সিডিএফ একটি শক্তি উত্থাপিত?

যদি $F_Z$ কোনও সিডিএফ হয় তবে মনে হয় $F_Z(z)^\alpha$ ( $\alpha \gt 0$ ) এছাড়াও একটি সিডিএফ।

প্রশ্ন: এটি কি স্ট্যান্ডার্ড ফলাফল?

প্রশ্ন: একটি ভালো উপায় একটি ফাংশন খুঁজে পেতে $g$ সঙ্গে $X \equiv g(Z)$ St $F_X(x) = F_Z(z)^\alpha$ , যেখানে $x \equiv g(z)$

মূলত, আমি হাতের কাছে পাইনে সিডিএফ, have $F_Z(z)^\alpha$ । কিছু হ্রাস আকারে আমি যে সিডিএফ উত্পাদন করে র্যান্ডম ভেরিয়েবল বৈশিষ্ট্যযুক্ত করতে চাই।

সম্পাদনা: বিশেষত জন্য বিশ্লেষণাত্মক ফলাফল পেতে পারলে আমি খুশি হব $Z \sim N(0,1)$ । বা কমপক্ষে জেনে থাকুন যে এই জাতীয় ফলাফলটি অক্ষম।

data-transformation cdf quantile-function

— lowndrul
সূত্র

হ্যাঁ, এটি একটি বেশ সুপরিচিত ফলাফল এবং সাধারণীকরণ করা সহজ। (কীভাবে?) আপনি

g

$g$ , কমপক্ষে অন্তর্নিহিতভাবেও খুঁজে পেতে পারেন । এটি মূলত একটি স্বেচ্ছাসেবী বিতরণের এলোমেলো রূপগুলি উত্পন্ন করতে সাধারণত ব্যবহৃত বিপরীতমুখী কৌশলটির একটি প্রয়োগ।

— কার্ডিনাল

দয়া করে উত্তর দিন। দলটি পরে অভিযোগ করছে যে আমরা কম জবাব অনুপাতের সাথে লড়াই করছি না।

@ এমবিকিউ: আপনার মন্তব্যের জন্য ধন্যবাদ, যা আমি বুঝি এবং শ্রদ্ধা করি। দয়া করে বুঝতে পারেন যে কখনও কখনও সময় এবং / অথবা স্থানের বিবেচনা আমাকে উত্তর পোস্ট করার অনুমতি দেয় না, তবে একটি দ্রুত মন্তব্য করার অনুমতি দেয় যা ওপি বা অন্যান্য অংশগ্রহণকারীদের শুরু হতে পারে। আশ্বাস দিন, এগিয়ে গিয়ে আমি যদি উত্তর পোস্ট করতে সক্ষম হয় তবে আমি তা করব do আশা করি মন্তব্যের মাধ্যমে আমার অবিচ্ছিন্ন অংশগ্রহণও ঠিকঠাক হবে।

— কার্ডিনাল

@ কার্ডিনাল আমাদের কারও কারও জন্য একই কারণ, একই কারণে দোষী ...

— হুঙ্কার

@ ব্রায়ানজিডি হ্যাঁ, এটি একটি সুপরিচিত ফলাফল যা শিল্পজাতভাবে "সাধারণীকরণ" বিতরণ উত্পাদন করতে ব্যবহৃত হয়েছে, দেখুন । এটির মতো অনেকগুলি রূপান্তর রয়েছে এবং লোকেরা তাদের এ উদ্দেশ্যে ব্যবহার করে: তারা একটি প্যারাম্যাট্রিক রূপান্তর খুঁজে পায়, এটি একটি বিতরণ এবং voilá এ প্রয়োগ করে, আপনার কেবল একটি কাগজ রয়েছে কেবলমাত্র এর বৈশিষ্ট্য গণনা করে। এবং অবশ্যই, স্বাভাবিকটিই প্রথম 'শিকার'।

উত্তর:

আমি অন্যান্য উত্তরগুলি পছন্দ করি তবে এখনও কেউ নিচেরটি উল্লেখ করেনি। ইভেন্ট ঘটে এবং যদি কেবলমাত্র , তাই যদি এবং স্বতন্ত্র এবং তবে $\{U \leq t,\ V\leq t \}$ $\{\mathrm{max}(U,V)\leq t\}$ $U$ $V$ $W = \mathrm{max}(U,V)$ তাই জন্য একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা (বলুন, ) নিতে যেখানে 'র দ্বারা IID $F_{W}(t) = F_{U}(t)*F_{V}(t)$ $\alpha$ $\alpha = n$ $X = \mathrm{max}(Z_{1},...Z_{n})$ $Z$

জন্য আমরা পেতে switcheroo করতে , তাই যে দৈব চলক যেমন যে এর সর্বোচ্চ হবে স্বাধীন কপি হিসাবে একই ডিস্ট্রিবিউশন আছে (এবং এই আমাদের পরিচিত এক বন্ধু হবে না , সাধারণভাবে)। $\alpha = 1/n$ $F_{Z} = F_{X}^n$ $X$ $n$ $Z$

ক্ষেত্রে একটি ইতিবাচক মূলদ সংখ্যা (বলুন, ) যেহেতু পূর্ববর্তী থেকে অনুসরণ করে $\alpha$ $\alpha = m/n$

{({এফ}_{জেড})}^{মি / এন} = {({এফ}_{জেড}^{1 / এন})}^{মি} ।

$\left(F_{Z}\right)^{m/n} = \left(F_{Z}^{1/n}\right)^{m}.$

জন্য একটি অযৌক্তিক ইতিবাচক rationals একটা ক্রম চয়ন সমকেন্দ্রি করার ; তারপরে ক্রম (যেখানে আমরা প্রতিটি জন্য আমাদের উপরের কৌশলগুলি ব্যবহার করতে পারি ) পছন্দসই বিতরণে রূপান্তরিত হবে । $\alpha$ $a_{k}$ $\alpha$ $X_{k}$ $k$ $X$

এটি আপনি যে বৈশিষ্ট্যটির সন্ধান করছেন তা নাও হতে পারে তবে এটি কীভাবে ভাবেন সে সম্পর্কে কিছুটা ধারণা দেয় জন্য উপযুক্ত সুন্দর। অন্যদিকে, আমি সত্যিই নিশ্চিত হতে পারি না যে এটি আসলেই কতটা ভাল পেতে পারে: আপনার কাছে ইতিমধ্যে সিডিএফ রয়েছে, তাই শৃঙ্খলা নিয়ম আপনাকে পিডিএফ দেয় এবং আপনি সূর্য অস্তমিত হওয়া অবধি মুহুর্ত গণনা করতে পারবেন ...? এটা সত্য সবচেয়ে যে 'র একটি থাকবে না যে জন্য পরিচিত $F_{Z}^{\alpha}$ $\alpha$ $Z$ $X$ , তবে আমি আকর্ষণীয় কিছুসন্ধানেরজন্য উদাহরণের সাথে খেলতে চাইলে আমি,সাথে ইউনিট ব্যবধানেসমানভাবে বিতরণ করারচেষ্টা করতে পারি। $\alpha = \sqrt{2}$ $Z$ $F(z) = z$ $0<z<1$

সম্পাদনা: আমি @ জেএমএস উত্তরে কিছু মন্তব্য লিখেছিলাম, এবং আমার পাটিগণিত সম্পর্কে একটি প্রশ্ন ছিল, তাই আমি আরও আশাবাদী হয়ে কী বোঝাতে চেয়েছি তা লিখব।

@ জেডএমএস উত্তরের মন্তব্যে @ কার্ডিনাল সঠিকভাবে লিখেছেন যে সমস্যাটি বা আরও সাধারণভাবে যখন অগত্যা , তখন সহজ হয় আছে

ছ^{- 1} (Y) = Φ^{- 1} (Φ^{α} (Y)),

$g^{-1}(y) = \Phi^{-1}(\Phi^{\alpha}(y)),$

Z

$Z$

N (0, 1)

$N(0,1)$

এক্স = ছ^{- 1} (Y) = {এফ}^{- 1} ({এফ}^{α} (Y)) ।

$x = g^{-1}(y) = F^{-1}(F^{\alpha}(y)).$ আমার বক্তব্যটি ছিল যে যখন

একটি সুন্দর বিপরীত ফাংশন থাকে আমরা কেবলমাত্র বুনিয়াদি বীজগণিত সহ

ফাংশনটি সমাধান করতে পারি । আমি মন্তব্যে লিখেছেন

হওয়া উচিত

F

$F$

y = g (x)

$y = g(x)$

g

$g$

Y = ছ (এক্স) = {এফ}^{- 1} ({এফ}^{1 / α} (এক্স)) ।

$y = g(x) = F^{-1}(F^{1/\alpha}(x)).$

আসুন একটি বিশেষ কেস নেওয়া যাক, জিনিসগুলি প্লাগ ইন করুন এবং দেখুন এটি কীভাবে কাজ করে। সিডিএফ এবং বিপরীতমুখী সিডিএফ সহ (1) বিতরণ করা যাক সন্ধানের জন্য সমস্ত কিছু প্লাগ করা সহজ ; কাজ শেষ হয়ে গেলে আমরা পাই $X$

এফ (এক্স) = (1 - ই^{- এক্স}), এক্স > 0,

$F(x) = (1 - \mathrm{e}^{-x}),\ x > 0,$

F^{- 1} (y) = - \ln (1 - y) .

$F^{-1}(y) = -\ln(1 - y).$

g

$g$

সুতরাং, সংক্ষেপে, আমার দাবিটি যদি

এবং আমরা

সংজ্ঞায়িত করি তবে

তারপরে

সিডিএফ থাকবে যা দেখতে

y = g (x) = - \ln (1 - (1 - e^{- x})^{1 / α})

$y = g(x) = -\ln \left( 1 - (1 - \mathrm{e}^{-x})^{1/\alpha} \right)$

X \sim E x p (1)

$X \sim \mathrm{Exp}(1)$

Y = - \ln (1 - (1 - e^{- X})^{1 / α}),

$Y = -\ln \left( 1 - (1 - \mathrm{e}^{-X})^{1/\alpha} \right),$

Y

$Y$

আমরা এটি সরাসরি প্রমাণ করতে পারি (

এবং এক্সপ্রেশনটি পেতে বীজগণিত ব্যবহার করতে পারি, শেষ ধাপের পরবর্তীটিতে আমাদের সম্ভাব্য ইন্টিগ্রাল ট্রান্সফর্ম দরকার)। আমি যে পাগল হয়ে গেছি (প্রায়শই পুনরাবৃত্তি হয়) সে ক্ষেত্রে ডাবল-চেক করার জন্য কিছু সিমুলেশন চালিয়েছি যা এটি কাজ করে, ... এবং তা ঘটে। নিচে দেখ. কোডটি সহজ করার জন্য আমি দুটি তথ্য ব্যবহার করেছি:

F_{Y} (y) = {(1 - e^{- y})}^{α} .

$F_{Y}(y) = \left( 1 - \mathrm{e}^{-y} \right)^{\alpha}.$

P (Y \leq y)

$P(Y \leq y)$

If X \sim F then U = F (X) \sim U n i f (0, 1) .

$\mbox{If $X \sim F$ then $U = F(X) \sim \mathrm{Unif}(0,1)$.}$

যদি ইউ ~ ইউ এন আমি চ (0, 1) তারপর {ইউ}^{1 / α} ~ বি ই টি একটি (α, 1) ।

$\mbox{If $U \sim \mathrm{Unif}(0,1)$ then $U^{1/\alpha} \sim \mathrm{Beta}(\alpha,1)$.}$

সিমুলেশন ফলাফলের প্লটটি অনুসরণ করে।

ECDF এবং F আলফাতে

প্লট (বিয়োগের লেবেল) তৈরি করতে ব্যবহৃত আর কোডটি

n <- 10000; alpha <- 0.7
z <- rbeta(n, shape1 = alpha, shape2 = 1)
y <- -log(1 - z)
plot(ecdf(y))
f <- function(x) (pexp(x, rate = 1))^alpha
curve(f, add = TRUE, lty = 2, lwd = 2)

ফিট বেশ ভাল দেখাচ্ছে, আমার মনে হয়? হয়তো আমি পাগল নই (এবার)?

@ জেএমএস উত্তরে আমার মন্তব্য দেখুন। জন্য

Z \sim N (0, 1)

$Z\sim N(0,1)$ দেখে মনে হচ্ছে উত্তরটি আছে

g (z) = Φ^{- 1} (Φ^{1 / α} (z))

$g(z) = \Phi^{-1}(\Phi^{1/\alpha}(z))$ যা বন্ধ রূপ নয় তবে সহজেই যথেষ্ট পরিমাণে গণনা করা যায়। এবং বিপরীত সিডিএফ-এ ইনপুটটি উপযুক্তভাবে নির্বাচিত বিটা বিতরণ তা স্বীকৃতি দিয়ে আপনি এটি আরও সহজ করে তুলতে পারেন। বিপরীতমুখী সিডিএফ সুন্দর ক্ষেত্রে উত্তরগুলি দুর্দান্ত হবে এবং আশেপাশে চলছে এমন কয়েকটি রয়েছে।

আপনার পাটিগণিত ডাবল চেক করা ভাল হবে।

— কার্ডিনাল

@ কার্ডিনাল এরর ... ঠিক আছে, আমি করেছি, ... এবং ঠিক আছে? আপনি দয়া করে ত্রুটিটি নির্দেশ করুন?

(+1) দুঃখিত। আমি যখন এটি প্রথম দেখলাম তখন আমার মাথা কোথায় ছিল তা আমি নিশ্চিত নই। এটি স্পষ্টতই (ভাল, হওয়া উচিত ছিল!) সঠিক।

— কার্ডিনাল

পছন্দ করেছেন আমি স্বীকার করি, যদিও, আপনি সত্যিই আমাকে এক মিনিটের জন্য ঘামছিলেন! :-)

কথা ছাড়া প্রমাণ

এখানে চিত্র বর্ণনা লিখুন

নীচের নীল বক্ররেখা হয় $F$ , উপরের লাল বক্ররেখা হয় $F^\alpha$ (কেস টাইপ করা হচ্ছে) $\alpha \lt 1$ ), এবং তীরগুলি কীভাবে যেতে হবে তা দেখায় $z$ প্রতি $x = g(z)$ ।

— whuber
সূত্র

সুন্দর ছবি! প্রশ্ন: এটি কি আঁকা ছিল? TikZ?

— নিম্নমানের

@ ব্রায়ানজিডি: যদি আমি মনে করি, @ হুবুথ ম্যাথমেটিকা ব্যবহার করে তার অনেক প্লট করেন।

— কার্ডিনাল

@ কার্ডিনালাল আপনি ঠিক বলেছেন আসলে, আমি যা কিছু সুবিধাজনক তা ব্যবহার করি এবং দেখে মনে হয় এটি দ্রুত কোনও ভাল কাজ করবে। এফডব্লিউআইডাব্লু, এখানে কোডটি রয়েছে:

Module[ {y, w, a = 0.1, z = 3.24, f = ChiDistribution[7.6], xmin=0, xmax=5}, y = CDF[f,z]; w = InverseCDF[f, y^(1/a)]; Show[ Plot[{CDF[f, x],CDF[f,x]^a} , {x, xmin, xmax}, Filling->{1->{2}}], Graphics[{ Dashed, Arrow[{{z,0}, {z,y}}],  Arrow[{{z,y}, {w,y}}], Arrow[{{w,y}, {w,0}}] }] ] ]

— হুবুহু

প্র 1) হ্যাঁ। এটি ভেরিয়েবলগুলি উত্পন্ন করার জন্য দরকারী যা স্টোকাস্টিকিক অর্ডার দেওয়া হয়; আপনি এটি @ ভুবারের সুন্দর ছবি :) থেকে দেখতে পারেন। $\alpha>1$ স্টোকাস্টিক অর্ডার অদলবদল করে।

এটি একটি বৈধ সিডিএফ প্রয়োজনীয় শর্তাদি যাচাই করার বিষয় মাত্র: $F_z(z)^\alpha$ হতে হয়েছে cadlag , nondecreasing এবং সীমা $1$ অনন্ত এবং $0$ নেতিবাচক অনন্ত সময়ে। $F_z$ এই বৈশিষ্ট্যগুলি তাই এটি দেখানো সহজ।

প্রশ্ন 2) বিশ্লেষণাত্মকভাবে এটির মতো বেশ শক্ত হবে বলে মনে হচ্ছে $F_Z$ বিশেষ

— JMS
সূত্র

@ জেএমএস: কি সম্পর্কে?

Z \sim N (0, 1)

$Z \sim N(0,1)$ ?

— নিম্নমানের

@ ব্রায়ানজিড: আমি এটি বিশ্বাস করি না। দিন

g

$g$ একটি অবিচ্ছিন্নভাবে কঠোর একঘেয়ে ফাংশন হতে (তাই, একটি ভাল সংজ্ঞায়িত বিপরীতমুখী থাকার

g^{- 1}

$g^{-1}$ ) যা আপনার শর্তগুলি সন্তুষ্ট করে। তারপরে, এটি অবশ্যই হবে

Φ^{α} (u) = P (g (Z) \leq u) = P (Z \leq g^{- 1} (u)) = Φ (g^{- 1} (u))

$\renewcommand{\Pr}{\mathbb{P}}\Phi^{\alpha}(u) = \Pr(g(Z) \leq u) = \Pr( Z \leq g^{-1}(u)) = \Phi(g^{-1}(u))$ এবং তাই

g^{- 1} (u) = Φ^{- 1} (Φ^{α} (u))

$g^{-1}(u) = \Phi^{-1}(\Phi^{\alpha}(u))$ । সুতরাং বিপরীতটি মোটামুটি সুস্পষ্টভাবে চিহ্নিত করা হয়েছে, তবে তা নয়

g

$g$ নিজেই। এটি সম্পর্কে আমার আগের মন্তব্যে আমি বোঝাতে চাইছি

g

$g$ স্পষ্টভাবে পাওয়া যাচ্ছে ।

— কার্ডিনাল

@ ব্রায়ানজিড - @ কার্ডিনাল যা বলেছে :) আমি এর জন্য একটি বিশেষ মামলার কথা ভাবতেও পারিনি

F_{Z}

$F_Z$ যেখানে আপনি একটি বদ্ধ ফর্ম পাবেন (অবশ্যই এটির একটি নেই)।

— জেএমএস 23

@JMS:

Z \sim U [0, 1]

$Z \sim \mathcal{U}[0,1]$ একটি ইতিবাচক উদাহরণ হতে হবে।

— কার্ডিনাল

@ কার্ডিনাল আমি কখনই এ জাতীয় বিরল বিতরণ সম্পর্কে ভাবিনি ... তবে এখন আপনি এটির উল্লেখ করেছেন

B e t a (a, 1)

$Beta(a, 1)$ আপনাকে একটি ফিরিয়ে দিয়ে সাধারণভাবে কাজ করা উচিত

B e t a (a α, 1)

$Beta(a\alpha, 1)$ ।

— জেএমএস