শর্তযুক্ত সম্ভাবনার জন্য অন্তর্দৃষ্টি কীভাবে বিকাশ করা যায়?

Question

হার্ভার্ডের পরিসংখ্যান 110 এর ভিডিও লেকচারে : সম্ভাব্যতা কোর্স যা আইটিউনস এবং ইউটিউবে পাওয়া যাবে, আমি এই সমস্যার মুখোমুখি হয়েছি । আমি এখানে সংক্ষিপ্ত করার চেষ্টা করেছি:

ধরা যাক আমাদের একটি স্ট্যান্ডার্ড ডেক থেকে এলোমেলো দুটি কার্ড কার্ড দেওয়া হয়েছে।

1. আমাদের কমপক্ষে একটি টেক্কা দিলে উভয় কার্ডই টেক্কা দেওয়ার সম্ভাবনা কী?

$$P(both\ aces | have\ ace) = \frac{P(both\ aces, have\ ace)}{P(have\ ace)}$$

যেহেতু আপনার উভয় টেক্কা থাকলে কমপক্ষে একটি টেক্কা থাকার বিষয়টি বোঝানো হয়েছে, তাই ছেদটি কেবল কমে যেতে পারে $P(both\ aces)$

$$P(both\ aces | have\ ace) = \frac{P(both\ aces)}{P(have\ ace)}$$

এটা ঠিক আছে

$$P(both\ aces | have\ ace) = \frac{4C2\ /\ 52C2}{1-48C2\ /\ 52C2}=\frac{1}{33}$$

2. উভয় কার্ডই আমাদের কোষাগুলির টেক্কা পেয়েছে এমন সম্ভাবনা কী?

$$P(both\ aces | have\ ace\ of\ spades)=\frac{P(both\ aces, have\ ace\ of\ spades)}{P(have\ ace\ of\ spades)}$$

$$P(both\ aces | have\ ace\ of\ spades)=\frac{(3C1*1C1)\ /\ 52C2}{2!*\frac{51}{52}*\frac{1}{51}}=\frac{1}{17}$$

এখন, কোথাও এই উদাহরণগুলি সহ আমি হারিয়ে গেলাম ...

পরেরটি সম্ভবত 3 এর মতোই same , যা অনেক বোঝায় (আমার কাছে) এটি উত্তর হবে the যদি আপনাকে বলা হয় যে আপনার কাছে স্পিডের (বলুন) টেক্কা রয়েছে তবে আপনি জানেন যেআরও3টি এসেস এবং51 টিআরও কার্ড রয়েছে।$\frac{3}{51}$$3$$51$

তবে পূর্ববর্তী উদাহরণে, গণিতটি ঠিকঠাক বলে মনে হচ্ছে (এবং আমি বিশ্বাস করি যে প্রভাষক ভুল হলে এটি এই উদাহরণটি দিতেন না ...), তবে আমি এটিকে আমার মাথাটি গুটিয়ে রাখতে পারি না।

এই সমস্যার জন্য আমি কীভাবে কিছু অন্তর্দৃষ্টি পেতে পারি?

Comments

এর উত্তর দেওয়ার চেষ্টা করুন: আমার প্রতিবেশীর দুটি বাচ্চা রয়েছে - আপনি জানেন যে তাদের মধ্যে একটি ছেলে। তার দুটি ছেলে হওয়ার সম্ভাবনা কত?

— স্টিভ এস

সমস্যাটিতে আপনার প্রচেষ্টা অন্তর্ভুক্ত করার জন্য ধন্যবাদ! [self-study]ট্যাগ যুক্ত করুন এবং এর উইকি পড়ুন ।

— সিলভারফিশ

Answer 1

অন্তর্দৃষ্টি সাহায্য করার জন্য, দুটি ইভেন্ট (ফলাফলের সেট) কল্পনা বিবেচনা করুন:

1. কন্ডিশনার ইভেন্ট, যা দেওয়া তথ্য।

2. শর্তযুক্ত ইভেন্ট, যার সম্ভাবনা আপনি সন্ধান করতে চান।

প্রথমটির সুযোগ দিয়ে দ্বিতীয়টির সুযোগকে ভাগ করে শর্তযুক্ত সম্ভাবনা পাওয়া যায় found

---

আছে সমান সম্ভাবনা এলোমেলোভাবে দুটি কার্ড মোকাবিলা করার উপায়। এই ডিলগুলি ভিজ্যুয়ালাইজ করার একটি সুবিধাজনক উপায় হ'ল সারণীগুলির সাথে একটি টেবিলে রাখুন (বলুন) প্রথম কার্ডের জন্য চুক্তি করা হয়েছে এবং ডিলের দ্বিতীয় কার্ডটিকে কলামগুলি দেওয়া হয়েছে। এখানে এই টেবিলের একটি অংশ রয়েছে, উপবৃত্ত ( ⋯ ) নিখোঁজ অংশগুলি নির্ধারণ করে। লক্ষ্য করুন যে দুটি কার্ড একই হতে পারে না, সারণির মূল তির্যক বরাবর কোনও প্রবেশিকা বিদ্যমান নেই। সারি এবং কলামগুলি রাজাদের মধ্য দিয়ে এসেস থেকে অর্ডার করা হয়েছে:$52 \times 51$$\cdots$

প্রশ্নগুলি এসের উপর ফোকাস করে। "আমাদের কমপক্ষে একটি টেক্কা রয়েছে" তথ্যটি প্রথম চারটি সারি বা প্রথম চারটি কলামের মধ্যে জুটির অবস্থান নির্ধারণ করে। আমাদের মনে আমরা এই সারি এবং কলামগুলিকে রঙ করে স্কিমিক্যালি কল্পনা করতে পারি। আমি তাদের লাল রঙ করেছি, কিন্তু যেখানে উভয় টেকা প্রদর্শিত হবে সেখানে আমি তাদের কালো রঙিন করেছি:

$2\times 6 = 12$$2\times (4\times 48) = 384$$12+384=396$

$$\frac{12}{396} = \frac{1}{33}.$$

এটি লাল + কালো অঞ্চলের কালো ভগ্নাংশ।

দ্বিতীয় প্রশ্ন জোর দিয়েছিল "আমাদের কাছে কোদালগুলির টেক্কা রয়েছে।" এটি কেবল প্রথম সারির এবং কলামের সাথে মিলে যায়:

$2\times 3 = 6$ দুটি টেক্কা সঙ্গে এই ধরনের জোড়া এবং $2\times 48=96$ মোট জোড়, spades এর টেক্কা সঙ্গে অন্যান্য জোড়া $96+6 = 102$যেমন জোড়া। ঠিক আগের মতোই যুক্তি দেখানো, দুটি টেকের সম্ভাবনা রয়েছে

$$\frac{6}{102} = \frac{1}{17}.$$

আবার এটি লাল + কালো অঞ্চলের কালো ভগ্নাংশ।

রেফারেন্সের জন্য, শেষ চিত্রটিতে গোলাপী এবং ধূসর বর্ণিত পূর্বের চিত্রটি অন্তর্ভুক্ত রয়েছে। এই অঞ্চলগুলির সাথে তুলনা করলে কী ঘটেছিল তা প্রকাশ পায়: প্রথম প্রশ্ন থেকে দ্বিতীয়টিতে যাওয়ার সময়, কন্ডিশনার ইভেন্টে (গোলাপী) জোড় সংখ্যাটি তার মূল গণনার (লাল) প্রায় এক-চতুর্থাংশে নেমে আসে, যখন প্রশ্নে জোড়ার সংখ্যা হ্রাস পায় মাত্র দেড় ভাগ দ্বারা (ধূসর থেকে কালো পর্যন্ত,$12$ প্রতি $6$)।

---

আমি সম্ভাব্যতার আরও জটিল ধারণা যেমন সিগমা বীজগণিতের ফিল্টারেশন হিসাবে বোঝার চেষ্টা করার সময় - এমনকি বিশেষত - এ জাতীয় পরিকল্পনামূলক পরিসংখ্যানগুলি সহায়ক হিসাবেও খুঁজে পেয়েছি ।

Comments

আপনি কি সেই প্রথম ছবিটি নিজে তৈরি করেছেন? যদি তাই হয়, কিভাবে?

— স্টিভ এস

যাইহোক: +1

— স্টিভ এস

@ স্টিভ আমি ম্যাথমেটিকাকে ব্যবহার করেছি , এসই ম্যাথেমেটিকা ​​সাইটে প্লে কার্ডের উপস্থাপনা দিয়ে । আমি কার্ডগুলির সংক্ষিপ্ত তালিকাটির একটি বহিরাগত পণ্য ট্যাবুলেটেড করেছি, যেখানে "পণ্য" ফাংশন দুটি কার্ডের হাতের প্রতিনিধিত্ব করার জন্য এলোমেলোভাবে ঘোরানো কার্ড চিত্রগুলির একটি জোড়া একত্রিত করে।

— whuber

দুর্ভাগ্যক্রমে আমি ম্যাথেম্যাটিকাকে ব্যবহার করি না, যা স্পষ্টতই লজ্জাজনক, কারণ সেই গ্রাফিকটি সত্যই ভাল দেখাচ্ছে (এবং অবশ্যই পোস্টটিতে অনেক যোগ করে)।

— স্টিভ এস

Answer 2

দ্বিতীয় গণনার দিকে পরিচালিত করে এমন একটি সমস্যা সেটআপ করার একটি পৃথক উপায় নিম্নলিখিতটি:

আপনি ডেক থেকে দুটি কার্ড আঁকুন। আপনি যে প্রথম কার্ডটি আঁকেন সেটি যে দুটি টেক্কা দিয়েছিল তার সম্ভাবনা কত ?

এই ফ্রেসিংটি প্রথম গণনার সাথে বিপরীত হওয়া সহজ করে তোলে। দুটি টেক্কা বাছাই করার অন্তর্নিহিত সুযোগটি পরিবর্তন হয় না, তবে টেক্কা হিসাবে প্রথম কার্ড রাখার শর্তটি এসির হয়ে থাকলে শর্তের চেয়ে আরও সীমাবদ্ধ। এর অর্থ এই যে শর্তসাপেক্ষ সম্ভাবনা গণনার ক্ষেত্রে কম বিকল্পের মধ্যে কাঙ্ক্ষিত সংমিশ্রণ ঘটতে হবে, সুতরাং এর বৃহত্তর সম্ভাবনা রয়েছে।

দুটি পৃথক বাক্যাংশ (টেক্কা হিসাবে প্রথম কার্ড বনাম টেক্কা হিসাবে) একই, কারণ তারা aces মধ্যে প্রতিসাম্য / এক্সচেঞ্জিবিলিটি ভঙ্গ করে: মামলা বা ক্রমটি ইচ্ছামত অদলবদল করা যায় না।

Answer 3

শুরুতে আমার সম্পর্কে কিছুটা অন্তর্দৃষ্টি নেওয়া কঠিন ছিল।

একটি ধারণা হ'ল সমস্যাটিকে সীমাবদ্ধ করা। এক্ষেত্রে স্টিভ হিসাবে উল্লেখ করা হয়েছে একটি অভিন্ন সমস্যা হ'ল: আমার প্রতিবেশীর দুটি বাচ্চা রয়েছে - আপনি জানেন যে তাদের মধ্যে একটি ছেলে। তার দুটি ছেলে হওয়ার সম্ভাবনা কত?

থেজে প্রথম ধারণাটি হ'ল, ঠিক আছে, আমার একটি ছেলে আছে, অন্য সন্তানের মেয়ে হওয়ার 1/2 সুযোগ রয়েছে এবং ছেলে হওয়ার 1/2 সুযোগ রয়েছে তবে এই ক্ষেত্রে আপনি সমস্ত তথ্য নিচ্ছেন না যা আপনাকে সত্য তথ্য দেয় ( কমপক্ষে আপনার একটি ছেলে আছে) কারণ এতে বোঝা যায় যে এই ছেলেটি সবচেয়ে কনিষ্ঠ শিশু হতে পারে সবচেয়ে বয়সী মেয়ে বা বিপরীতমুখী বা উভয়ই ছেলে যার অর্থ তিনটি সম্ভাব্য ফলাফলের মধ্যে কেবল একটিই অনুকূল।

যেমনটি আমি বলেছি সমস্যাটি সীমাবদ্ধ করা আরও সহজ ...

কেস 1: অ্যাবস্ট্রাক্ট কেস "আমাদের একটি টেক্কা রয়েছে" -> এক্ষেত্রে কল্পনা করা হয় যে আমার প্রতিবেশীর 2 বাচ্চা নয় 27 রয়েছে এবং আপনি জানেন 26 টি ছেলে, এর সম্ভাবনা প্রায় শূন্য। এই ক্ষেত্রে এটি স্পষ্ট যে এই তথ্যটি আপনাকে প্রচুর তথ্য দেয় যে সম্ভবত অবশেষে শিশুটি একটি মেয়ে বলে speaking সুনির্দিষ্টভাবে বলতে গেলে, আপনার 27 টি ছেলের সাথে একটি মামলা রয়েছে, আসুন একটি টুপল (বি, বি, বি, বি, বি, বি ..., বি) এবং 1 মেয়ে এবং 26 ছেলের সাথে 27 টি মামলা (জি, বি, বি) বলি , বি ...), (বি, জি, বি, বি, বি ...), সুতরাং সমস্ত ছেলের সম্ভাবনা ১/২ is, সাধারণভাবে এটি হবে ১ / (এন + ১)

কেস 2: কংক্রিটের তথ্য। এটি "আমাদের কাছে স্পাইডসের টেক্কা আছে" বা "আমাদের প্রথম কার্ডটি এস হিসাবে রয়েছে" এর অনুরূপ হবে। এক্ষেত্রে কল্পনা করুন আমাদের প্রতিবেশীর সমস্ত ছেলে 26 ছেলে রয়েছে এবং 27 তম সাথে গর্ভবতী। 27 শে ছেলে হওয়ার সম্ভাবনা কী?

কেস 2 সহ আমি নিশ্চিত যে আমরা সকলেই এই ধরণের না-তাই-স্পষ্টত শর্তযুক্ত সমস্যার সম্ভাবনা সমস্যার জন্য প্রয়োজনীয় অন্তর্দৃষ্টি উপলব্ধি করতে পারি।

আপনি যদি ধনী হতে চান, আপনাকে 26 ছেলে এবং একটি 27 তম সঙ্গে প্রথম ক্ষেত্রে বাজি ধরতে হবে কারণ কংক্রিটের তথ্যের অভাবের অর্থ বাকী বাচ্চার উপর প্রচুর সম্ভাবনা শক্তি রয়েছে তবে দ্বিতীয় ক্ষেত্রে, এন্ট্রপিটি বিশাল, আমাদের রয়েছে কোথায় বাজি তা জানতে তথ্য নয়।

আমি আশা করি এটি কার্যকর হবে

Answer 4

কোনও উত্তর না দিয়ে 3/51 উত্তরটি কীভাবে বলা যায়?

আপনি যদি প্রথম স্থানে কোদালের টেক্কাটি নেন। আমি জানি প্যাকেজে কোন কার্ড রয়েছে। সুতরাং 51 কার্ডে 3 টি এসিট রয়েছে। সুতরাং দ্বিতীয়টির জন্য আপনার কাছে দুটি টেক্কা দেওয়ার 3/51 সম্ভাবনা রয়েছে।

এবং স্বতঃস্ফূর্তভাবে দুটি দৃশ্যের মধ্যে পার্থক্যটি কীভাবে বোঝবেন?

এটি "হ্যাভ টু এসেস" এর অন্তর্ভুক্ত হওয়ার কারণে এটি "হ্যাভ ওয়ান এসেস" অন্তর্ভুক্ত রয়েছে। তবে "হ্যাভ টু এসেস" অন্তর্ভুক্ত নয় "হ্যাভ টু এসেস" এই পার্থক্য।

আসলে, আপনার যদি দুটি টেক্কা থাকে তবে আপনার কাছে একটি আছে তবে সম্ভবত কোদালির টেক্কাটি নেই তাই এটি একই সম্ভাবনা নয়।

এই উত্তরটি অন্য একটি পোস্টের জন্য ছিল যা এটিতে সরানো হয়েছে ..

Comments

আমি বেশিরভাগই দ্বিতীয় প্রশ্নের উত্তর দিয়েছি: "এবং স্বতঃস্ফূর্তভাবে দুটি পরিস্থিতির মধ্যে পার্থক্যটি কীভাবে বোঝব?" তবে আমি প্রথমটির উত্তর দিতে যাচ্ছি

— এল জোসো