সমস্ত যুক্তি সমর্থন হিসাবে একটি স্বতন্ত্র আরভি নির্মাণ

এটি এই প্রশ্নের গঠনবাদী সিক্যুয়েল ।

আমাদের যদি ব্যবধানে সমস্ত যুক্তি সমর্থন হিসাবে আলাদা আলাদা ইউনিফর্ম র‌্যান্ডম ভেরিয়েবল না রাখতে পারি $[0,1]$ তবে তার পরের সেরাটি হ'ল:

এই সমর্থন, রয়েছে এমন একটি এলোমেলো ভেরিয়েবল করুন এবং এটি কিছু বিতরণ অনুসরণ করে । আর আমার মধ্যে কারিগর প্রয়োজন যে এই দৈব চলক হয় নির্মাণ বিদ্যমান ডিস্ট্রিবিউশন থেকে বদলে abstractly সংজ্ঞা কি আমরা প্রাপ্ত ইচ্ছা সৃষ্টি করেন। $Q$ $Q\in \mathbb{Q}\cap[0,1]$

সুতরাং আমি নিম্নলিখিত নিয়ে এসেছি:

যাক $X$ একটি বিযুক্ত র্যান্ডম পরামিতি সঙ্গে জ্যামিতিক বিতরণ-ভেরিয়েন্ট দ্বিতীয় নিম্নলিখিত ভেরিয়েবল হতে , যথা $0<p<1$

X \in {0, 1, 2, . . .}, P (X = k) = (1 - p)^{k} p, F_{X} (X) = 1 - (1 - p)^{k + 1}

$X \in \{0,1,2,...\},\;\;\;\; P(X=k) = (1-p)^kp,\;\;\; F_X(X) = 1-(1-p)^{k+1}$

এছাড়াও যাক একটি বিযুক্ত র্যান্ডম অভিন্ন পরামিতি সঙ্গে জ্যামিতিক বিতরণ-ভেরিয়েন্ট আমি নিম্নলিখিত পরিবর্তনশীল হতে , যথা $Y$ $p$

Y \in {1, 2, . . .}, P (Y = k) = (1 - p)^{k - 1} p, F_{Y} (Y) = 1 - (1 - p)^{k}

$Y \in \{1,2,...\},\;\;\;\; P(Y=k) = (1-p)^{k-1}p,\;\;\; F_Y(Y) = 1-(1-p)^k$

$X$ এবং $Y$ স্বতন্ত্র। এখন এলোমেলো পরিবর্তনশীল সংজ্ঞায়িত করুন

Q = \frac{X}{Y}

$Q = \frac {X}{Y}$

এবং শর্তযুক্ত বিতরণ বিবেচনা করুন

P (Q \leq q ∣ {X \leq Y})

$P(Q\leq q \mid \{X\leq Y\})$

আলগা কথায় "শর্তসাপেক্ষ অনুপাত উপর উপর শর্তাধীন ছোট বা বেশি সমান হচ্ছে ।" এই শর্তসাপেক্ষ বন্টন সমর্থনে হয় $Q$ $X$ $Y$ $X$ $Y$ । $\{0,1,1/2,1/3,...,1/k,1/(k+1),...,2/3,2/4,...\} = \mathbb{Q}\cap[0,1]$

"প্রশ্ন" হ'ল কেউ দয়া করে সম্পর্কিত শর্তাধীন সম্ভাব্য গণ ফাংশন সরবরাহ করতে পারেন?

একটি মন্তব্যে জিজ্ঞাসা করা হয়েছিল "এটি কি ক্লোজ-ফর্ম হওয়া উচিত"? যেহেতু আজকাল একটি বদ্ধ-রূপটি গঠন করা হয় তা এতটা পরিষ্কার নয়, আমি এটি এইভাবে রাখি: আমরা একটি কার্যকরী ফর্ম অনুসন্ধান করছি যা আমরা থেকে যুক্তিযুক্ত সংখ্যাকে ইনপুট করতে পারি এবং সম্ভাব্যতা অর্জন করতে পারি (কারওর জন্য) অবশ্যই প্যারামিটার এর নির্দিষ্ট মান ), পিএমএফের একটি সূচক গ্রাফের দিকে পরিচালিত করে। এবং তারপরে পরিবর্তিত হয় গ্রাফটি কীভাবে পরিবর্তন হয় তা দেখতে। $[0,1]$ $p$ $p$

যদি এটা সাহায্য করে, তাহলে আমরা এক বা সমর্থন খোলা উভয় সীমা করতে পারেন যদিও এই রূপের স্পষ্টভাবে করার ক্ষমতা আমাদের বঞ্চিত উপরের এবং / অথবা নিম্ন মান গ্রাফ হবে pmf । এছাড়াও, যদি আমরা দরজা খুলে দেয় ওপরের আবদ্ধ, তাহলে আমরা কন্ডিশনার ঘটনা বিবেচনা করা উচিত । $\{X<Y\}$

বিকল্পভাবে, আমি অন্য আরভি'রও এই সমর্থনটি (গুলি) স্বাগত জানাই, যতক্ষণ না তারা পিএমএফের সাথে একত্রিত হয় ।

আমি জ্যামিতিক বিতরণ ব্যবহার করেছি কারণ এটি সমর্থনে শূন্য সহ একটি সহ দুটি বৈকল্পিক সহজেই উপলভ্য হয়েছে (যাতে শূন্যের দ্বারা বিভাজন এড়ানো যায়)। স্পষ্টতই, কেউ কিছু বিচ্ছিন্ন আরভি ব্যবহার করতে পারে, কিছু ছাঁটা ব্যবহার করে।

আমি অবশ্যই এই প্রশ্নের উপর একটি অনুগ্রহ করব, কিন্তু সিস্টেম অবিলম্বে এটি অনুমতি দেয় না।

distributions mathematical-statistics

— আলেকোস পাপাদোপ্লোস
সূত্র

আপনার অর্থ

? (শর্তসাপেক্ষে কোনও র‌্যান্ডম ভেরিয়েবলের সংজ্ঞা দেওয়া কোনও অর্থবোধ করে না, আপনি কেবলমাত্র এইভাবে তার বিতরণটিকে সংজ্ঞায়িত করতে পারেন)

Q = \frac{X}{Y} 1_{{X \leq Y}}

$Q = \frac {X}{Y} {\boldsymbol 1}_{\{X\leq Y\}}$

— স্টাফেন লরেন্ট

আপনার প্রশ্নটি গণনীয়: আপনি জানেন যে এন = {1, 2, ...} এবং প্র এর মধ্যে 1-1 টি চিঠিপত্র রয়েছে you আপনি যদি এই জাতীয় কোনও চিঠিপত্র খুঁজে পান তবে সমাধানটি হবে N এর সাথে কোনও বিতরণ বেছে নেওয়া এবং এটি ব্যবহার করা to প্রের সাথে সম্পর্কিত উপাদানটি বেছে নিতে

— অ্যাড্রিয়ান

যাইহোক আপনাকে প্রতিটি অপ্রতিয়োগযোগ্য ভগ্নাংশ

জন্য

গণনা করতে হবে এবং এটি

।

P r (X / Y = p / q)

$Pr(X/Y=p/q)$

p / q

$p/q$

Pr (X = p, X = 2 p, \dots) \times Pr (Y = q, Y = 2 q, \dots)

$\Pr(X=p, X=2p, \ldots)\times\Pr(Y=q, Y=2q, \ldots)$

— স্টাফেন লরেন্ট

পিএমএফ সরবরাহের প্রয়োজনীয়তার অর্থ কী একটি বন্ধ-ফর্মের প্রয়োজন? বা, উদাহরণস্বরূপ, @ স্টাফেনলরেন্টের শর্তটি পূরণের অসীম যোগফল কি যথেষ্ট?

— জুহো কোক্কলা

যাক

এবং Y আপনার পোস্টে আরভি।

f : N \to Q \cap [0, 1]

$f: N \rightarrow \mathbb{Q}\cap[0,1]$

P r [Q = q] = P r [Y = f^{- 1} (q)]

$Pr[Q =q] = Pr[Y = f^{-1}(q)]$

— অ্যাড্রিয়ান

উত্তর:

বিযুক্ত বন্টন বিবেচনা সেটে সমর্থন $F$ সম্ভাব্যতা জনগণের সাথে $\{(p,q)\,|\, q \ge p \ge 1\}\subset \mathbb{N}^2$

F (p, q) = \frac{3}{2^{1 + p + q}} .

$F(p,q) = \frac{3}{2^{1+p+q}}.$

এটি সহজেই সংক্ষিপ্ত করা হয় (জড়িত সমস্ত সিরিজ জ্যামিতিক হয়) এটি দেখানোর জন্য এটি সত্যই একটি বিতরণ (মোট সম্ভাব্যতা unityক্য)।

যে কোনও ননজারো যুক্তিযুক্ত সংখ্যা জন্য সর্বনিম্ন শর্তাদিতে এটি উপস্থাপন করুন: যা, এবং । $x$ $a/b=x$ $b\gt 0$ $\gcd(a,b)=1$

একটি বিযুক্ত বন্টন সংঘটিত উপর নিয়ম মাধ্যমে $F$ $G$ $[0,1]\cap \mathbb{Q}$

G (x) = G (\frac{a}{b}) = \sum_{n = 1}^{\infty} F (a n, b n) = \frac{3}{2^{1 + a + b} - 2} .

$G(x) = G\left(\frac{a}{b}\right) = \sum_{n=1}^\infty F\left(an, bn\right)=\frac{3}{2^{1+a+b}-2}.$

(এবং )। এর প্রতিটি যৌক্তিক সংখ্যার ননজারো সম্ভাবনা থাকে ((যদি আপনাকে ইতিবাচক সম্ভাবনার মানগুলির মধ্যে অন্তর্ভুক্ত করতে হয় তবে কিছুটা সম্ভাব্যতা অন্য নম্বর থেকে দূরে রাখুন - মতো - এবং এটি নির্ধারণ করুন )) $G(0)=0$ $(0,1]$ $0$ $1$ $0$

এই নির্মাণ বোঝার জন্য, চিত্রটি দেখুন : $F$

[Figure of F]

সম্ভাব্যতা জনগণকে সমস্ত বিন্দুতে ধণাত্মক অবিচ্ছেদ্য স্থানাঙ্ক সহ দেয়। এরমানগুলিবৃত্তাকার চিহ্নগুলির রঙিন অঞ্চলগুলি দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা হয়। প্লটটিতে উপস্থিতস্থানাঙ্ক এবং এর সমস্ত সম্ভাব্য সংমিশ্রণের জন্যলাইনে opালু । এগুলি বর্ণের প্রতীকগুলি একইভাবে বর্ণযুক্ত: তাদের opালু অনুসারে। সুতরাং, ঢাল (যা পরিষ্কারভাবে থেকে রেঞ্জ মাধ্যমে ) এবং রং মিলাযুক্তিএর এবং মান $F$ $p,q$ $F$ $p/q$ $p$ $q$ $0$ $1$ $G$ $G$ are obtained by summing the areas of all circles lying on each line. For instance, $G(1)$ is obtained by summing the areas of all the (red) circles along the main diagonal of slope $1$ , given by $F(1,1)+F(2,2)+F(3,3)+\cdots$ = $3/8 + 3/32 + 3/128 + \cdots = 1/2$ .

This figure shows an approximation to $G$ achieved by limiting $q\le 100$ : it plots its values at $3044$ rational numbers ranging from $1/100$ through $1$ . The largest probability masses are $\frac{1}{2},\frac{3}{14},\frac{1}{10},\frac{3}{62},\frac{3}{62},\frac{1}{42},\ldots$ .

Here is the full CDF of $G$ (accurate to the resolution of the image). The six numbers just listed give the sizes of the visible jumps, but every part of the CDF consists of jumps, without exception:

— whuber
সূত্র

Thanks! I am in the process of understanding the construction. Just two questions: a)

F

$F$ is bivariate, but in the expression linking it to

G

$G$ it appears as univariate. Am I missing something? and b) Since

G

$G$ is univariate, I guess all the dots in the impressively looking first graph represent a different value on the horizontal axis (although of course this cannot be faithfully represented in such a scale), am I right?

— Alecos Papadopoulos

I was just completing a figure that might address your comment, Alecos, and have added it to the answer. Note that I could have begun with any discrete distribution

F

$F$ and constructed

G

$G$ in the same way; this particular distribution was chosen to make the calculations easy.

— whuber

Gets better and better, As for my first question in the previous comment, should it be

F (\frac{a}{b}, n)

$F\left(\frac ab,n\right)$ instead of

F (\frac{a}{b} n)

$F\left(\frac abn\right)$ ? I.e. that

p = a / b

$p=a/b$ and

q = n

$q=n$ ?

— Alecos Papadopoulos

This is a better answer than mine! I noticed two little things: I think your F(p, q) sums to 4 as written. Also in the equation below "F induces a discrete distribution G" you should have F(n a, n b) no?

— Adrian

@Adrian, Alecos Thanks for catching those typos: the

1

$1$ should be a

- 1

$-1$ and the notation for

F

$F$ obviously is incorrect. I'll fix them right away.

— whuber

I'll put my comments together and post them as an answer just for clarity. I expect you won't be very satisfied, however, as all I do is reduce your problem to another problem.

My notation:

$Q$ is a RV whose support is $\mathbb{Q}\cap\left[0,1\right]$ -- my $Q$ is not the same as the $Q$ the OP constructs from his $\frac{X}{Y}$ . We'll define this $Q$ using $Y$ and $f$ , which I introduce below.

$Y$ is any RV whose support is $\mathbb{N}\equiv\left\{1, 2, \ldots\right\}$ -- the $Y$ given by the OP would work, for example.

$f$ is any one-to-one correspondence $f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{Q}\cap\left[0,1\right]$ and $f^{-1}$ is its inverse. We know these exist.

Now I claim I can reduce your problem to just finding an $f$ and its $f^{-1}$ :

Just let $Q=f\left(Y\right)$ and you are done. The PMF of $Q$ is $\Pr[Q =q] = \Pr[Y = f^{-1}(q)]$ .

Edit:

Here is a function g that plays the role of $f$ , despite not being a one-to-one correspondence (because of duplicates):

g <- function(y) {
    y <- as.integer(y)
    stopifnot(y >= 1)
    b <- 0
    a <- 0
    for (unused_index in seq(1, y)) {
        if (a >= b) {
            b <- b+1
            a <- 0
        } else {
            a <- a+1
        }
    }
    return(sprintf("q = %s / %s", a, b))
    ## return(a / b)
}

— Adrian
সূত্র

(+1) No, I consider your approach an excellent example of how one can think and use the abstract approach in order to arrive at very applicable results and algortihms. The main point as I now understand it, is that one can obtain the desired construction by using as a functional form the pmf of any discrete distribution having support

N \equiv {1, 2, \dots}

$\mathbb{N}\equiv\left\{1, 2, \ldots\right\}$ . Of course it remains to find

f

$f$ and

f^{- 1}

$f^{-1}$ . Since you have a better understanding of this approach than I do, is the phrase "we know these exist" a polite way to say "but we have no idea how they look like"?:)

— Alecos Papadopoulos

See jcu.edu/math/vignettes/infinity.htm: you could use a similar "diagonal pattern". The difficult part is getting an expression for

f^{- 1}

$f^{-1}$ . I'm not sure how to do that, but you could ask on math.stackexchange.com (or do some more googling first).

— Adrian

In the link you provided it says at some point: "Note that it is not necessary to find a formula for the correspondence; all that is necessary is the certainty that such a correspondence exists. There are many other instances in mathematics that are like this--where the point is to show that something has to happen or that something exists, rather than to actually exhibit a formula." Well, the point in my question is to actually exhibit a formula : I called this question "constructivist" for a reason.

— Alecos Papadopoulos

I think I can provide an algorithm that would work -- I'll think about it a bit more.

— Adrian

I posted something -- lets you simulate Q, but doesn't solve the PMF issue.

— Adrian