টুপি ম্যাট্রিক্সের গুরুত্ব কী,

Question

টুপি ম্যাট্রিক্সের গুরুত্ব কী,$H=X(X^{\prime}X )^{-1}X^{\prime}$রিগ্রেশন বিশ্লেষণে ?

এটি কি কেবল সহজ গণনার জন্য?

Comments

এছাড়াও, আপনি দয়া করে আরও নির্দিষ্ট হতে পারে?

— স্টিভ এস

@ স্টিভস আসলে আমি জানতে চাই কেন আমাদের টুপি ম্যাট্রিক্স দরকার?

— ব্যবহারকারী 31466

আপনি কী জিজ্ঞাসা করছেন আমাদের কেন ম্যাট্রিক্সের জন্য একটি বিশেষ নাম / প্রতীক (অর্থাত্ "টুপি ম্যাট্রিক্স", " এইচ ") থাকা দরকার বা আপনি ডান পাশের ম্যাট্রিক্স পণ্যটির গুরুত্ব সম্পর্কে আরও জিজ্ঞাসা করছেন?

— স্টিভ এস

Answer 1

লিনিয়ার রিগ্রেশন অধ্যয়নের ক্ষেত্রে, প্রাথমিক সূচনা পয়েন্ট হ'ল ডেটা উত্পন্নকরণ প্রক্রিয়া $\textbf{y= XB + u} \quad$ যেখানে এবং । সর্বনিম্ন স্কোয়ারের মানদণ্ডকে হ্রাস করার পরে, একটি জন্য একটি অনুমানকারী , যেমন । প্রাথমিক সূত্রে অনুমানকারীকে করার পরে ডেটা উত্পন্নকরণের প্রক্রিয়াটির রৈখিক মডেল হিসাবে কেউ । এখন, কেউ জন্য অনুমানকারীকে বিকল্প হিসাবে স্থান দিতে পারে এবং$\textbf{u} \sim N(0,\sigma^2 \boldsymbol I)$$\textbf{X}$$\widehat {\textbf{B} }$$\textbf{B}$$\widehat {\textbf{B}}= ( \textbf{X} ' \textbf{X})^{-1}\textbf{X} '\textbf{y}$$\widehat {\textbf{y}}=\textbf{X}\widehat {\textbf{B}}$$\widehat {\textbf{B}}$$\widehat {\textbf{y}}=\textbf{X}( \textbf{X} ' \textbf{X})^{-1}\textbf{X} '\textbf{y}.$

সুতরাং, আসলে একটি প্রজেকশন ম্যাট্রিক্স। আপনি সমস্ত ভেরিয়েবল নেওয়া কল্পনা । ভেরিয়েবলগুলি ভেক্টর এবং একটি স্প্যান স্প্যান করে। তাই, আপনি সংখ্যাবৃদ্ধি যদি দ্বারা , আপনি আপনার পর্যবেক্ষিত মান প্রকল্প স্থান যে ভেরিয়েবল দ্বারা দৃশ্যও হয় সম্মুখের । এটি জন্য একটি অনুমান দেয় এবং এ কারণেই এটিকে হ্যাট ম্যাট্রিক্স বলা হয় এবং কেন এর এত গুরুত্ব দেওয়া। সর্বোপরি, লিনিয়ার রিগ্রেশন প্রজেকশন ছাড়া আর কিছুই নয় এবং প্রজেকশন ম্যাট্রিক্সের সাহায্যে আমরা কেবলমাত্র জন্য গণনা করতে পারি না$\textbf{H} = \textbf{X}( \textbf{X} ' \textbf{X})^{-1}\textbf{X} '$$\textbf{X}$$\textbf{H}$$\textbf{y}$$\textbf{y}$$\textbf{X}$$\textbf{y}$$\textbf{y}$তবে for এর জন্যও এবং উদাহরণস্বরূপ এটি সত্যিই সাধারণত বিতরণ করা হয়েছে কিনা তা পরীক্ষা করতে পারে।$\textbf{u}$

আমি ইন্টারনেটে এই সুন্দর ছবিটি পেয়েছি এবং এটি এই অভিক্ষেত্রটি কল্পনা করে। দয়া করে মনে রাখবেন পরিবর্তে ব্যবহার করা হয় । , চিত্রটি ত্রুটির শর্তগুলির ভেক্টরকে জোর দেয় প্রজেকশনটির সাথে এবং তাই জন্য অনুমানের সাথে সম্পর্কিত নয়$\beta$$\textbf{B}$$\textbf{y}$

Answer 2

টুপি ম্যাট্রিক্স কয়েকটি কারণে খুব কার্যকর:

1. having থাকার পরিবর্তে আমরা পাই যেখানে টুপি ম্যাট্রিক্স। এটি আমাদের দেয় যে the পর্যবেক্ষণকৃত মানগুলির একটি লিনিয়ার ম্যাপিং।$\widehat{y}=Z\widehat{\beta}$$\widehat{y}=Py$$P$$\widehat{y}$
2. টুপি ম্যাট্রিক্স থেকে , এটা অবশিষ্টাংশ নিরূপণ করা সহজ । আমরা দেখতে পাচ্ছি যে ।$P$$\widehat{\epsilon}$$\widehat{\epsilon}=y-\widehat{y}=y-Py=\left(I_n-P\right)y$

Answer 3

এটি Ax = b এর "নিকটতম" সমাধান সন্ধানের বাইরে আর কিছুই নয় যেখানে খ ক এর কলাম স্পেসে নেই, আমরা খ কলামের স্পেসে প্রজেক্ট করব এবং এক্স (টুপি) = p এর জন্য সমাধান করব যেখানে পি এর বি প্রক্ষেপণ কলাম স্থান

Comments

এই সব কখনও গণনা ছাড়াই করা যেতে পারে $H$।

— শুক্র