বিচ্ছিন্ন ইউনিফর্ম র‌্যান্ডম ভেরিয়েবল (?) একটি বদ্ধ বিরতিতে সমস্ত যৌক্তিক মান গ্রহণ করে

আমার সবেমাত্র (বৌদ্ধিক) আতঙ্কের আক্রমণ হয়েছিল।

একটি অবিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবল যা একটি বদ্ধ বিরতি ইউনিফর্ম অনুসরণ করে : একটি স্বাচ্ছন্দ্যে পরিচিত পরিসংখ্যান ধারণা। $U(a,b)$
বর্ধিত বাস্তবের (অর্ধ বা পুরো) উপর নির্ভর করে একটি অবিচ্ছিন্ন ইউনিফর্ম আরভি: কোনও আরভি যথাযথ নয়, তবে একটি অনুচিত পূর্ব, কার্যকর এবং প্রযোজ্য জন্য একটি বেসিক বায়সিয়ান ধারণা Bay
একটি স্বতন্ত্র সংখ্যার সীমাবদ্ধ সংখ্যার মান গ্রহণ করা যাক: আসুন একটি জিওডাসিক গম্বুজ নিক্ষেপ করুন, কোনও বড় বিষয় নয়।

তবে এমন কোনও ফাংশন সম্পর্কে যা এর ডোমেন হিসাবে আছে সমস্ত যুক্তি যা পূর্ণ সংখ্যার সাথে বন্ধ ব্যবধানে অন্তর্ভুক্ত রয়েছে ( আপনি যদি চান তবে দিয়ে শুরু করুন )? এবং আমরা এটি একটি সম্ভাব্য কাঠামোতে ব্যবহার করতে চাই, প্রতিটি সম্ভাব্য মানটির অন্যান্য সকলের সাথে সমান সম্ভাবনা থাকা দরকার? $[0,1]$

সম্ভাব্য মানগুলির সংখ্যা হ'ল অসীম (যা প্রচুর বিচ্ছিন্ন বিতরণের বৈশিষ্ট্য দেয়), তবে আমরা সম্ভাবনার সমান চাই বলে একটি মানের সম্ভাবনা কীভাবে প্রকাশ করব?

আমরা কী শো-প্রমান করতে পারি যে এই জাতীয় সত্তা একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল (নয়)?

যদি তা না হয় তবে এটি কোনও "অনুচিত পূর্ববর্তী" এর আরও একটি অবতার (সম্ভবত ইতিমধ্যে সুপরিচিত)?

এটি কি সম্ভব যে এই সত্তা কিছুটা সংজ্ঞায়িত অর্থে, তবে বিশেষ, ধারাবাহিক ইউনিফর্মের আরভি'র "সমতুল্য"? বা আমি কেবল একটি কার্ডিনাল (এটি) পাপ করেছি?

এটি প্রদর্শিত হয় যে ডোমেনটি একটি বন্ধ ব্যবধান বলে আমাকে ছেড়ে যেতে দেয় না। বাঁধা জিনিসগুলি সাধারণত পরিচালনাযোগ্য।

অভ্যন্তরীণ maelstrom এর ইঙ্গিত হতে প্রশ্নগুলি অনেকগুলি- আমি তাদের প্রত্যেকটির উত্তর পেতে বলছি না।

যে কোনও সময় আমি যে কোনও অন্তর্দৃষ্টি দিয়ে আসতে পারি, আমি আপডেট করব।

আপডেট: বর্তমান প্রশ্নটি এখানে কেবল একটি গঠনবাদী সিক্যুয়েল অর্জন করেছে ।

— আলেকোস পাপাদোপ্লোস
সূত্র

এখানে থাকা একটি দুর্দান্ত প্রশ্ন। আপনি যুক্তিগুলির উপর অভিন্ন বিতরণকে সংজ্ঞায়িত করতে পারবেন না, এমনকি [0,1] এর মধ্যেও সীমাবদ্ধ নয়, বা অন্য কোনও অগণিত সেটের জন্যও নয়। আমি এই সম্পর্কে একবার একটু আলোচনা লিখেছিলাম, আমি এটি খনন করতে এবং এটি দেখতে পারি কিনা তা আমি দেখতে পাচ্ছি, তবে এটি সম্ভবত আপনার উত্তরের সাথে দরকারী কিছু যুক্ত করে না।

— গ্লেন_বি -রিনস্টেট মনিকা

@ গ্লেন_বি ধন্যবাদ গ্লেন আসুন আশা করি আপনি যে সামান্য আলোচনাটি উল্লেখ করেছেন তা পোস্ট করেছেন।

— অ্যালেকোস পাপাদোপ্লোস

প্রতিচ্ছবিতে, আমি মনে করি না যে এটি এখানে

— Glen_b -Rininstate Monica

Q \cap [0, 1]

$\mathbb{Q} \cap [0, 1]$

— ক্যাপে

উত্তর:

এই "এলোমেলো পরিবর্তনশীল" পুরো আসল লাইনের আগে ফ্ল্যাট থাকার ধারণার সাথে সমান (আপনার দ্বিতীয় উদাহরণ)।

এবং ধ্রুব সমস্ত for এর জন্য মতো কোনও এলোমেলো পরিবর্তনশীল থাকতে পারে না তা দেখানোর জন্য আমরা we অ্যাডিটিভ বৈশিষ্ট্যটি ব্যবহার করি এলোমেলো পরিবর্তনশীল: বিচ্ছিন্ন ঘটনাগুলির গণনাযোগ্য সংঘের ঘটনার সম্ভাব্য সংখ্যার (সম্ভবত অসীম) যোগফলের সমান সম্ভাবনা রয়েছে। সুতরাং, যদি , সম্ভাবনা , কারণ এটি বহুসংখ্যক শূন্যের যোগফল। যদি , তবে । তবে proper একটি যথাযথ র্যান্ডম ভেরিয়েবলের মান অবশ্যই হওয়া উচিত যা $X$ $P(X=q)=c$ $q\in \mathbb{Q}\cap[0,1]$ $c$ $\sigma$ $c=0$ $P(X\in\mathbb{Q}\cap[0,1])=0$ $c>0$ $P(X\in\mathbb{Q}\cap[0,1])=\infty$ $\mathbb{Q}\cap[0,1]$ $P(X\in\mathbb{Q}\cap[0,1])=1$ , সুতরাং এ জাতীয় কোনও এলোমেলো পরিবর্তনশীল নেই।

এখানে মূল কীটি যেমন আপনি ইতিমধ্যে সচেতন হতে পারেন তা হ'ল যদি স্থানটি চূড়ান্তভাবে অনেকগুলি পয়েন্ট নিয়ে গঠিত হয় তবে আমরা ব্যবহার করতে পারি এবং যোগফলটি নিয়ে কোনও সমস্যা না করতে পারে এবং যদি স্থানটি অগণিতভাবে অনেকগুলি পয়েন্ট থাকে তবে আপনি হতে পারেন এবং স্পেসের সাথে সংহত করার সময় স্পর্শকাতরতা লঙ্ঘিত হয় না কারণ এটি গণনাযোগ্য জিনিসগুলি সম্পর্কে একটি বিবৃতি । তবে আপনি যখন সমস্যার অবিরাম সেটটির উপর অভিন্ন বিতরণ চান তখন আপনি সমস্যার মুখোমুখি হচ্ছেন। $c>0$ $c=0$ $\sigma$

যদিও কোনও বায়সিয়ান পূর্বের প্রসঙ্গে, আপনি অবশ্যই বলতে পারেন যে আপনি জন্য ব্যবহার করতে ইচ্ছুক হলে অনুপযুক্ত পূর্বে $P(X=q)\propto 1$ $q\in \mathbb{Q}\cap[0,1]$

— পি শ্নেল
সূত্র

ধন্যবাদ, এটিকে উপলক্ষের জন্য উপযুক্ত ঠান্ডা ঝরনার মতো দেখাচ্ছে।

— অ্যালেকোস পাপাদোপ্লোস

আরও একটি ইতিবাচক সত্য নিম্নলিখিত।
যদি আপনি প্রয়োজনীয়তাটি পরিমাপযোগ্যভাবে সংযোজনযোগ্য হওয়ার প্রয়োজনীয়তাটি ফেলে দেন এবং পরিবর্তে কেবল এটি চূড়ান্তভাবে সংযোজনীয় হতে হবে (কেবলমাত্র এই প্রশ্নের জন্য) তবে যুক্তিযুক্ত সংখ্যার জন্য উত্তরটি "হ্যাঁ" হয়।
মূলদ সংখ্যার একটি যুত গ্রুপ থেকে এক থেকে দুই মূলদ সংখ্যার যোগ করতে পারেন, একটি নিরপেক্ষ উপাদান, শূন্য, এবং যে কোনো হয় হয়েছে একটি যুত বিপরীত । এখন, কেউ যুক্তিযুক্ত টপোলজির সাথে যুক্তিযুক্ত সংখ্যাগুলি সজ্জিত করতে পারে যাতে তারা একটি বিচ্ছিন্ন গ্রুপ । (এটি গুরুত্বপূর্ণ কারণ অন্যান্য ক্ষেত্রে এটি না করা এবং তাদের উপর অন্য টোপোলজি না রাখা আরও সুবিধাজনক)) $z\in\mathbb{Q}$ $-z\in\mathbb{Q}$

একটি বিচ্ছিন্ন গোষ্ঠী হিসাবে দেখা, তারা এমনকি একটি গণনাযোগ্য বিচ্ছিন্ন গোষ্ঠী কারণ এখানে কেবল প্রচুর যুক্তিযুক্ত সংখ্যা রয়েছে।
এছাড়াও, এগুলি একটি আবেলীয় গ্রুপ কারণ যেকোনও যুক্তিযুক্ত সংখ্যার জন্য । এখন, যুক্তিযুক্ত সংখ্যা, একটি গণনামূলক বিযুক্ত গ্রুপ হিসাবে দেখা হয়, একটি অনুকূল গ্রুপ। একটি কার্যকরযোগ্য বিচ্ছিন্ন গোষ্ঠীর সংজ্ঞা জন্য এখানে দেখুন । এখানে এটি দেখানো হয়েছে যে প্রতিটি গণনামূলক অ্যাবেলিয়ান বিচ্ছিন্ন গোষ্ঠীটি উপযুক্ত। বিশেষত, এটি যৌক্তিক সংখ্যার গোষ্ঠীতে প্রযোজ্য। অতএব, একটি কার্যকরযোগ্য বিচ্ছিন্ন গোষ্ঠীর সংজ্ঞা অনুসারে, যুক্তিযুক্ত সংখ্যার উপর একটি চূড়ান্ত সংযোজনীয় সম্ভাবনা পরিমাপের উপস্থিতি রয়েছে translation যে অনুবাদ অদম্য, যার অর্থ $z +y =y+z$

$\mu$ $\mu(z + A) = \mu(A)$ কোন উপসেট এবং কোন যুক্তিসঙ্গত সংখ্যা । এই সম্পত্তিটি "অভিন্নতা" সংজ্ঞায়নের স্বজ্ঞাত উপায়টি অন্তর্ভুক্ত করে। অগত্যা সব সসীম সাব-সেট নির্বাচন উপর vanishes: সবার জন্য । যদি আপনি সম্ভাব্যতা পরিমাপের পরিবর্তে এলোমেলো পরিবর্তনশীল সন্ধান করেন তবে কেবল সম্ভাবনার পরিচয় ফাংশনটি বিবেচনা করুন । এটি এ জাতীয় প্রয়োজনীয় এলোমেলো পরিবর্তনশীল দেয়। অতএব, আপনি যদি নিজের সম্ভাবনার সংজ্ঞাটি খানিকটা শিথিল করেন তবে যুক্তি সংখ্যার জন্য ইতিবাচক উত্তর দিয়ে শেষ করবেন you সম্ভবত, অস্তিত্ব $A\subset\mathbb{Q}$ $z\in\mathbb{Q}$

$\mu$ $\mu(\{z\})=0$ $z\in\mathbb{Q}$
$(\mathbb{Q}, \mu)$

$\mu$ কিছুটা পাল্টা স্বজ্ঞাত বলে মনে হচ্ছে। করে যে কেউ এর আরও ভাল ধারণা পেতে পারেন যে প্রত্যক্ষ ফলাফলটি হ'ল যে যুক্তিযুক্ত সংখ্যার মেঝে সমান, তার অর্ধেক; এছাড়াও, বিজোড় মেঝেযুক্তদের পরিমাপ এক অর্ধেক এবং আরও অনেক কিছু। সেই পরিমাপ যে আমরা সবেমাত্র উপস্থিত হয়ে দেখিয়েছি, অগত্যা সমস্ত ইউনিটে অন্তর্বর্তীতে সমস্ত সীমাবদ্ধ সাবসেটগুলিতে (যেমন একটি অনুরূপ যুক্তি দিয়ে দেখাতে পারে) অদৃশ্য হয়ে যায়। সুতরাং, অবিলম্বে ইউনিটের বিরতিতে যুক্তিযুক্ত সংখ্যার জন্য একটি উত্তর দেয় না। কেউ ভাবেন যে উত্তরটি সমস্ত যুক্তিযুক্ত সংখ্যার পরিবর্তে ইউনিটের ব্যবধানে যুক্তিযুক্ত সংখ্যাগুলির জন্য উত্তর দেওয়া আরও সহজ তবে এটি অন্যভাবে দেখা যাচ্ছে around $\mu$
$\mu$
$\mu$
(তবে এটিও মনে হয় যে একই ইউনিট ব্যবধানে যৌক্তিক সংখ্যার সাথে একই জাতীয় বৈশিষ্ট্য সহ একটি সম্ভাব্যতা পরিমাপ করতে পারে তবে উত্তরটির পরে "অভিন্নতা" এর আরও সুনির্দিষ্ট সংজ্ঞা প্রয়োজন হতে পারে - সম্ভবত "অনুবাদ- এর পংক্তিতে কিছু" আক্রমণকারী যখনই অনুবাদ ইউনিটের ব্যবধানের বাইরে চলে না "))
আপডেট: আপনি তাত্ক্ষণিকভাবে ইউনিট অন্তর্বর্তী যুক্তিগুলির সাথে একটি পরিমাপ অর্জন করেন যা সেই অর্থে একরকম, আমরা তৈরি করলাম, যা আমরা তৈরি করেছি, যুক্তিগুলি থেকে ইউনিট অন্তর্বর্তী যুক্তিগুলিতে মানচিত্রের পাশাপাশি প্রতিটি যুক্তিটিকে এর ভগ্নাংশের অংশে মানচিত্র করে।
অতএব, সংযোজন সীমাবদ্ধ করার প্রয়োজনীয়তা শিথিল করার পরে, আপনি উল্লিখিত উভয় ক্ষেত্রেই আপনি এই জাতীয় ব্যবস্থা গ্রহণ করেন।

— ম্যাথিয়াস ফুচস
সূত্র

(+1) ধন্যবাদ ম্যাথিয়াস, এবং সিভিতে আপনাকে স্বাগতম। আপনার উত্তরটি পুরোপুরি হজম করতে আমার কিছুটা সময় লাগবে, তবে এটি একটি খুব আকর্ষণীয় পদ্ধতির।

— অ্যালেকোস পাপাদোপল্লোস