চরম মান তত্ত্ব - প্রদর্শন: গুম্বেল থেকে সাধারণ

সর্বোচ্চ আইআইডি স্ট্যান্ডার্ডমনোরালস এক্সট্রিম মান তত্ত্ব অনুসারে স্ট্যান্ডার্ড গম্বেল বিতরণে রূপান্তর করে । $X_1,\dots,X_n. \sim$

আমরা কীভাবে তা দেখাতে পারি?

আমাদের আছে

P (max X_{i} \leq x) = P (X_{1} \leq x, \dots, X_{n} \leq x) = P (X_{1} \leq x) \dots P (X_{n} \leq x) = F (x)^{n}

$P(\max X_i \leq x) = P(X_1 \leq x, \dots, X_n \leq x) = P(X_1 \leq x) \cdots P(X_n \leq x) = F(x)^n$

আমাদের $a_n>0,b_n\in\mathbb{R}$ ধ্রুবকের ক্রমগুলি খুঁজে পেতে / চয়ন করতে হবে যেমন:

F {(a_{n} x + b_{n})}^{n} \to^{n \to \infty} G (x) = e^{- \exp (- x)}

$F\left(a_n x+b_n\right)^n\rightarrow^{n\rightarrow\infty} G(x) = e^{-\exp(-x)}$

আপনি এটি সমাধান করতে পারেন বা এটি সাহিত্যে খুঁজে পেতে পারেন?

Pg.6 / 71 এর কয়েকটি উদাহরণ রয়েছে , তবে সাধারণ ক্ষেত্রে নয়:

Φ {(a_{n} x + b_{n})}^{n} = {(\frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{- \infty}^{a_{n} x + b_{n}} e^{- \frac{y^{2}}{2}} d y)}^{n} \to e^{- \exp (- x)}

$\Phi\left(a_n x+b_n\right)^n=\left(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{a_n x+b_n} e^{-\frac{y^2}{2}}dy\right)^n\rightarrow e^{-\exp(-x)}$

— emcor
সূত্র

উত্তর:

একটি পরোক্ষ উপায়, নিম্নরূপ:
একেবারে অবিচ্ছিন্ন বিতরণের জন্য, রিচার্ড ভন মাইসেস (১৯৩36 সালের একটি গবেষণাপত্রে "লা ডিস্ট্রিবিউশন লা লা প্লাস গ্র্যান্ডে দে এন ভ্যালার্স" - যা ইংরেজিতে পুনরুত্পাদন হয়েছে বলে মনে হয়?) - নির্বাচিত একটি ১৯64৪ সংস্করণে তার কাগজপত্রগুলি, স্ট্যান্ডার্ড গম্বেল, রূপান্তর করতে স্যাম্পল সর্বাধিকের জন্য নিম্নলিখিত পর্যাপ্ত শর্ত সরবরাহ করেছে : $G(x)$

যাক এর সাধারণ বণ্টনের ফাংশনের হতে র্যান্ডম ভেরিয়েবল IID এবং তাদের সাধারণ ঘনত্ব। তাহলে, যদি $F(x)$ $n$ $f(x)$

lim_{x \to F^{- 1} (1)} (\frac{d}{d x} \frac{(1 - F (x))}{f (x)}) = 0 \Rightarrow X_{(n)} \overset{d}{\to} G (x)

$\lim_{x\rightarrow F^{-1}(1)}\left (\frac d{dx}\frac {(1-F(x))}{f(x)}\right) =0 \Rightarrow X_{(n)} \xrightarrow{d} G(x)$

স্ট্যান্ডার্ড স্বাভাবিকের জন্য সাধারণ স্বরলিপি ব্যবহার করে এবং ডেরাইভেটিভের গণনা করা, আমাদের কাছে রয়েছে

\frac{d}{d x} \frac{(1 - Φ (x))}{ϕ (x)} = \frac{- ϕ (x)^{2} - ϕ^{'} (x) (1 - Φ (x))}{ϕ (x)^{2}} = \frac{- ϕ^{'} (x)}{ϕ (x)} \frac{(1 - Φ (x))}{ϕ (x)} - 1

$\frac d{dx}\frac {(1-\Phi(x))}{\phi(x)} = \frac {-\phi(x)^2-\phi'(x)(1-\Phi(x))}{\phi(x)^2} = \frac {-\phi'(x)}{\phi(x)}\frac {(1-\Phi(x))}{\phi(x)}-1$

দ্রষ্টব্য যে ।এছাড়াও, সাধারণ বিতরণের জন্য, । সুতরাং আমাদের সীমাটি মূল্যায়ন করতে হবে $\frac {-\phi'(x)}{\phi(x)} =x$ $F^{-1}(1) = \infty$

lim_{x \to \infty} (x \frac{(1 - Φ (x))}{ϕ (x)} - 1)

$\lim_{x\rightarrow \infty}\left (x\frac {(1-\Phi(x))}{\phi(x)}-1\right)$

কিন্তু মিল এর অনুপাত, এবং আমরা জানি যে আদর্শ স্বাভাবিক জন্য মিল এর অনুপাত থাকে যেমন বৃদ্ধি। সুতরাং $\frac {(1-\Phi(x))}{\phi(x)}$ $1/x$ $x$

lim_{x \to \infty} (x \frac{(1 - Φ (x))}{ϕ (x)} - 1) = x \frac{1}{x} - 1 = 0

$\lim_{x\rightarrow \infty}\left (x\frac {(1-\Phi(x))}{\phi(x)}-1\right) = x\frac {1}{x}-1= 0$

এবং পর্যাপ্ত শর্তটি সন্তুষ্ট।

সম্পর্কিত সিরিজটি

a_{n} = \frac{1}{n ϕ (b_{n})}, b_{n} = Φ^{- 1} (1 - 1 / n)

$a_n = \frac 1{n\phi(b_n)},\;\;\; b_n = \Phi^{-1}(1-1/n)$

অভিযোজ্য বস্তু

এটি সিএইচ থেকে এসেছে। এইচএ ডেভিড এবং এইচএন নাগরাজ (2003) বইয়ের 10.5 , "অর্ডার স্ট্যাটিস্টিকস" (3 ডি সংস্করণ) ।

$\xi_a = F^{-1}(a)$ । এছাড়াও, De Haan রেফারেন্স "Haan, এলডি (1976) নমুনা চরমে: একটি প্রাথমিক ভূমিকা Statistica Neerlandica, 30 (4), 161-172।।। " কিন্তু হুঁশিয়ার স্বরলিপি কিছু বিভিন্ন সামগ্রী নেই কারণ De Haan - বইয়ে উদাহরণস্বরূপ সময়ের মধ্যে, সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশন de Haan ফাংশন মানে বই (অর্থাত মিল এর অনুপাত) দিয়ে। এছাড়াও, ডি হান ইতিমধ্যে পৃথক হওয়া পর্যাপ্ত শর্তটি পরীক্ষা করে। $f(t)$ $f(t)$ $w(t)$

এখানে চিত্র বর্ণনা লিখুন

— আলেকোস পাপাদোপ্লোস
সূত্র

আমি আপনার সমাধানটি বুঝতে পেরেছি তা সম্পর্কে আমি নিশ্চিত নই। তাই আপনি যদি গ্রহণ আদর্শ স্বাভাবিক সিডিএফ যাবে। আমি অনুসরণ করে এবং সম্মত হয়েছি যে পর্যাপ্ত শর্তটি সন্তুষ্ট। কিন্তু কিভাবে সংশ্লিষ্ট সিরিজ এবং আকস্মিক ঐ কর্তৃক প্রদত্ত সবাই?

F

$F$

a_{n}

$a_n$

b_{n}

$b_n$

— রেন্টারহেমস্টার

@renrenthehamster আমার মনে হয় এই দুটি অংশ স্বাধীনভাবে বর্ণিত হয়েছে (সরাসরি সংযোগ নেই)।

— emcor

এবং সুতরাং কীভাবে সম্পর্কিত সিরিজ পাওয়া যেতে পারে? যাইহোক, আমি এই সমস্যাটি সম্পর্কে একটি প্রশ্ন খুলেছি (এবং আরও সাধারণভাবে, সাধারণ সাধারণের বাইরে অন্য বিতরণের জন্য)

— রেন্টারহেমস্টার

@renrenthehamster আমি প্রাসঙ্গিক উপাদান যুক্ত করেছি। আমি বিশ্বাস করি না এই সিরিজগুলি সন্ধানের জন্য সব ক্ষেত্রেই একটি স্ট্যান্ডার্ড রেসিপি রয়েছে।

— অ্যালেকোস পাপাদোপ্লোস

প্রশ্ন দুটি জিনিস জিজ্ঞেস করল: (1) কিভাবে দেখাতে হবে যে সর্বাধিক এগোয় অর্থে যে এগোয় (বিতরণে) উপযুক্ত মনোনীত সিকোয়েন্স জন্য এবং , স্ট্যান্ডার্ড বিতরণ এবং (২) কীভাবে এই ক্রমগুলি সন্ধান করতে হয় $X_{(n)}$ $(X_{(n)}-b_n)/a_n$ $(a_n)$ $(b_n)$

প্রথমটি ফিশার-টিপপেট-গেনিডেনকো উপপাদ্য (এফটিজি) এর মূল কাগজগুলিতে সুপরিচিত এবং নথিভুক্ত। দ্বিতীয়টি আরও কঠিন বলে মনে হয়; এখানেই বিষয়টি বিবেচনা করা হচ্ছে।

দয়া করে নোট করুন, এই থ্রেডে অন্য কোথাও উপস্থিত থাকার জন্য কিছু যুক্তি স্পষ্ট করতে to

সর্বাধিক কোনও কিছুর সাথে রূপান্তর হয় না : এটি ডাইভারেজ করে (যদিও খুব ধীরে ধীরে)।
গুম্বল বিতরণ সম্পর্কিত বিভিন্ন কনভেনশন রয়েছে বলে মনে হয়। আমি কনভেনশনটি গ্রহণ করব যে বিপরীত গুম্বল বিতরণের সিডিএফ দ্বারা দেওয়া স্কেল এবং অবস্থান পর্যন্ত । যথাযথ মানকযুক্ত আইডির সর্বোচ্চ মান একটি বিপরীত গুম্বেল বিতরণে রূপান্তর করে। $1-\exp(-\exp(x))$

স্বজ্ঞা

যখন সাধারণ বিতরণ ফাংশন সাথে হয় , সর্বাধিক the এর বিতরণ হয় $X_i$ $F$ $X_{(n)}$

F_{n} (x) = Pr (X_{(n)} \leq x) = Pr (X_{1} \leq x) Pr (X_{2} \leq x) \dots Pr (X_{n} \leq x) = F^{n} (x) .

$F_n(x) = \Pr(X_{(n)}\le x) = \Pr(X_1 \le x)\Pr(X_2 \le x) \cdots \Pr(X_n \le x) = F^n(x).$

সাধারণ বিতরণের মতো সমর্থনটির যখন কোনও উচ্চতর আবদ্ধ থাকে না, তখন ফাংশনের ক্রম limit সীমা ছাড়াই চিরতরে ডানদিকে অগ্রসর হয়: $F$ $F^n$

চিত্র 1

for এর জন্য আংশিক গ্রাফগুলি দেখানো হয়েছে। $F_n$ $n=1,2,2^2, 2^4, 2^8, 2^{16}$

অধ্যয়ন আকার এই ডিস্ট্রিবিউশন এর, আমরা কিছু পরিমাণ দ্বারা প্রতিটি এক ফিরে বামে নামান করতে এবং তাই দিয়েই rescale তাদের তুলনীয় না। $b_n$ $a_n$

চিত্র ২

পূর্ববর্তী গ্রাফগুলির প্রত্যেককে তার মাঝারিটি এ স্থাপন করতে এবং এর ইউনিট দৈর্ঘ্যের আন্তঃখন্ডিত পরিসীমা তৈরি করতে স্থানান্তরিত করা হয়েছে । $0$

এফটিজি দাবি করে যে ক্রমগুলি এবং বেছে নেওয়া যেতে পারে যাতে এই বিতরণ ফাংশনগুলি প্রতি এ সাথে কিছু চূড়ান্ত মান বিতরণে স্কেল এবং অবস্থান পর্যন্ত রূপান্তর করে । যখন একটি সাধারণ বিতরণ হয় তখন নির্দিষ্ট সীমিত চূড়ান্ত মান বিতরণ হ'ল বিপরীত গুম্বেল, অবস্থান এবং স্কেল পর্যন্ত to $(a_n)$ $(b_n)$ $x$ $F$

সমাধান

এটি ইউনিট গড় এবং একক বৈকল্পিককরণের জন্য মানক করে কেন্দ্রীয় সীমাবদ্ধ উপপাদ্য অনুকরণ করতে হয়। এটি অনুপযুক্ত, যদিও একাংশ, কারণ এফটিজি এমনকি (অবিচ্ছিন্ন) বিতরণগুলিতে প্রযোজ্য যার কোনও প্রথম বা দ্বিতীয় মুহূর্ত নেই। পরিবর্তে, স্থান নির্ধারণ করতে পার্সেন্টাইল (যেমন মিডিয়ান) এবং পার্সেন্টাইলের পার্থক্য (যেমন আইকিউআর) নির্ধারণ করতে ব্যবহার করুন spread (এই সাধারণ পদ্ধতির কোনও অবিচ্ছিন্ন বিতরণের জন্য এবং সফল হওয়া উচিত )) $F_n$ $a_n$ $b_n$

স্ট্যান্ডার্ড সাধারণ বিতরণের জন্য, এটি সহজ হতে পারে! যাক । একটি সমাংশক সংশ্লিষ্ট কোনো মান যার জন্য । এর সংজ্ঞাটি , সমাধানটি $0 \lt q \lt 1$ $F_n$ $q$ $x_q$ $F_n(x_q) = q$ $F_n(x) = F^n(x)$

x_{q; n} = F^{- 1} (q^{1 / n}) .

$x_{q;n} = F^{-1}(q^{1/n}).$

সুতরাং আমরা সেট করতে পারেন

b_{n} = x_{1 / 2; n}, a_{n} = x_{3 / 4; n} - x_{1 / 4; n}; G_{n} (x) = F_{n} (a_{n} x + b_{n}) .

$b_n = x_{1/2;n},\ a_n = x_{3/4;n} - x_{1/4;n};\ G_n(x) = F_n(a_n x + b_n).$

কারণ, নির্মাণ দ্বারা, মধ্যমা হয় এবং তার IQR হয় , এর সীমিত মূল্যের মধ্যমা (ক বিপরীত Gumbel কিছু সংস্করণ যা) হবে এবং তার IQR হতে হবে । স্কেল প্যারামিটারটি এবং অবস্থানের প্যারামিটারটি । যেহেতু মিডিয়ান হ'ল এবং আইকিউআর সহজেই তাই প্যারামিটারগুলি অবশ্যই হবে $G_n$ $0$ $1$ $G_n$ $0$ $1$ $\beta$ $\alpha$ $\alpha + \beta \log\log(2)$ $\beta(\log\log(4) - \log\log(4/3))$

α = \frac{\log \log 2}{\log \log (4 / 3) - \log \log (4)}; β = \frac{1}{\log \log (4) - \log \log (4 / 3)} .

$\alpha = \frac{\log\log 2}{\log\log(4/3) - \log\log(4)};\ \beta = \frac{1}{\log\log(4) - \log\log(4/3)}.$

এটা প্রয়োজনীয় নয় এবং হতে ঠিক এই মান: তারা শুধুমাত্র তাদের প্রদান সীমা আনুমানিক দরকার এখনও এই Gumbel বন্টন বিপরীত। সাধারণ স্ট্যান্ডার্ড জন্য সোজা (তবে ক্লান্তিকর) বিশ্লেষণটি অনুমান করে যে $a_n$ $b_n$ $G_n$ $F$

a_{n}^{'} = \frac{\log ((4 \log^{2} (2)) / (\log^{2} (\frac{4}{3})))}{2 \sqrt{2 \log (n)}}, b_{n}^{'} = \sqrt{2 \log (n)} - \frac{\log (\log (n)) + \log (4 π \log^{2} (2))}{2 \sqrt{2 \log (n)}}

$a_n^\prime = \frac{\log \left(\left(4 \log^2(2)\right)/\left(\log^2\left(\frac{4}{3}\right)\right)\right)}{2\sqrt{2\log (n)}},\ b_n^\prime = \sqrt{2\log (n)}-\frac{\log (\log (n))+\log \left(4 \pi \log ^2(2)\right)}{2 \sqrt{2\log (n)}}$

ভাল কাজ করবে (এবং যতটা সম্ভব সহজ)

চিত্র 3

হালকা নীল রেখাচিত্র আংশিক গ্রাফ হয় জন্য আনুমানিক সিকোয়েন্স ব্যবহার এবং । গা red় লাল রেখার গ্রাফগুলি প্যারামিটার এবং দিয়ে বিপরীত গম্বেল বিতরণ । রূপান্তরটি পরিষ্কার (যদিও নেতিবাচক জন্য রূপান্তর হারটি ধীরে ধীরে ধীরে)। $G_n$ $n=2, 2^6, 2^{11}, 2^{16}$ $a_n^\prime$ $b_n^\prime$ $\alpha$ $\beta$ $x$

তথ্যসূত্র

বিভি গ্যানেডেনকো, একটি এলোমেলো সিরিজের সর্বোচ্চ মেয়াদের সীমাবদ্ধ বিতরণে । কোটজ ও জনসনে, স্ট্যাটিস্টিক্স প্রথম খণ্ডে ব্রেকথ্রুস: ফাউন্ডেশনস এবং বেসিক থিওরি, স্প্রিংগার, 1992. নরম্যান জনসন অনুবাদ করেছেন।

— whuber
সূত্র

@ ভোসলার অ্যালেকোসের পোস্টের সূত্রটি এর কে ইনফটি হিসাবে রূপান্তর করে । এটি বড় জন্য like এর মতো আচরণ করে ।

a_{n}

$a_n$

0

$0$

n \to \infty

$n\to\infty$

{(2 \log (n) - \log (2 π))}^{- 1 / 2}

$\left(2 \log(n) - \log(2\pi)\right)^{-1/2}$

n

$n$

— whuber

হ্যাঁ, এটা সত্য, আমি আমার মন্তব্য পোস্ট করার পরেই আমি এটি বুঝতে পেরেছিলাম তাই আমি তা অবিলম্বে এটি মুছলাম। ধন্যবাদ!

— ভোসলার

@Jess আমি আশা করছিলাম যে, এই উত্তর দেখাচ্ছে অন্যান্য বিষয়ের মধ্যে বোঝা যাবে, যেমন "" সূত্র যেমন জিনিস নেই: এর জন্য uncountably অনেক সঠিক সূত্র আছে এবং

a_{n}

$a_n$

b_{n} .

$b_n.$

— হুড়াহুড়ি

@ জেস এটি আরও ভাল, কারণ বিকল্প পদ্ধতির প্রদর্শন করাই ছিল উত্তরটি লেখার প্রেরণা। আমি আপনার অন্তর্নিহিত বুঝতে পারি না যে আমি এটিকে "একটি উত্তর লেখার পক্ষে অকেজো" বলে বিবেচনা করেছি কারণ এখানে আমি যা করেছি তা স্পষ্টভাবে এটি।

— হোয়াট

@ জেস আমি এই কথোপকথনটি চালিয়ে যেতে পারছি না কারণ এটি সম্পূর্ণ একতরফা: আপনার কোনও বৈশিষ্ট্যে আমি যা লিখেছি তা আমি এখনও চিনতে পারি নি। আমি পিছনে থাকাকালীন ছাড়ছি।

— হুড়াহুড়ি