পিডিএফ এবং পিএমএফ এবং সিডিএফ একই তথ্য রয়েছে?

Question

পিডিএফ এবং পিএমএফ এবং সিডিএফ একই তথ্য রয়েছে?

আমার জন্য পিডিএফ একটি সম্পূর্ণ পয়েন্টে সম্পূর্ণ সম্ভাবনা দেয় (মূলত সম্ভাবনার অধীনে অঞ্চল)।

পিএমএফ একটি নির্দিষ্ট পয়েন্টের সম্ভাবনা দেয়।

সিডিএফ একটি নির্দিষ্ট পয়েন্টের অধীনে সম্ভাব্যতা দেয়।

সুতরাং আমার কাছে পিডিএফ এবং সিডিএফ একই তথ্য রয়েছে, তবে পিএমএফের কারণ এটি xবিতরণে কোনও পয়েন্টের সম্ভাবনা দেয় ।

Answer 1

সম্ভাব্যতা ফাংশন এবং ঘনত্ব * এর মধ্যে যেখানে পার্থক্য তৈরি করা হয়, সেখানে পিএমএফ কেবল বিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের ক্ষেত্রে প্রযোজ্য, যখন পিডিএফ অবিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের ক্ষেত্রে প্রযোজ্য।

* আনুষ্ঠানিক পদ্ধতি উভয়কেই পরিবেষ্টন করতে পারে এবং তাদের জন্য একটি শব্দ ব্যবহার করতে পারে

সিডিএফ কোনও পিডিএফ বা পিএমএফ নেই এমন কোনও র্যান্ডম ভেরিয়েবলের জন্য প্রযোজ্য।

( মিশ্র বিতরণ কেবলমাত্র এমন বিতরণের ক্ষেত্রে নয় যা পিডিএফ বা পিএমএফ নেই, তবে এটি একটি যুক্তিসঙ্গত সাধারণ পরিস্থিতি - উদাহরণস্বরূপ, একদিনে বৃষ্টিপাতের পরিমাণ বা দাবিতে যে পরিমাণ অর্থ প্রদান করা হয়েছে তা বিবেচনা করুন) একটি সম্পত্তি বীমা নীতি, যার মধ্যে একটি শূন্য-স্ফীত ক্রমাগত বিতরণ দ্বারা মডেল করা যেতে পারে)

এলোমেলো ভেরিয়েবল এর সিডিএফ পি দেয় ( এক্স ≤ এক্স $X$$P(X\leq x)$

বিচ্ছিন্ন র‌্যান্ডম ভেরিয়েবল জন্য পিএমএফ , পি ( এক্স = এক্স ) দেয় ।$X$$P(X=x)$

পিডিএফ নিজেই সম্ভাব্যতা দেয় না , তবে আপেক্ষিক সম্ভাব্যতা দেয়; অবিচ্ছিন্ন বিতরণ পয়েন্ট সম্ভাবনা নেই। পিডিএফএস থেকে সম্ভাব্যতা পেতে আপনার কিছু বিরতিতে সংহত করতে হবে - বা দুটি সিডিএফ মানের একটি পার্থক্য নেওয়া উচিত।

'তারা কি একই তথ্য রাখে' এই প্রশ্নের উত্তর দেওয়া কঠিন কারণ এটি আপনার অর্থের উপর নির্ভর করে। আপনি পিডিএফ থেকে সিডিএফ (সংহতকরণের মাধ্যমে), এবং পিএমএফ থেকে সিডিএফ (সংক্ষেপণের মাধ্যমে), এবং সিডিএফ থেকে পিডিএফ (পার্থক্যের মাধ্যমে) এবং সিডিএফ থেকে পিএমএফ (বিচ্ছিন্নতার মাধ্যমে) যেতে পারেন, তাই যদি কোনও পিএমএফ বা পিডিএফ উপস্থিত থাকে, এটি সিডিএফ হিসাবে একই তথ্য রয়েছে।

Comments

গ্লেন, আপনি "পিডিএফ আপেক্ষিক সম্ভাব্যতা প্রদান" সম্পর্কে পড়তে পারেন এমন কিছু রেফারেন্স সরবরাহ করে সহায়তা করতে পারেন? এটি খুব আকর্ষণীয় এবং আমার বইগুলিতে এটি দেখে মনে নেই। ধন্যবাদ।

— অ্যালেকোস পাপাদোপল্লোস

@ অ্যালোকোস এটি খুব সহজেই (সম্ভবত খারাপ শব্দযুক্ত) একটি ব্যাখ্যা যা হওয়ার পরেও সম্ভাবনা নয়, কারণ f ( x $f(x)$ হ'ল ( x , x + d x ) থাকার সম্ভাবনা , তখন f ( x ) / g ( x ) এর সম্ভাবনা অনুপাত হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে যে ঘনত্ব চ এর সাথে একটি পরিবর্তনশীলখুব অল্প দূরত্বে থাকেঘনত্ব জি সহ একটি ভেরিয়েবলএকই ব্যবধানে x এর অনুপাতের সাথে x সেই অর্থে এটি 'আপেক্ষিক সম্ভাবনা' প্রকাশ করে। $f(x)\,dx$$(x,x+dx)$$f(x)/g(x)$$f$$x$$g$

— গ্লেন_বি -রিনস্টেট মনিকা

আমি দেখি. এটি সম্ভাবনার অনুপাতের একটি অনুমান হিসাবে অবশ্যই কার্যকর, এবং অবশ্যই অনুভূতিক ঘনত্বের কার্যগুলিতে উপস্থিত রয়েছে, যেখানে জিনিসগুলি প্রয়োজনীয়তার দ্বারা পৃথক।

— অ্যালেকোস পাপাদোপল্লোস

Answer 2

পিএমএফগুলি বিচ্ছিন্ন এলোমেলো ভেরিয়েবল, পিডিএফগুলি ক্রমাগত এলোমেলো ভেরিয়েবলের সাথে যুক্ত। জন্য কোন এলোপাতাড়ি ভেরিয়েবলের র্যান্ডম ধরন, সিডিএফ সবসময় বিদ্যমান (এবং অদ্বিতীয়), হিসাবে সংজ্ঞায়িত এখন, এলোমেলো ভেরিয়েবল এক্স এর সমর্থন সেটটির উপর নির্ভর করে , ঘনত্ব (বা ভর ফাংশন) থাকার প্রয়োজন নেই। ( ক্যান্টর সেট এবং ক্যান্টর ফাংশন বিবেচনা করুন , সেটটি ইউনিট ইন্টারভালের ১/৩ কেন্দ্রটি সরিয়ে পুনরাবৃত্তভাবে সংজ্ঞায়িত করা হবে, তারপরে অন্তরগুলির জন্য পদ্ধতিটি পুনরাবৃত্তি করুন (0, 1/3) এবং (2/3, 1), ইত্যাদি) ফাংশনটি সি ( এক্স) হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়

$$F_X(x) = P\{X \leq x\}.$$ $X$ , যদি এক্স ক্যান্টর সেট হয়, এবং সর্বশ্রেষ্ঠ ক্যান্টর সেটে আবদ্ধ LOWER যদি এক্স সদস্য নন।) ক্যান্টর ফাংশন একটি পুরোপুরি ভালো বন্টন ফাংশন, আপনি যদি ট্যাক উপর সি ( এক্স ) = 0 হলে x < 0 এবং সি ( x ) = 1 যদি 1 < x হয় । তবে এই সিডিএফটির কোনও ঘনত্ব নেই: সি ( এক্স ) সর্বত্র অবিচ্ছিন্ন তবে এর ডেরাইভেটিভ প্রায় সর্বত্রই 0 is কোনও কার্যকর পরিমাপের ক্ষেত্রে কোনও ঘনত্ব নেই।$C(x) = x$$x$$x$$C(x)= 0$$x < 0$$C(x) = 1$$1 < x$$C(x)$

সুতরাং, আপনার প্রশ্নের উত্তর হ'ল, যদি কোনও ঘনত্ব বা ভর ফাংশন বিদ্যমান থাকে, তবে এটি কিছু পরিমাপের ক্ষেত্রে সিডিএফের একটি অনুক্রম। সেই অর্থে, তারা "একই" তথ্য বহন করে। কিন্তু, পিডিএফ এবং পিএমএফগুলির অস্তিত্ব থাকতে হবে না। সিডিএফ অবশ্যই থাকতে হবে।

Comments

ডেনিস, আপনি কি " কোনও উপায়ে সম্মানের সাথে ঘনত্ব নেই " এই বাক্যটি দিয়ে কী বোঝাতে চেয়েছেন তা পরিষ্কার করে বলতে পারেন ? অবশ্যই এটি নিজের সম্মানের সাথে একটি ঘনত্ব (অভিন্ন!) রয়েছে।

— কার্ডিনাল

@ কার্ডিনাল: আমি চেষ্টা করব, তবে আমি জানি না যে আপনি যদি কিছু বাস্তব বিশ্লেষণ না করেন তবে তা কার্যকর হবে। আপনি যদি গাণিতিক পরিসংখ্যান (যেমন, ফ্রয়েন্ডের গাণিতিক পরিসংখ্যান ) সম্পর্কিত কিছু পুরানো বইগুলি দেখেন, আপনি পিএমএফগুলি "ঘনত্ব" হিসাবে উল্লেখ করেছেন দেখতে পাবেন। নাম "ঘনত্ব" সম্ভাব্যতা পরিমাপ দ্বারা সমর্থন করা হয় measureable স্থান ( Ω , σ ( Ω ) , μ ) সিডিএফ ভিত্তিতে (যোয়েল এর মন্তব্য দেখুন)। ঘনত্ব রাডন-Nikodym ব্যুৎপন্ন হয় μ কিছু পরিমাপ (সাধারণত Lesbesgue পরিমাপ বা কাউন্টিং পরিমাপ) থেকে সম্মান সঙ্গে। এই ক্ষেত্রে, সি ( এক্স $\mu$$(\Omega, \sigma(\Omega), \mu)$$\mu$$C(x)$কোনও আরএন ডেরিভেটিভ নেই।

— ডেনিস

@cardinal (ক্রমাগত): সম্ভাব্যতা পরিমাপ ক্যান্টর সেটে অভিন্ন, কিন্তু এই এতো অদ্ভুত Beastie যে আমি এমনকি নিশ্চিত নই -algebra দেখে মনে হচ্ছে। সম্ভবত আমার বলা উচিত ছিল, "কোনও কার্যকর পরিমাপের ক্ষেত্রে কোনও ঘনত্ব নেই" " $\sigma$

— ডেনিস

Answer 3

অন্যান্য উত্তরগুলি এই সত্যটি নির্দেশ করে যে সিডিএফগুলি মৌলিক এবং এটি অবশ্যই উপস্থিত থাকতে পারে, যেখানে পিডিএফ এবং পিএমএফগুলি অগত্যা উপস্থিত থাকে না এবং থাকে না।

এটি আমাকে বিভ্রান্ত করেছে এবং উদ্দীপনা জাগিয়ে তোলে (একটি অ-পরিসংখ্যানবিদ হিসাবে), যখন আমি নমুনা স্থানটির আদেশ না দেওয়া হয়েছিল তখন সিডিএফ (বা এটি কীভাবে থাকতে পারে) ব্যাখ্যা করতে পারি না; উদাহরণস্বরূপ, এর বৃত্তটি সম্পর্কে ভাবেন ।$S^1$

আমার কাছে মনে হচ্ছে এর উত্তরটি হ'ল মৌলিক ফাংশন হ'ল সম্ভাবনা পরিমাপ , যা নমুনা জায়গার প্রতিটি (বিবেচিত) সাবসেটকে সম্ভাব্যতার মানচিত্র করে। তারপরে, যখন সেগুলি উপস্থিত থাকে, সিডিএফ, পিডিএফ এবং পিএমএফ সম্ভাব্যতা পরিমাপ থেকে উত্থিত হয়।

Comments

আমি এটি যেভাবে দেখেছি, বেশিরভাগ পাঠ্য বই "নমুনা স্থান থেকে আসল সংখ্যার জন্য ম্যাপিং হতে" র্যান্ডম ভেরিয়েবল "সংজ্ঞায়িত করে। মূলত, একটি "র্যান্ডম ভেরিয়েবল" আসল-মূল্যবান।

— নিল জি

সম্ভাব্যতার জায়গাতে এবং ( Ω , σ ( Ω ) , μ ) থেকে দূরে যাওয়ার জন্য আমরা এলোমেলো পরিবর্তনগুলি ব্যবহার করি । Well ভাল অর্ডার দেওয়া হতে পারে বা নাও হতে পারে এবং এটি মোকাবেলা করতে ব্যথা করে। আমি মনে করি আপনি ঠিক বলেছেন যে μ আরও মৌলিক: সর্বোপরি, এফ এক্স ( এক্স ) = μ { $(\mathbb{R}, \frak{B}, \mathrm{F})$$(\Omega, \sigma(\Omega), \mu)$$\Omega$$\mu$ $$F_X(x) = \mu\{\omega\, |\, X(\omega) \leq x\}.$$