right\} \leq \sum_{i=1}^nW_ie^{hX_i}$

এবং লিঙ্কিং ফলাফল পৌঁছাতে

P r (Z_{n} \geq μ_{n} + ϵ) \leq e^{- h (μ_{n} + ϵ)} E [\sum_{i = 1}^{n} W_{i} e^{h X_{i}}]

$\mathrm{Pr}(Z_n\geq \mu_n +\epsilon) \leq e^{-h(\mu_n+\epsilon)}E\left[\sum_{i=1}^nW_ie^{hX_i}\right]$

আমাদের ক্ষেত্রে উপর মনোযোগ নিবদ্ধ করে, যেহেতু এবং স্বাধীন, প্রত্যাশিত মান, পৃথক করা যেতে পারে $W_i$ $X_i$

P r (Z_{n} \geq μ_{n} + ϵ) \leq e^{- h (μ_{n} + ϵ)} \sum_{i = 1}^{n} E (W_{i}) E (e^{h X_{i}})

$\mathrm{Pr}(Z_n\geq \mu_n +\epsilon) \leq e^{-h(\mu_n+\epsilon)}\sum_{i=1}^nE(W_i)E\left(e^{hX_i}\right)$

আমাদের ক্ষেত্রে, IID Bernoullis সঙ্গে প্যারামিটার হয় এবং তাদের সাধারণ মুহূর্ত উৎপাদিত ফাংশন , । সুতরাং $X_i$ $\theta$ $E[e^{hX_i}]$ $h$ $E[e^{hX_i}] = 1-\theta +\theta e^h$

P r (Z_{n} \geq μ_{n} + ϵ) \leq e^{- h (μ_{n} + ϵ)} (1 - θ + θ e^{h}) \sum_{i = 1}^{n} E (W_{i})

$\mathrm{Pr}(Z_n\geq \mu_n +\epsilon) \leq e^{-h(\mu_n+\epsilon)}(1-\theta +\theta e^h)\sum_{i=1}^nE(W_i)$

প্রতি সম্মানের সাথে আরএইচএস হ্রাস করা , আমরা পাই $h$

e^{h^{*}} = \frac{(1 - θ) (μ_{n} + ϵ)}{θ (1 - μ_{n} - ϵ)}

$e^{h^*} = \frac {(1-\theta)(\mu_n+\epsilon)}{\theta(1-\mu_n-\epsilon)}$

এটি অসমতার মধ্যে প্লাগিং করা এবং আমরা প্রাপ্ত হেরফেরগুলি

P r (Z_{n} \geq μ_{n} + ϵ) \leq {(\frac{θ}{μ_{n} + ϵ})}^{μ_{n} + ϵ} \cdot {(\frac{1 - θ}{1 - μ_{n} - ϵ})}^{1 - μ_{n} - ϵ} \sum_{i = 1}^{n} E (W_{i})

$\mathrm{Pr}(Z_n\geq \mu_n +\epsilon) \leq \left(\frac {\theta}{\mu_n+\epsilon}\right)^{\mu_n+\epsilon}\cdot \left(\frac {1-\theta}{1-\mu_n-\epsilon}\right)^{1-\mu_n-\epsilon}\sum_{i=1}^nE(W_i)$

যখন

P r (Z_{n} \geq θ + ϵ) \leq {(\frac{θ}{θ + ϵ})}^{θ + ϵ} \cdot {(\frac{1 - θ}{1 - θ - ϵ})}^{1 - θ - ϵ} \sum_{i = 1}^{n} E (W_{i})

$\mathrm{Pr}(Z_n\geq \theta +\epsilon) \leq \left(\frac {\theta}{\theta+\epsilon}\right)^{\theta+\epsilon}\cdot \left(\frac {1-\theta}{1-\theta-\epsilon}\right)^{1-\theta-\epsilon}\sum_{i=1}^nE(W_i)$

হফফিং দেখায় যে

{(\frac{θ}{θ + ϵ})}^{θ + ϵ} \cdot {(\frac{1 - θ}{1 - θ - ϵ})}^{1 - θ - ϵ} \leq e^{- 2 ϵ^{2}}

$\left(\frac {\theta}{\theta+\epsilon}\right)^{\theta+\epsilon}\cdot \left(\frac {1-\theta}{1-\theta-\epsilon}\right)^{1-\theta-\epsilon} \leq e^{-2\epsilon^2}$

ওপির সৌজন্যে (ধন্যবাদ, আমি কিছুটা ক্লান্ত হয়ে ...)

\sum_{i = 1}^{n} E (W_{i}) = 1 - 1 / 2^{n}

$\sum_{i=1}^n E(W_i) =1-1/2^n$

সুতরাং, অবশেষে, "নির্ভরশীল ভেরিয়েবলের অ্যাপ্রোচ" আমাদের

P r (Z_{n} \geq θ + ϵ) \leq (1 - \frac{1}{2^{n}}) e^{- 2 ϵ^{2}} \equiv B_{D}

$\mathrm{Pr}(Z_n\geq \theta +\epsilon) \leq (1-\frac 1{2^n})e^{-2\epsilon^2} \equiv B_D$

আসুন এটি কার্ডিনালের তুলনা করুন, এটি একটি "স্বাধীনতা" রূপান্তর, উপর ভিত্তি করে । আমাদের আবদ্ধ হওয়ার জন্য আমাদের আরও কঠোর হতে হবে $B_I$

B_{D} = (1 - \frac{1}{2^{n}}) e^{- 2 ϵ^{2}} \leq e^{- n ϵ^{2} / 2} = B_{I}

$B_D=(1-\frac 1{2^n})e^{-2\epsilon^2} \leq e^{-n\epsilon^2/2}=B_I$

\Rightarrow \frac{2^{n} - 1}{2^{n}} \leq \exp {(\frac{4 - n}{2}) ϵ^{2}}

$\Rightarrow \frac {2^n-1}{2^n} \leq \exp\left\{\left(\frac {4-n}{2}\right)\epsilon^2\right\}$

সুতরাং আমাদের কাছে । জন্য , বেশ দ্রুত চেয়ে কঠিন হয়ে কিন্তু খুব ছোট জন্য , যখন এমনকি এই ছোট "উইন্ডো" দ্রুত শূন্য র দিকে এগোয়। উদাহরণস্বরূপ, , যদি , তবে কঠোর। সুতরাং সব মিলিয়ে কার্ডিনালের গণ্ডি আরও কার্যকর। $n\leq 4$ $B_D \leq B_I$ $n \geq 5$ $B_I$ $B_D$ $\epsilon$ $n=12$ $\epsilon \geq 0.008$ $B_I$

মন্তব্য
হয়েফডিংয়ের মূল কাগজ সম্পর্কিত বিভ্রান্তিকর ছাপ এড়াতে, আমাকে উল্লেখ করতে হবে যে হয়েফিং নির্ভরশীল এলোমেলো ভেরিয়েবলগুলির একটি ডিস্ট্রিমেন্টিক উত্তল সংশ্লেষের ক্ষেত্রে পরীক্ষা করে। সুনির্দিষ্ট, তার এর সংখ্যাগুলি, র্যান্ডম ভেরিয়েবল নয়, যখন প্রতিটি স্বতন্ত্র র্যান্ডম ভেরিয়েবলের যোগফল, অন্যদিকে মধ্যে নির্ভরতা থাকতে পারে । তারপরে তিনি বিভিন্ন "ইউ-পরিসংখ্যান" বিবেচনা করেন যা এইভাবে উপস্থাপিত হতে পারে। $W_i$ $X_i$ $X_i$

— আলেকোস পাপাদোপল্লোস
সূত্র

আলেকোস: গণিত (আমার উত্তরের শেষে ডেরিভেশনটি দেখুন)। আপনার সীমানা সাথে দ্রুত ক্ষয় হয় না যেমন কার্ডিনালগুলি করে।

E [W_{1}] = (1 - 1 / 2^{n}) / n

$\mathrm{E}[W_1]=(1-1/2^n)/n$

n

$n$

— জেন

@ জেন প্রকৃতপক্ষে (প্রকৃতপক্ষে এটি নমুনার আকারের সাথে বেড়েছে যদিও সীমান্তে), এজন্য কার্ডিনালের গণ্ডি বেশিরভাগ নমুনা আকারের জন্য আরও কার্যকর।

— অ্যালেকোস পাপাদোপ্লোস