জিএলএমগুলির জন্য রূপান্তরকরণকে সাধারণকরণের ব্যয়

Question

$\newcommand{\E}{\mathbb{E}}$ the $A(\cdot) = \displaystyle\int\frac{du}{V^{1/3}(\mu)}$ the ঘনিষ্ঠ পরিবারে রূপান্তরকরণকে সাধারণকরণ করা হয় উদ্ভূত?

আরও সুনির্দিষ্টভাবে : আমি এখানে পৃষ্ঠাগুলি 3 এর টেলর এক্সপেনশন স্কেচটি অনুসরণ করার চেষ্টা করেছি, 1 টি স্লাইড এখানে কিন্তু বেশ কয়েকটি প্রশ্ন রয়েছে। সঙ্গে $X$ একটি সূচকীয় পরিবার থেকে, রূপান্তর $h(X)$ , এবং $\kappa _i$ বাচক $i^{th}$ cumulant, স্লাইড যুক্তি দেন:

$$\kappa _3(h(\bar{X})) \approx h'(\mu)^3\frac{\kappa _3(\bar{X})}{N^2} + 3h'(\mu)^2h''(\mu)\frac{\sigma^4}{N} + O(N^{-3}),$$ এবং এটি কেবল $h(X)$ করতে থেকে যায় যে উপরেরটি 0 তে মূল্যায়ন করে।

1. আমার প্রথম প্রশ্নটি গাণিতিক সম্পর্কে: আমার টেলর সম্প্রসারণের বিভিন্ন সহগ রয়েছে, এবং আমি তাদের প্রচুর শর্ত বাতিল বলে প্রমাণ করতে পারি না।

   $$\begin{align} \text{Since }h(x) &\approx h(\mu) + h'(\mu)(x - \mu) + \frac{h''(x)}{2}(x - \mu)^2\text{, we have:} \\ h(\bar{X}) - h(u) &\approx h'(u))(\bar{X} - \mu) + \frac{h''(x)}{2}(\bar{X} - \mu)^2 \\ \E\left(h(\bar{X}) - h(u)\right)^3 &\approx h'(\mu)^3 \E(\bar{X}-\mu)^3 + \frac{3}{2}h'(\mu)^2h''(\mu) \E(\bar{X} - \mu)^4 + \\ &\quad \frac{3}{4}h'(\mu)h''(\mu)^2 \E(\bar{X}-\mu)^5 + \frac{1}{8}h''(\mu)^3 \E(\bar{X} - \mu)^6. \end{align}$$

   কেন্দ্রীয় মুহুর্তগুলিকে তাদের সংখ্যক সমতুল্য দ্বারা প্রতিস্থাপন করে আমি অনুরূপ কিছু পেতে পারি, তবে এটি এখনও যোগ করে না।

2. দ্বিতীয় প্রশ্ন কেন সঙ্গে বিশ্লেষণ শুরু হবে $\bar{X}$ পরিবর্তে $X$ , পরিমাণ আমরা আসলে চিন্তা করেন?

Comments

আপনি আছে বলে মনে হচ্ছে বেশ কয়েকবার যেখানে আপনি কি বলতে চান$u$$\mu$

— Glen_b -Reinstate মনিকা

Answer 1

আপনি যে স্লাইডগুলির সাথে লিঙ্ক করেছেন সেগুলি কিছুটা বিভ্রান্তিকর, পদক্ষেপগুলি ছেড়ে কিছুটা টাইপস তৈরি করছে তবে তারা শেষ পর্যন্ত সঠিক। এটি প্রথমে 2 প্রশ্নের জবাব দিতে সহায়তা করবে, তারপরে 1 এবং তারপরে অবশেষে প্রতিসম রূপান্তর ।$A(u) = \int_{-\infty}^u \frac{1}{[V(\theta)]^{1/3}} d\theta$

প্রশ্ন ২. আমরা বিশ্লেষণ করছি যেহেতু এটি র্যান্ডম ভেরিয়েবল এর আকার এর একটি নমুনার অর্থ । এটি একটি গুরুত্বপূর্ণ পরিমাণ কারণ একই বন্টনকে নমুনা দেওয়া এবং অর্থ গ্রহণ করা বিজ্ঞানের সর্বদা ঘটে। আমরা জানতে চাই mean প্রকৃত গড়ের । কেন্দ্রীয় সীমা উপপাদ্য এটি বিন্দুতে মিলিত হবে বলে যেমন কিন্তু আমরা ভ্যারিয়েন্স এবং বক্রতা জানতে চাই ।$\bar{X}$$N$$X_1, ..., X_N$$\bar{X}$$\mu$$\mu$$N \to \infty$$\bar{X}$

প্রশ্ন ১. আপনার টেলর সিরিজের আনুমানিকতা ভুল নয়, তবে আমাদের স্লাইডগুলির মতো একই উপসংহারে জন্য বনাম এবং ক্ষমতাগুলি ট্র্যাক রাখা সম্পর্কে সতর্ক হওয়া দরকার । আমরা সংজ্ঞা দিয়ে শুরু করব এবং কেন্দ্রীয় মুহূর্ত এবং জন্য সূত্র আহরণ :$\bar{X}$$X_i$$N$$\bar{X}$$X_i$$\kappa_3(h(\bar{X}))$

$\bar{X} = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N X_i$

$\mathbb{E}[X_i] = \mu$

$V(X_i) = \mathbb{E}[(X_i - \mu)^2] = \sigma^2$

$\kappa_3(X_i) = \mathbb{E}[(X_i - \mu)^3]$

এখন, এর কেন্দ্রীয় মুহুর্তগুলি :$\bar{X}$

$\mathbb{E}[\bar{X}] = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N \mathbb{E}[X_i] = \frac{1}{N}(N\mu) = \mu$

$\begin{align} V(\bar{X}) &=\mathbb{E}[(\bar{X} - \mu)^2]\\ &=\mathbb{E}[\Big((\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N X_i) - \mu\Big)^2]\\ &=\mathbb{E}[\Big(\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N (X_i - \mu)\Big)^2]\\ &=\frac{1}{N^2}\Big(N\mathbb{E}[(X_i - \mu)^2] + N(N-1)\mathbb{E}[X_i - \mu]\mathbb{E}[X_j - \mu]\Big)\\ &= \frac{1}{N}\sigma^2 \end{align}$

, এবং পরের শেষ পদক্ষেপটি অনুসরণ করবে । এটি হতে পারে না, তবে এবং খুঁজে পেতে আমাদের একই প্রক্রিয়া করতে হবে , যেখানে আমরা একটি সঙ্কলনের একটি পণ্য ভাঙ্গি এবং বিভিন্ন ভেরিয়েবলের শক্তির সাথে পদগুলির সংখ্যা গণনা করি। উপরের ক্ষেত্রে, পদগুলি এবং ফর্মের শর্তাবলী ছিল ।$\mathbb{E}[X_i - \mu] = 0$$\mathbb{E}[(X_i - \mu)^2] = \sigma^2$$V(\bar{X})$$\kappa_3(\bar{X})$$\kappa_3(h(\bar{X}))$$N$$(X_i - \mu)^2$$N(N-1)$$(X_i - \mu)(X_j - \mu)$

$\begin{align} \kappa_3(\bar{X}) &= \mathbb{E}[(\bar{X}-\mu)^3)]\\ &= \mathbb{E}[\Big((\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N X_i) - \mu\Big)^3]\\ &= \mathbb{E}[\Big(\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N (X_i - \mu)\Big)^3]\\ &= \frac{1}{N^3}\Big(N\mathbb{E}[(X_i - \mu)^3] + 3N(N-1)\mathbb{E}[(X_i - \mu)\mathbb{E}[(X_j - \mu)^2]+N(N-1)(N-2)\mathbb{E}[(X_i - \mu)]\mathbb{E}[(X_j - \mu)]\mathbb{E}[(X_k - \mu)]\\ &= \frac{1}{N^2}\mathbb{E}[(X_i - \mu)^3]\\ &= \frac{\kappa_3(X_i)}{N^2} \end{align}$

এরপরে, আমরা যেমন টেলর সিরিজে প্রসারিত করব :$h(\bar{X})$

$h(\bar{X}) = h(\mu) + h'(\mu)(\bar{X} - \mu) + \frac{1}{2}h''(\mu)(\bar{X}-\mu)^2 + \frac{1}{3}h'''(\mu)(\bar{X}-\mu)^3 + ...$

$\begin{align} \mathbb{E}[h(\bar{X})] &= h(\mu) + h'(\mu)\mathbb{E}[\bar{X} - \mu] + \frac{1}{2}h''(\mu)\mathbb{E}[(\bar{X}-\mu)^2] + \frac{1}{3}h'''(\mu)\mathbb{E}[(\bar{X}-\mu)^3] + ...\\ &= h(\mu) + \frac{1}{2}h''(\mu)\frac{\sigma^2}{N} + \frac{1}{3}h'''(\mu)\frac{\kappa_3(X_i)}{N^2} + ...\\ \end{align}$

আরও কিছু প্রচেষ্টা সহ আপনি বাকী শর্তাদি প্রমাণ করতে পারেন । অবশেষে, যেহেতু , (যা ) এর মত নয়, আমরা আবার একই রকম গণনা করি:$O(N^{-3})$$\kappa_3(h(\bar{X})) = \mathbb{E}[(h(\bar{X})-\mathbb{E}[h(\bar{X})])^3]$$\mathbb{E}[(h(\bar{X})-h(\mu))^3]$

$\begin{align} \kappa_3(h(\bar{X})) &= \mathbb{E}[(h(\bar{X})-\mathbb{E}[h(\bar{X})])^3]\\ &=\mathbb{E}\Big[\Big(h(\mu) + h'(\mu)(\bar{X} - \mu) + \frac{1}{2}h''(\mu)(\bar{X}-\mu)^2 + O((\bar{X}-\mu)^3) - h(\mu) - \frac{1}{2}h''(\mu)\frac{\sigma^2}{N} - O(N^{-2})\Big)^3\Big] \end{align}$

আমরা কেবলমাত্র অর্ডার ফলাফলের শর্তাদিতে আগ্রহী এবং অতিরিক্ত কাজ করে আপনি দেখাতে পারেন যে আপনাকে " পদগুলির প্রয়োজন নেই do "বা" "তৃতীয় শক্তি গ্রহণের আগে, কারণ তারা কেবল অর্ডার শর্তাবলী ফলস্বরূপ হবে । সুতরাং, সরলকরণ, আমরা পেতে$O(N^{-2})$$O((\bar{X}-\mu)^3)$$- O(N^{-2})$$O(N^{-3})$

$\begin{align} \kappa_3(h(\bar{X})) &= \mathbb{E}\Big[\Big(h'(\mu)(\bar{X} - \mu) + \frac{1}{2}h''(\mu)(\bar{X}-\mu)^2 - \frac{1}{2}h''(\mu)\frac{\sigma^2}{N})\Big)^3\Big]\\ &=\mathbb{E}\Big[h'(\mu)^3(\bar{X} - \mu)^3 + \frac{1}{8}h''(\mu)^3(\bar{X}-\mu)^6 - \frac{1}{8}h''(\mu)^3\frac{\sigma^6}{N^3} + \frac{3}{2}h'(\mu)^2h''(\mu)(\bar{X}-\mu)^4 + \frac{3}{4}h'(\mu)h''(\mu)(\bar{X}-\mu)^5 - \frac{3}{2}h'(\mu)^2h''(\mu)(\bar{X} - \mu)^2\frac{\sigma^2}{N} + O(N^{-3})\Big] \end{align}$

আমি এমন কিছু পদ রেখেছি যা এই পণ্যটিতে অবশ্যই ছিল। আপনি নিজেকে সন্তুষ্ট করতে হবে যে পদ এবং হয় পাশাপাশি। যাহোক,$O(N^{-3})$$\mathbb{E}[(\bar{X}-\mu)^5]$$\mathbb{E}[(\bar{X}-\mu)^6]$$O(N^{-3})$

$\begin{align} \mathbb{E}[(\bar{X}-\mu)^4] &= \mathbb{E}[\frac{1}{N^4}\Big(\sum_{i=1}^N(\bar{X}-\mu)\Big)^4]\\ &=\frac{1}{N^4}\Big(N\mathbb{E}[(X_i-\mu)^4] + 3N(N-1)\mathbb{E}[(X_i-\mu)^2]\mathbb{E}[(X_j-\mu)^2] + 0\Big)\\ &=\frac{3}{N^2}\sigma^4 + O(N^{-3}) \end{align}$

তারপরে আমাদের সমীকরণের উপর প্রত্যাশা জন্য বিতরণ করা হচ্ছে$\kappa_3(h(\bar{X}))$

$\begin{align}\kappa_3(h(\bar{X})) &= h'(\mu)^3\mathbb{E}[(\bar{X} - \mu)^3] + \frac{3}{2}h'(\mu)^2h''(\mu)\mathbb{E}[(\bar{X}-\mu)^4] - \frac{3}{2}h'(\mu)^2h''(\mu)\mathbb{E}[(\bar{X} - \mu)^2]\frac{\sigma^2}{N} + O(N^{-3})\\ &= h'(\mu)^3\frac{\kappa_3(X_i)}{N^2} + \frac{9}{2}h'(\mu)^2h''(\mu)\frac{\sigma^4}{N^2} - \frac{3}{2}h'(\mu)^2h''(\mu)\frac{\sigma^4}{N^2} + O(N^{-3})\\ &=h'(\mu)^3\frac{\kappa_3(X_i)}{N^2} + 3h'(\mu)^2h''(\mu)\frac{\sigma^4}{N^2} + O(N^{-3}) \end{align}$

এটি সমাপ্ত করে । এখন, শেষ অবধি, আমরা প্রতিসাম্য রূপান্তর ।$\kappa_3(h(\bar{X}))$$A(u) = \int_{-\infty}^u \frac{1}{[V(\theta)]^{1/3}} d\theta$

এই রূপান্তরটির জন্য, এটি গুরুত্বপূর্ণ যে একটি তাত্পর্যপূর্ণ পরিবার বিতরণ থেকে এবং বিশেষত একটি প্রাকৃতিক ঘাতক পরিবার (বা এটি এই বিতরণে রূপান্তরিত হয়েছে),$X_i$$f_{X_i}(x;\theta) = h(x)\exp(\theta x - b(\theta))$

এই ক্ষেত্রে, বিতরণের । সুতরাং , , এবং । আমরা লিখতে পারি প্যারামিটার এর কার্যকারিতা হিসেবে শুধু বিপরীত গ্রহণ , লেখা । তারপর$\kappa_k = b^{(k)}(\theta)$$\mu = b'(\theta)$$\sigma^2 = V(\theta) = b''(\theta)$$\kappa_3 = b'''(\theta)$$\theta$$\mu$$b'$$\theta(\mu) = (b')^{-1}(\mu)$

$\theta'(\mu) = \frac{1}{b''((b')^{-1}(\mu))} = \frac{1}{b''(\theta))} = \frac{1}{\sigma^2}$

এরপরে আমরা ফাংশন হিসাবে রূপটি লিখতে পারি এবং এই ফাংশনটিকে call কল করতে পারি :$\mu$$\bar{V}$

$\bar{V}(\mu) = V(\theta(\mu)) = b''(\theta(\mu))$

তারপর

$\frac{d}{d\mu}\bar{V}(\mu) = V'(\theta(\mu))\theta'(\mu) = b'''(\theta)\frac{1}{\sigma^2} = \frac{\kappa_3}{\sigma^2}$

সুতরাং , ক্রিয়া হিসাবে ।$\mu$$\kappa_3(\mu) = \bar{V}'(\mu)\bar{V}(\mu)$

এখন, symmetrizing রূপান্তর জন্য, আমরা স্কিউনেস কমাতে চান করে যাতে হ'ল । সুতরাং, আমরা চাই$h(\bar{X})$$h'(\mu)^3\frac{\kappa_3(X_i)}{N^2} + 3h'(\mu)^2h''(\mu)\frac{\sigma^4}{N^2} = 0$$h(\bar{X})$$O(N^{-3})$

$h'(\mu)^3\kappa_3(X_i) + 3h'(\mu)^2h''(\mu)\sigma^4 = 0$

এবং জন্য ক্রিয়াকলাপ হিসাবে আমাদের এক্সপ্রেশনগুলি প্রতিস্থাপন করা হচ্ছে:$\sigma^2$$\kappa_3$$\mu$

$h'(\mu)^3\bar{V}'(\mu)\bar{V}(\mu) + 3h'(\mu)^2h''(\mu)\bar{V}(\mu)^2 = 0$

সুতরাং , leading ।$h'(\mu)^3\bar{V}'(\mu) + 3h'(\mu)^2h''(\mu)\bar{V}(\mu) = 0$$\frac{d}{d\mu}(h'(\mu)^3\bar{V}(\mu)) = 0$

এই ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের একটি সমাধান:

$h'(\mu)^3\bar{V}(\mu) = 1$ ,

$h'(\mu) = \frac{1}{[\bar{V}(\mu)]^{1/3}}$

সুতরাং, constant , কোনও ধ্রুবকের জন্য, । এটি আমাদের প্রতিসাম্য রূপান্তর , যেখানে হিসাবে রূপান্তর একটি প্রাকৃতিক ঘৃণ্য পরিবারে গড় একটি ফাংশন।$h(\mu) = \int_c^\mu \frac{1}{[\bar{V}(\theta)]^{1/3}} d\theta$$c$$A(u) = \int_{-\infty}^u \frac{1}{[V(\theta)]^{1/3}} d\theta$$V$

Answer 2

$\blacksquare$ কৃষ্ণসার কেন আমি অবিস্মরণীয় মুহুর্তের ক্ষেত্রে এবং তারপরে কেন্দ্রীয় মুহুর্তগুলি গণনা করে n't আনুমানিক ক্ষুদ্রকেন্দ্রিক মুহুর্তগুলি ব্যবহার করে?$\mathbb{E}\bar{X}^k$$\mathbb{E}(\bar{X}-\mathbb{E}\bar{X})^k$

কারণ আপনি নির্বিচারে ডেরিভিশন পরিবর্তন করেন এবং অবশিষ্টাংশটি বাদ দিন যা গুরুত্বপূর্ণ। আপনি যদি বড় ও স্বরলিপি এবং প্রাসঙ্গিক ফলাফলগুলির সাথে পরিচিত না হন তবে একটি ভাল রেফারেন্স হ'ল কেসেলা ও লেহম্যান]।

$$h(\bar{X}) - h(u) \approx h'(u)(\bar{X} - \mu) + \frac{h''(x)}{2}(\bar{X} - \mu)^2 +O[(\bar{X} - \mu)^3]$$

$$\mathbb{E}[h(\bar{X}) - h(u)] \approx h'(u)\mathbb{E}(\bar{X} - \mu) + \frac{h''(x)}{2}\mathbb{E}(\bar{X} - \mu)^2+(?)$$

আপনি সর্বদা (যা আইনী নয় ...) করছেন এই যুক্তি দিয়ে আপনি অবশিষ্টাংশটি বাদ না , নিম্নলিখিত পদক্ষেপটি: বলছেন যে$N\rightarrow \infty$

$$\E\left(h(\bar{X}) - h(u)\right)^3 \approx h'(\mu)^3 \E(\bar{X}-\mu)^3 + \frac{3}{2}h'(\mu)^2h''(\mu) \E(\bar{X} - \mu)^4 + \frac{3}{4}h'(\mu)h''(\mu)^2 \E(\bar{X}-\mu)^5 + \frac{1}{8}h''(\mu)^3 \E(\bar{X} - \mu)^6. (1)$$ $$\int [h(x)-h(x_0)]^3dx=\int [h'(x_0)(x-x_0)+\frac{1}{2}h''(x_0)(x-x_0)^2+O((x-x_0)^3)]^3dx=(1)$$

এটি এখনও স্পষ্ট না হলে, আমরা দেখতে পাচ্ছি যে সংখ্যার বিস্তৃতি বর্ধিত হয়

$[h'(x_0)(x-x_0)+\frac{1}{2}h''(x_0)(x-x_0)^2+O((x-x_0)^3)]^3(2)$

লেটিং , ,$A=h'(x_0)(x-x_0)$$B=\frac{1}{2}h''(x_0)(x-x_0)^2$$C=O((x-x_0)^3)$ $(2)=[A+B+C]^3$ $\color{red}{\neq}[A^3+3A^2 B+3A B^2+B^3]=[A+B]^3=(1)$

আপনার ভুলটি হ'ল সম্প্রসারণের আগে অবশিষ্টাংশ বাদ দেওয়া, যা বড় ও স্বরলিপিতে একটি "ধ্রুপদী" ভুল এবং পরে বড় ও স্বরলিপি ব্যবহারের সমালোচনা হয়ে ওঠে।

$\blacksquare$ 2.Why সঙ্গে বিশ্লেষণ শুরু হবে পরিবর্তে , পরিমাণ আমরা আসলে চিন্তা করেন?$\bar{X}$$X$

কারণ আমরা যে সূচকীয় মডেলটি প্রবর্তন করছি তার পর্যাপ্ত পরিসংখ্যানের ভিত্তিতে আমাদের বিশ্লেষণকে ভিত্তি করতে চাই। আপনার যদি আকার 1-এর একটি নমুনা থাকে তবে আপনি বা দিয়ে বিশ্লেষণ করুন কিনা তাতে কোনও পার্থক্য নেই ।$\bar{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i$$X_1$

এটি জিএলএমের সাথে প্রাসঙ্গিক না হলেও এটি বড় হে স্বরলিপিতে একটি ভাল পাঠ ...

রেফারেন্স [কেসেলা এবং লেহম্যান] লেহমান, এরিখ লিও এবং জর্জ কেসেলা। বিন্দু অনুমানের তত্ত্ব। স্প্রিঞ্জার সায়েন্স অ্যান্ড বিজনেস মিডিয়া, 2006।