একতরফা কলমোগোরভ-স্মারনভ পরীক্ষা থেকে এবং of এর দ্বি-নমুনা সিডিএফ কী ?

আমি বুঝতে প্রাপ্ত কিভাবে চেষ্টা করছি জন্য -values একতরফা Kolmogorov-Smirnov পরীক্ষা , এবং CDFs এটি সংগ্রাম করছি এবং দ্বি-নমুনা ক্ষেত্রে। এক-নমুনা ক্ষেত্রে এর সিডিএফ হিসাবে নীচে কয়েকটি জায়গায় উদ্ধৃত করা হয়েছে : $p$ $D^{+}_{n_{1},n_{2}}$ $D^{-}_{n_{1},n_{2}}$ $D^{+}_{n}$

p_{n}^{+} (x) = P (D_{n}^{+} \geq x | H_{0}) = x \sum_{j = 0}^{⌊ n (1 - x) ⌋} (\binom{n}{j}) {(\frac{j}{n} + x)}^{j - 1} {(1 - x - \frac{j}{n})}^{n - j}

$p^{+}_{n}\left(x\right) = \text{P}\left(D^{+}_{n} \ge x | \text{H}_{0}\right) = x\sum_{j=0}^{\lfloor n\left(1-x\right)\rfloor}{ \binom{n}{j} \left(\frac{j}{n}+x\right)^{j-1}\left(1 - x - \frac{j}{n}\right)^{n-j}}$

এছাড়াও, হোবার সেজে এই এক-নমুনা সিডিএফটির কিছুটা আলাদা সূত্র রয়েছে (আমি এখানে আমার সংখ্যার সাথে সঙ্গতি রাখার জন্য তার উদ্ধৃতিতে -এর জন্য প্রতিস্থাপন করছি ): $x$ $t$

সম্ভাবনা ইন্টিগ্রাল ট্রান্সফর্ম ব্যবহার করে ডোনাল্ড নুথ তাদের (সাধারণ) বিতরণ পি। 57 এবং টিএওসিপি 2 খণ্ডের 17 টি অনুশীলন করুন I

(D_{n}^{+} \leq \frac{x}{\sqrt{n}}) = \frac{x}{n^{n}} \sum_{c \leq k \leq x} (\binom{n}{k}) {(k - x)}^{k} {(x + n - k)}^{n - k - 1}

$\left(D^{+}_{n}\le \frac{x}{\sqrt{n}}\right)=\frac{x}{n^{n}}\sum_{c\le k\le x}\binom{n}{k}\left(k-x\right)^{k}\left(x+n-k\right)^{n-k-1}$

এটি এক-নমুনা ক্ষেত্রে একতরফা অনুমানের ক্ষেত্রে প্রযোজ্য, যেমন: H $_{0}\text{: }F(x)-F_{0} \le 0$ , যেখানে $F(x)$ সিডিএফ এর $x$ , এবং $F_{0}$ কিছু সিডিএফ হয়।

আমি মনে করি যে এক্ষেত্রে $x$ হ'ল কারও নমুনায় এর মান $D^{+}_{n}$ এবং $\lfloor n\left(1-x\right)\rfloor$ হল এর বৃহত্তম পূর্ণসংখ্যা $n-nx$ । (এটা কি সঠিক?)

কিন্তু যখন কারও দুটি নমুনা থাকে তখন (বা ) এর কী? উদাহরণস্বরূপ, যখন H এবং এবং এর অভিজ্ঞতামূলক সিডিএফ জন্য ? কীভাবে ? $D^{+}_{n_{1},n_{2}}$ $D^{-}_{n_{1},n_{2}}$ $_{0}\text{: }F_{A}(x)-F_{B}(x) \le 0$ $A$ $B$ $p^{+}_{n_{1},n_{2}}$

self-study kolmogorov-smirnov cdf

— অ্যালেক্সিস
সূত্র

ঠিক এই প্রশ্নের উত্তর দেওয়ার জন্য যে কেউ চেয়েছিলেন তার পয়েন্টার হিসাবে - অ্যালেক্সিসের পূর্ববর্তী প্রশ্নের আমার উত্তরটির (যা উপরের প্রশ্নে লিঙ্কযুক্ত) ইতিহাসের কিছু আলোচনার সাথে বেশ কয়েকটি প্রাসঙ্গিকতার সাথে লিঙ্ক রয়েছে, প্রত্যেকটিরই বেশ কয়েকটি প্রাসঙ্গিক উল্লেখ রয়েছে। আপনি সেই দস্তাবেজগুলি এবং তাদের উল্লেখের তালিকাটি পরীক্ষা করতে পছন্দ করতে পারেন।

— গ্লেন_বি -রিনস্টেট মনিকা

@ গ্লেন_বি আপনাকে ধন্যবাদ! আমি আমার অন্যান্য প্রশ্নের আপনার দুর্দান্ত উত্তরের সত্যই প্রশংসা করেছি এবং উদ্ধৃত সংস্থানগুলি অনুসরণ করেছি, তবে সেখানে for এর জন্য আমি সিডিএফটিতে কোনও সন্ধান পাইনি , এবং মন্তব্যগুলি ছড়িয়ে দেওয়ার পরিবর্তে আমি ভেবেছিলাম যে আমি কেবল একটি নতুন কোয়েরি খুলব । অতিরিক্ত রেফারেন্স স্বাগত জানায়, যদি আপনি এটির পক্ষে কাজ করেন তবে তা জানুন।

D^{+}

$D^{+}$

— অ্যালেক্সিস

আলেকিসিস: আমার মন্তব্য দ্বারা কোনও সমালোচনা করা হয়নি; আপনার একটি নতুন প্রশ্ন খোলার পছন্দটি ঠিক সঠিক ছিল (আমার মতে)। আমি প্রাসঙ্গিক কিছু রেফারেন্সগুলি সন্ধানের জন্য কেবলমাত্র লোকদের সামান্য লেগওয়ার্ক সংরক্ষণ করতে চেয়েছিলাম - আমি বুঝতে পেরেছিলাম যে অন্যের প্রশ্নের সাথে আপনার লিঙ্কটি অনুসরণ করা অগত্যা প্রত্যেকেরই ঘটতে পারে না, এবং আমার লিঙ্কগুলিতে যারা লিঙ্কগুলি করেছিল তাদের ক্ষেত্রে এটি ঘটতে পারে না উত্তরে তাদের কিছু তথ্যসূত্র রয়েছে যা তারা জানতে চাইতে পারে।

— গ্লেন_বি -রিনস্টেট মনিকা

ঠিক আছে, আমি এই সময়ে একটি ছুরিকাঘাত করতে যাচ্ছি। সমালোচনামূলক অন্তর্দৃষ্টি স্বাগত।

পৃষ্ঠা 192 গিবনস এবং চক্রবর্তী (1992), উদ্ধৃত Hodges, 1958, একটি ছোট নমুনা দুটি একতরফা পরীক্ষার জন্য সিডিএফ শুরু (সঠিক?) (আমি তাদের সোয়াপিং করছি এবং জন্য স্বরলিপি যথাক্রমে এবং ): $m,n$ $d$ $n_{1},n_{2}$ $x$

P (D_{n_{1}, n_{2}} \geq x) = 1 - P (D_{n_{1}, n_{2}} \leq x) = 1 - \frac{A (n_{1}, n_{2})}{(\binom{n_{1} + n_{2}}{n_{1}})}

$\text{P}{\left(D_{n_{1},n_{2}}\ge x\right)} = 1 - \text{P}\left(D_{n_{1},n_{2}} \leq x\right)=1-\frac{A\left(n_{1},n_{2}\right)}{\binom{n_{1}+n_{2}}{n_{1}}}$

যেখানে উত্স থেকে বিন্দুতে এক পথের ( এবং একঘেয়েভাবে বৃদ্ধি মাধ্যমে উত্পাদিত হয় একটি গ্রাফের মাধ্যমে জন্য — প্রতিস্থাপন সহ একটি গ্রাফের মাধ্যমে x -axis এবং y -axis এর মানগুলি এবং । পাথগুলি অবশ্যই সীমানার ভিতরে থাকার সীমাবদ্ধতা মেনে চলবে (যেখানে কোলমোগোরভ-স্মারনভ পরীক্ষার পরিসংখ্যানের মান): $A\left(n_{1},n_{2}\right)$ $n_{1}$ $n_{2}$ $\left(n_{1},n_{2}\right)$ $S_{m}(x)$ $F_{n_{1}}(x)$ $n_{1}F_{1}\left(x\right)$ $n_{2}F_{2}\left(x\right)$ $x$

\frac{n_{2}}{n_{1}} \pm \frac{(n_{1} + n_{2}) x}{(\binom{n_{1} + n_{2}}{n_{1}})}

$\frac{n_{2}}{n_{1}} \pm \frac{\left(n_{1}+n_{2}\right)x}{\binom{n_{1}+n_{2}}{n_{1}}}$

নীচে তাদের চিত্রটি চিত্র 3.2 এ-এর জন্য উদাহরণ প্রদান করে , এর সাথে 12 টি পাথ রয়েছে: $A(3,4)$

গিবনস এবং চক্রবর্তী (1992) ননপ্যারামেট্রিক স্ট্যাটিস্টিকাল ইনফারেন্সের 193 পৃষ্ঠা থেকে চিত্র 3.2।

গিবনস এবং চাকাবোর্তি আরও বলেছে যে একতরফা ভ্যালু একই গ্রাফিকাল পদ্ধতিটি ব্যবহার করে প্রাপ্ত হয়েছে, তবে এবং কেবলমাত্র নীচের সীমানা দিয়ে জন্য উপরের। $p$ $D^{+}_{n_{1},n_{2}}$ $D^{-}_{n_{1},n_{2}}$

এই ছোট নমুনা পন্থাগুলি পথের অঙ্কের অ্যালগোরিদম এবং / বা পুনরাবৃত্ত সম্পর্কগুলিকে অন্তর্ভুক্ত করে, যা নিঃসন্দেহে অ্যাসিম্পটোটিক গণনাকে আকাঙ্ক্ষিত করে। গিবনস এবং চক্রবর্তীটি সিডিএফগুলিকে ডি_ এন_ এবং পদ্ধতির অনন্ত হিসাবেও নোট করে : $n_{1}$ $n_{2}$ $D_{n_{1},n_{2}}$

lim_{n_{1}, n_{2} \to \infty} P (\sqrt{\frac{n_{1} n_{2}}{n_{1} + n_{2}}} D_{n_{1}, n_{2}} \leq x) = 1 - 2 \sum_{i = 1}^{\infty} {(- 1)}^{i - 1} e^{- 2 i^{2} x^{2}}

$\lim_{n_{1},n_{2}\to \infty}\text{P}\left(\sqrt{\frac{n_{1}n_{2}}{n_{1}+n_{2}}}D_{n_{1},n_{2}} \le x\right) = 1 - 2\sum_{i=1}^{\infty}{\left(-1\right)^{i-1}e^{-2i^{2}x^{2}}}$

এবং তারা (বা ) এর সীমাবদ্ধ সিডিএফ দেয় : $D^{+}_{n_{1},n_{2}}$ $D^{-}_{n_{1},n_{2}}$

lim_{n_{1}, n_{2} \to \infty} P (\sqrt{\frac{n_{1} n_{2}}{n_{1} + n_{2}}} D_{n_{1}, n_{2}}^{+} \leq x) = 1 - e^{- 2 x^{2}}

$\lim_{n_{1},n_{2}\to \infty}\text{P}\left(\sqrt{\frac{n_{1}n_{2}}{n_{1}+n_{2}}}D^{+}_{n_{1},n_{2}} \le x\right) = 1 - e^{-2x^{2}}$

যেহেতু এবং strictly strictly কঠোরভাবে অ-নেতিবাচক, তাই সিডিএফ কেবল চেয়ে বেশি শূন্যের মান নিতে পারে : $D^{+}$ $D^{-}$ $[0,\infty)$

$$ ডি ^ {+} $ (বা $ ডি ^ {-} $) এর সিডিএফ$

তথ্যসূত্র
গিবনস, জেডি এবং চক্রবর্তী, এস (1992)। ননপ্যারমেট্রিক স্ট্যাটিস্টিকাল ইনফারেন্স । মার্সেল ডেকার, ইনক। তৃতীয় সংস্করণ, সংশোধিত এবং প্রসারিত সংস্করণ।

হজস, জেএল (1958)। সিমিরনভ দ্বি-নমুনা পরীক্ষার তাত্পর্যপূর্ণতা। আরকিভ ফরে ম্যাটাম্যাটিক । 3 (5): 469--486।

— অ্যালেক্সিস
সূত্র

আসল সিডিএফ সর্বত্র বিদ্যমান, তবে জন্য সিডিএফ শূন্য হবে; আপনি যে কার্যকরী ফর্মটি দিয়েছেন তা কেবলমাত্র জন্য প্রযোজ্য (এটি সাধারণ

(- \infty, 0)

$(-\infty,0)$

x \geq 0

$x\geq 0$

P (D^{+} < 0)

$P(D^+<0)$

— যুক্তিতে প্রযোজ্য