একটি অভিজ্ঞতামূলক সিডিএফ একীকরণ

Question

আমার একটি অভিজ্ঞতা অভিজ্ঞতা । আমি নিম্নলিখিত হিসাবে এটি গণনা$G(x)$

    x <- seq(0, 1000, 0.1)
    g <- ecdf(var1)
    G <- g(x)

আমি , অর্থ হল , পিডিএফ, যখন সিডিএফ।h $h(x) = dG/dx$$h$$G$

আমি এখন একীকরণের উপরের সীমা (যেমন, ) এর জন্য একটি সমীকরণ সমাধান করতে চাই , যেমন প্রত্যাশিত মানটি কিছু ।এক্স $a$$x$$k$

এটি হল, থেকে পর্যন্ত সংহত করার জন্য আমার I । আমি জন্য সমাধান করতে চাই ।বি ∫ এক্স এইচ ( এক্স ) ডি এক্স = কে $0$$b$$\int xh(x)dx = k$$b$

অংশ দ্বারা সংহত, আমি সমীকরণ হিসাবে আবার লিখতে পারেন

$bG(b) - \int_0^b G(x)dx = k$ , যেখানে অখণ্ড $0$ থেকে $b$ ------- (1)

আমি মনে করি আমি নিম্নলিখিত হিসাবে অবিচ্ছেদ্য গণনা করতে পারি

    intgrl <- function(b) {
        z <- seq(0, b, 0.01)
        G <- g(z)
        return(mean(G))
     }

তবে যখন আমি এই ফাংশনটি সাথে ব্যবহার করার চেষ্টা করি

    library(rootSolve)
    root <- uniroot.All(fun, c(0, 1000))

যেখানে মজা এক (1), আমি নিম্নলিখিত ত্রুটি পেয়েছি

    Error in seq.default(0, b, by = 0.01) : 'to' must be of length 1  

আমি মনে করি সমস্যাটি হ'ল আমার ফাংশনটি intgrlএকটি সংখ্যাসমূহের সাথে মূল্যায়ন করা হয়, যখন uniroot.Allঅন্তরটি পেরিয়ে যায়c(0,1000)

আমি কিভাবে জন্য সমাধান করা উচিত $b$ আর এই অবস্থায়?

Answer 1

বাছাই করা ডেটাটি । গবেষণামূলক সিডিএফ বোঝার জন্য , এর মান এক বিবেচনা --let কল এটা --and যে অনুমান করা কিছু সংখ্যা এর কম এবং এর সমান । একটি বিরতি বাছুন যার মধ্যে, সমস্ত সম্ভাব্য ডেটা মানগুলির মধ্যে কেবল প্রদর্শিত হয়। তারপরে, সংজ্ঞা অনুসারে, এই ব্যবধানের মধ্যে এর চেয়ে কম সংখ্যার জন্য ধ্রুবক মান জি এক্স i$x_1 \le x_2 \le \cdots \le x_n$$G$$x_i$$\gamma$এক্স আই γ t ≥ 1 এক্স আই γ [ α , β ] γ জি কে / এন γ ( কে + টি ) / এন $k$$x_i$$\gamma$$t \ge 1$$x_i$$\gamma$$[\alpha, \beta]$$\gamma$$G$$k/n$$\gamma$এবং চেয়ে বেশি সংখ্যার জন্য ধ্রুবক মান ঝাঁপ দেয় ।$(k+t)/n$$\gamma$

ব্যবধান থেকে এর অবদান বিবেচনা করুন । যদিও একটি ফাংশন নয় - এটা আকারের একটি বিন্দু পরিমাপ এ --দী অবিচ্ছেদ্য হয় সংজ্ঞায়িত অংশ দ্বারা ইন্টিগ্রেশন মাধ্যমে এটি একটি সৎ টু ধার্মিকতা অবিচ্ছেদ্য মধ্যে রূপান্তর করবে। আসুন এটি ব্যবধানে :[ α , β ] এইচ টি / এন γ [ α , β $\int_0^b x h(x) dx$$[\alpha,\beta]$$h$$t/n$$\gamma$$[\alpha,\beta]$

$$\int_\alpha^\beta x h(x) dx = \left(x G(x)\right)\vert_\alpha^\beta - \int_\alpha^\beta G(x) dx = \left(\beta G(\beta) - \alpha G(\alpha)\right) -\int_\alpha^\beta G(x) dx.$$

নতুন সংহত, যদিও এটি গামায় বিযুক্ত নয়, সংহতযোগ্য। এর মান পূর্ববর্তী অংশগুলিতে একীকরণের ডোমেনটি ভেঙে এবং র জাম্প অনুসরণ করে সহজেই পাওয়া যায় :$\gamma$$G$

$$\int_\alpha^\beta G(x)dx = \int_\alpha^\gamma G(\alpha) dx + \int_\gamma^\beta G(\beta) dx = (\gamma-\alpha)G(\alpha) + (\beta-\gamma)G(\beta).$$

এটি পূর্বোক্তগুলিতে প্রতিস্থাপন করা এবং ফলন প্রত্যাহার করা হচ্ছে$G(\alpha)=k/n, G(\beta)=(k+t)/n$

$$\int_\alpha^\beta x h(x) dx = \left(\beta G(\beta) - \alpha G(\alpha)\right) - \left((\gamma-\alpha)G(\alpha) + (\beta-\gamma)G(\beta)\right) = \gamma\frac{t}{n}.$$

অন্য কথায়, এই অবিচ্ছেদ্য প্রতিটি জাম্পের অবস্থান ( অক্ষ বরাবর) সেই লাফের আকার দিয়ে বহুগুণ করে । জাম্পের আকার$X$

$$\frac{t}{n} = \frac{1}{n} + \cdots + \frac{1}{n}$$

values সমতুল্য প্রতিটি ডাটা মানগুলির জন্য একটি শব্দ সহ । এমন সব জাম্প থেকে অবদান যোগ করার পদ্ধতি অনুষ্ঠান$\gamma$$G$

$$\int_0^b x h(x) dx = \sum_{i:\, 0 \le x_i \le b} \left(x_i\frac{1}{n}\right) = \frac{1}{n}\sum_{x_i\le b}x_i.$$

আমরা এটি একটি "আংশিক গড়" বলতে পারি, এটি দেখলে এটি আংশিক যোগফলের সমান হয় । (দয়া করে মনে রাখবেন যে এটি কোনও প্রত্যাশা নয় It এটি অন্তর্নিহিত বিতরণের কোনও সংস্করণের প্রত্যাশার সাথে সম্পর্কিত হতে পারে যা অন্তর কেটে গেছে : আপনাকে ফ্যাক্টরটি দ্বারা প্রতিস্থাপন করতে হবে যেখানে হ'ল মধ্যে ডেটা মানগুলির সংখ্যা )$1/n$$[0,b]$$1/n$$1/m$$m$$[0,b]$

প্রদত্ত , আপনি খুঁজে পেতে চান যার জন্যকারণ আংশিক অঙ্কগুলি মানগুলির একটি সীমাবদ্ধ সেট, সাধারণত কোনও সমাধান হয় না: আপনাকে সর্বোত্তম অনুমানের জন্য নিষ্পত্তি করতে হবে, যা সম্ভব হলে দুটি আংশিক উপায়ে বন্ধনী দ্বারা পাওয়া যাবে can যে যেমন খুঁজে পেয়ে$k$$b$কে$\frac{1}{n}\sum_{x_i\le b}x_i = k.$$k$$j$

$$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{j-1} x_i \le k \lt \frac{1}{n}\sum_{i=1}^j x_i,$$

আপনি narrowed হবে থেকে ব্যবধান । আপনি ইসিডিএফ ব্যবহার করে এর চেয়ে ভাল আর কিছু করতে পারবেন না। (ইসিডিএফ-তে কিছু ধারাবাহিক বিতরণ ফিটিংয়ের মাধ্যমে আপনি সঠিক মান সন্ধান করতে পারেন) তবে এর যথার্থতা ফিটের যথার্থতার উপর নির্ভর করবে)[ এক্স জে - 1 , এক্স জ ) $b$$[x_{j-1}, x_j)$$b$

---

Rএর সাথে আংশিক যোগ গণনা সম্পাদন করে cumsumএবং whichঅনুসন্ধানগুলির পরিবার ব্যবহার করে এটি কোনও নির্দিষ্ট মানকে কোথায় অতিক্রম করে তা খুঁজে বের করে :

set.seed(17)
k <- 0.1
var1 <- round(rgamma(10, 1), 2)
x <- sort(var1)
x.partial <- cumsum(x) / length(x)
i <- which.max(x.partial > k)
cat("Upper limit lies between", x[i-1], "and", x[i])

কোনও তাত্ক্ষণিক বিতরণ থেকে আইড টানা এই উদাহরণের আউটপুট

উচ্চতর সীমা 0.39 এবং 0.57 এর মধ্যে রয়েছে

প্রকৃত মূল্য, সমাধানে হয় । রিপোর্ট করা ফলাফলগুলির সাথে এর ঘনিষ্ঠতা এই কোডটি সঠিক এবং সঠিক বলে প্রস্তাব করে। (অনেক বড় ডেটাসেট সহ সিমুলেশনগুলি এই উপসংহারে সমর্থন অব্যাহত রাখে)।$0.1 = \int_0^b x \exp(-x)dx,$$0.531812$

উল্লিখিত ড্যাশযুক্ত ধূসর রেখাগুলি হিসাবে দেখানো উপরের সীমাটির আনুমানিক মানগুলি সহ এই ডেটাগুলির জন্য অনুমিত সিডিএফ এর একটি প্লট এখানে রয়েছে :$G$

Comments

এটি একটি খুব পরিষ্কার এবং সহায়ক উত্তর, তাই আপনাকে ধন্যবাদ!

— ব্যবহারকারী46768