বর্গাকার গামার প্রত্যাশা

Question

যদি গামা বিতরণ এবং দিয়ে প্যারামিটারাইজড হয় তবে:$\alpha$$\beta$

$$E(\Gamma(\alpha, \beta)) = \frac{\alpha}{\beta}$$

আমি একটি বর্গাকার গামার প্রত্যাশা গণনা করতে চাই, এটি হ'ল:

$$E(\Gamma(\alpha, \beta)^2) = ?$$

আমি মনে করি এটি হ'ল:

$$E(\Gamma(\alpha, \beta)^2) = \left(\frac{\alpha}{\beta}\right)^2 + \frac{\alpha}{\beta^2}$$

এই উত্তরোত্তরটি সঠিক কিনা তা কি কেউ জানেন?

Comments

এটি এমন একটি সিমুলেশন অধ্যয়নের সাথে সম্পর্কিত ছিল যেখানে আমি গামা থেকে মানক বিচ্যুতিগুলি আঁকছি যেখানে আমি কাজ করছি এবং তারপরে পরিবর্তনের অর্থটি (অর্থাৎ স্কোয়ার্ড গ্যামাস) চেয়েছিলাম।

— জোশুয়া

Answer 1

যেকোন এলোমেলো ভেরিয়েবলের বর্গক্ষেত্রের প্রত্যাশা হ'ল তার বৈকল্পিক প্লাস এর প্রত্যাশা যেমন স্কোয়ার হয়

।$\mathbb{D}^2(X)=\mathbb{E}([X-\mathbb{E}(X)]^2)=\mathbb{E}(X^2)-[\mathbb{E}(X)]^2 \Rightarrow \mathbb{E}(X^2) = \mathbb{D}^2(X)+[\mathbb{E}(X)]^2$

প্রত্যাশা -distribution উপরের হিসাবে parametrized হয় α / β (আপনার পছন্দের উল্লিখিত), ভ্যারিয়েন্স হয় α / β 2 , অত তার স্কোয়ারের প্রত্যাশা$\Gamma$$\alpha/\beta$ $\alpha/\beta^2$

।$(\alpha/\beta)^2+\alpha/\beta^2$

যে: আপনি ঠিক বলেছেন।

Comments

আমি প্রতিক্রিয়াটির প্রশংসা করি, যদিও আমি নিশ্চিত নই যে আমি আপনার সমীকরণটি অনুসরণ করছি --- আপনি যদি ডি 2 (এক্স) এর মাধ্যমে এটি অনুসরণ করেন তবে ডি 2 (এক্স) + ই (এক্স) ^ 2 সমাপ্ত হবে

— জোশুয়া

যে লাইন না একটি একক সমীকরণ! মাঝখানে তীরটি নোট করুন। প্রথম অংশটি (তীরের বাম দিকে) একটি সমীকরণ যা দ্বিতীয় সমীকরণটি বোঝায় (তীরের ডানদিকে)। ( উভয় পক্ষেই যোগ করে ) )$[\mathbb{E}(X)]^2$

— তামাস ফেরেঞ্চি

Answer 2

সম্পূর্ণতার জন্য, আমি ঘনত্ব থেকে সরাসরি কাঁচা মুহুর্তগুলি গণনা করব। প্রথমত, একটি আকার / হারের প্যারামিট্রাইজেশনের অধীনে, গামা বিতরণে ঘনত্ব আমরা যে কোনও পরামিতি α , β > 0 এর পছন্দ হিসাবে বিবেচনা করব, আমাদের কাছে ∫ ∞ x = 0 f X ( x

$$f_X(x) = \frac{\beta^\alpha x^{\alpha-1} e^{-\beta x}}{\Gamma(\alpha)}, \quad x > 0.$$ $\alpha, \beta > 0$ যদিও এই ফলাফল সহজে পরিচয় থেকে প্রাপ্ত করা হয় ∫ ∞ z- র = 0 এক্স z- র - 1 ই - $$\int_{x=0}^\infty f_X(x) \, dx = 1,$$ তারপরে এটি অনুসরণ করে যে ইতিবাচক পূর্ণসংখ্যার কে , ই [ এক্স কে $$\int_{z=0}^\infty x^{z-1} e^{-z} \, dz = \Gamma(z).$$ $k$যেখানে উপান্ত্য ধাপে আমরা মান্য যে অবিচ্ছেদ্য সমান1, কারণ এটি পরামিতি সঙ্গে একটি গামা ঘনত্ব অবিচ্ছেদ্যα+ +টএবংβ। কে=2 এরজন্যআমরা অবিলম্বেই[এক্স2]=Γ(α+2)পাই $$\begin{align*} \mathrm{E}[X^k] &= \int_{x=0}^\infty x^k f_X(x) \, dx \\ &= \frac{1}{\Gamma(\alpha)} \int_{x=0}^\infty \beta^\alpha x^{\alpha+k-1} e^{-\beta x} \, dx \\ &= \frac{\Gamma(\alpha+k)}{\beta^k \Gamma(\alpha)} \int_{x=0}^\infty \frac{\beta^{\alpha+k} x^{\alpha+k-1} e^{-\beta x}}{\Gamma(\alpha+k)} \, dx \\ &= \frac{\Gamma(\alpha+k)}{\beta^k \Gamma(\alpha)}, \end{align*}$$ $1$$\alpha+k$$\beta$$k = 2$ আর এক্সপ্রোচটি মুহুর্তে তৈরির ফাংশনের মাধ্যমে: এম এক্স (টি)= ই [ ই টি এক্স$\mathrm{E}[X^2] = \frac{\Gamma(\alpha+2)}{\beta^2 \Gamma(\alpha)} = \frac{(\alpha+1)\alpha}{\beta^2}.$ যেখানে উপর শর্তটনমিলিত অবিচ্ছেদ্য জন্য প্রয়োজন। আমরা যত এই পুনর্লিখন পারেএমএক্স(T)=(1-টি/β)-α,এবং এটি অনুসরণ করে যেই[এক্সট]= [ d k এম এক্স ( T $$\begin{align*} M_X(t) = \mathrm{E}[e^{tX}] &= \int_{x=0}^\infty \frac{\beta^\alpha x^{\alpha-1} e^{-\beta x + tx}}{\Gamma(\alpha)} \, dx \\ &= \frac{\beta^\alpha}{(\beta-t)^\alpha} \int_{x=0}^\infty \frac{(\beta-t)^\alpha x^{\alpha-1} e^{-(\beta-t)x}}{\Gamma(\alpha)} \, dx \\ &= \biggl(\frac{\beta}{\beta-t}\biggr)^{\!\alpha}, \quad t < \beta, \end{align*}$$ $t$ $$M_X(t) = (1 - t/\beta)^{-\alpha},$$ $$\mathrm{E}[X^k] = \left[ \frac{d^k M_X(t)}{dt^k} \right]_{t=0} = \left[(1-t/\beta)^{-\alpha-k}\right]_{t=0} \prod_{j=0}^{k-1} \frac{\alpha+j}{\beta} = \frac{\Gamma(\alpha+k)}{\beta^k \Gamma(\alpha)}.$$

Comments

খুব স্পষ্ট এবং সহায়ক ডেরাইভেশন।

— জোশুয়া