বেভিশিয়ান মডেলিং কোভেরিয়েটের সাথে মাল্টিভারিয়েট স্বাভাবিক ব্যবহার করে

ধরুন আপনার কাছে একটি বর্ণনামূলক পরিবর্তনশীল ${\bf{X}} = \left(X(s_{1}),\ldots,X(s_{n})\right)$ যেখানে $s$ একটি প্রদত্ত স্থানাঙ্কের প্রতিনিধিত্ব করে। এছাড়াও আপনি একটি প্রতিক্রিয়া পরিবর্তনশীল আছে ${\bf{Y}} = \left(Y(s_{1}),\ldots,Y(s_{n})\right)$ । এখন, আমরা উভয় ভেরিয়েবল একত্রিত করতে পারি:

W (s) = (\begin{array}{ccc} X (s) \\ Y (s) \end{array}) \sim N (μ (s), T)

${\bf{W}}({\bf{s}}) = \left( \begin{array}{ccc}X(s) \\ Y(s) \end{array} \right) \sim N(\boldsymbol{\mu}(s), T)$

এই ক্ষেত্রে, আমরা কেবলমাত্র এবং ম্যাট্রিক্স যা বর্ণনা করে মধ্যে সম্পর্ক এবং । এটি কেবলমাত্র মান বর্ণনা এবং এ । যেহেতু এবং জন্য আমাদের অন্যান্য অবস্থানগুলি থেকে আরও পয়েন্ট রয়েছে , তাই আমরা নিম্নলিখিত উপায়ে আরও মান বর্ণনা করতে পারি : $\boldsymbol{\mu}(s) = \left( \mu_{1} \; \; \mu_{2}\right)^{T}$ $T$ $X$ $Y$ $X$ $Y$ $s$ $X$ $Y$ ${\bf{W}}(s)$

(\begin{array}{ccc} X \\ Y \end{array}) = N ((\begin{array}{ccc} μ_{1} 1 \\ μ_{2} 1 \end{array}), T \otimes H (ϕ))

$\left( \begin{array}{ccc} {\bf{X}} \\ {\bf{Y}} \end{array}\right) = N\left(\left(\begin{array}{ccc}\mu_{1}\boldsymbol{1}\\ \mu_{2}\boldsymbol{1}\end{array}\right), T\otimes H(\phi)\right)$

আপনি লক্ষ্য করবেন যে আমরা একটি কলামে সমস্ত পেতে এবং of এর উপাদানগুলি পুনরায় এবং তারপরে, সমস্ত একসাথে একত্রিত করতে। প্রতিটি উপাদান একটি পরস্পর সম্পর্কিত ফাংশন এবং উপরের মতো রয়েছে। আমাদের কোভেরিয়েন্স থাকার কারণটি আমরা ধরে নিয়েছি যে কোভারিয়েন্স ম্যাট্রিক্সকে হিসাবে আলাদা করা সম্ভব । $\bf{X}$ $\bf{Y}$ $X(s_i)$ $Y(s_i)$ $H(\phi)_{ij}$ $\rho(s_i, s_j)$ $T$ $T\otimes H(\phi)$ $C(s, s')=\rho(s, s') T$

প্রশ্ন 1: আমি যখন শর্তসাপেক্ষে গণনা করি, তখন আমি আসলে যা করছি তা on এর উপর ভিত্তি করে of এর মানগুলির একটি উত্পন্ন করছে , সঠিক? আমার ইতিমধ্যে have রয়েছে তাই আমি একটি নতুন পয়েন্ট ভবিষ্যদ্বাণী করতে আরও আগ্রহী হব । এই ক্ষেত্রে, আমার হিসাবে একটি ম্যাট্রিক্স হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা উচিত ${\bf{Y}}\mid{\bf{X}}$ $\bf{Y}$ $\bf{X}$ $\bf{Y}$ $y(s_{0})$ $H^{*}(\phi)$

{এইচ}^{*} (φ) = (\begin{array}{ccc} এইচ (φ) & জ \\ জ & ρ (0, φ) \end{array})

$H^{*}(\phi) = \left(\begin{array}{ccc}H(\phi) & \boldsymbol{h} \\ \boldsymbol{h}& \rho(0,\phi) \end{array}\right)$

যার মধ্যে একটি ভেক্টর । অতএব, আমরা একটি ভেক্টর (পুনঃব্যবস্থা ছাড়াই) নির্মাণ করতে পারি: $\boldsymbol{h}(\phi)$ $\rho(s_{0} - s_{j};\phi)$

{ওয়াট}^{*} = {(ওয়াট ({গুলি}_{1}), ..., ওয়াট ({গুলি}_{এন}), ওয়াট ({গুলি}_{0}))}^{টি} ~ এন (\begin{array}{ccc} 1_{এন + + 1} \otimes (\begin{array}{ccc} μ_{1} \\ μ_{2} \end{array}) \end{array}, এইচ (φ)^{*} \otimes টি)

${\bf{W^{*}}} = \left({\bf{W}}(s_{1}), \ldots, {\bf{W}}(s_{n}), {\bf{W}}(s_{0})\right)^{T} \sim N\left(\begin{array}{ccc}\boldsymbol{1}_{n+1} \otimes \left( \begin{array}{ccc} \mu_{1} \\ \mu_{2} \end{array} \right)\end{array}, H(\phi)^{*}\otimes T\right)$

এবং এখন আমি কেবল একটি যৌথ বন্টন এবং শর্তসাপেক্ষ । $\left(\begin{array}{ccc} {\bf{X}} \\ x(s_0) \\{\bf{Y}} \\ y(s_0)\end{array} \right)$ $p(y(s_0)\mid x_0, {\bf{X}}, {\bf{Y}})$

এটা কি সঠিক?

প্রশ্ন 2: ভবিষ্যদ্বাণী করার জন্য, আমি যে কাগজটি পড়ছি তা ইঙ্গিত করে যে আমাকে অবশ্যই এই শর্তসাপেক্ষ বিতরণ এবং একটি উত্তরোত্তর প্রাপ্ত করতে হবে ডিস্ট্রিবিউশন , তবে আমি প্যারামিটারগুলির জন্য উত্তর বিতরণ কীভাবে পেতে পারি তা নিশ্চিত নই। সম্ভবত আমি বিতরণটি করতে পারি যেমন ঠিক একই এবং তারপর কেবল প্রাপ্ত বায়েসের উপপাদ্য ব্যবহার ' $p(y(s_0)\mid x_0, {\bf{X}}, {\bf{Y}})$ $p(\mu, T, \phi\mid x(s_0), {\bf{Y}}, {\bf{X}})$ $\left(\begin{array}{ccc}{\bf{X}} \\ x(s_0)\\ {\bf{Y}}\end{array}\right)$ $p({\bf{X}}, x(s_0), {\bf{Y}}\mid\mu, T, \phi)$ $p(\mu, T, \phi\mid {\bf{X}}, x(s_0), {\bf{Y}}) \propto p({\bf{X}}, x(s_0), {\bf{Y}}\mid\mu, T, \phi)p(\mu, T, \phi)$

প্রশ্ন 3: সাব-চ্যাপ্টারের শেষে লেখক এটি বলেছেন:

পূর্বাভাসের জন্য, আমাদের কাছে । এটি কোনও নতুন সমস্যা তৈরি করে না কারণ এটি একটি সুপ্ত পরিবর্তনশীল হিসাবে বিবেচিত হতে পারে এবং এটি প্রতিটি গিবস পুনরাবৃত্তির মধ্যে কেবল একটি অতিরিক্ত অঙ্কনের ফলস্বরূপ এবং এটি গণনামূলক কার্যের জন্য একটি তুচ্ছ সংযোজন। ${\bf{X}}(s_0)$ $\bf{x}'$

সেই অনুচ্ছেদের অর্থ কী?

যাইহোক, এই পদ্ধতিটি এই কাগজে পাওয়া যাবে (পৃষ্ঠা 8), তবে আপনি দেখতে পাচ্ছেন, আমার আরও কিছুটা বিশদ প্রয়োজন।

ধন্যবাদ!

— রবার্ট স্মিথ
সূত্র

প্রতি ওপি অনুরোধে মাইগ্রেট করার পক্ষে ভোট দিয়েছেন ।

আমি বলতে হবে সঠিক প্রশ্ন 1 এবং 2. প্রশ্ন 3 উপায়ে যে অলক্ষিত আপনার উত্তরের উভয় একটি অতিরিক্ত প্যারামিটার হিসাবে গণ্য হবে উপরে, , পূর্ণ শর্তসাপেক্ষ ব্যবহার আগের হিসাবে ।

X (s_{0})

$X(s_0)$

μ, T, ϕ

$\mu,T,\phi$

পি (এক্স ({গুলি}_{0}) | এক্স,, ওয়াই, μ, টি, φ)

$p(x(s_0)\mid{\bf{X}}, , {\bf{Y}},\mu, T, \phi)$

X (s_{0})

$X(s_0)$

— শি'আন

প্রশ্ন 1: আপনার যৌথ সম্ভাব্যতা মডেলটি দেওয়া হয়েছে শর্তাধীন বিতরণ এর প্রদত্ত also এছাড়াও স্বাভাবিক, গড় এবং ভেরিয়েন্স-কোভারিয়েন্স ম্যাট্রিক্স

(\begin{array}{ccc} X \\ Y \end{array}) \sim N ((\begin{array}{ccc} μ_{1} 1 \\ μ_{2} 1 \end{array}), [\begin{matrix} Σ_{11} & Σ_{12} \\ Σ_{21} & Σ_{22} \end{matrix}]) = N ((\begin{array}{ccc} μ_{1} 1 \\ μ_{2} 1 \end{array}), T \otimes H (ϕ))

$\left( \begin{array}{ccc} {\bf{X}} \\ {\bf{Y}} \end{array}\right) \sim N\left(\left(\begin{array}{ccc}\mu_{1}\boldsymbol{1}\\ \mu_{2}\boldsymbol{1}\end{array}\right), \begin{bmatrix} \boldsymbol\Sigma_{11} & \boldsymbol\Sigma_{12} \\ \boldsymbol\Sigma_{21} & \boldsymbol\Sigma_{22} \end{bmatrix} \right)=N\left(\left(\begin{array}{ccc}\mu_{1}\boldsymbol{1}\\ \mu_{2}\boldsymbol{1}\end{array}\right), T\otimes H(\phi)\right)$

Y

$\bf{Y}$

X

$\bf{X}$

μ_{2} + + Σ_{21} Σ_{11}^{- 1} (এক্স - μ_{1})

$\boldsymbol\mu_2 + \boldsymbol\Sigma_{21} \boldsymbol\Sigma_{11}^{-1} \left( \mathbf{X} - \boldsymbol\mu_1\right)$

Σ_{22} - Σ_{21} Σ_{11}^{- 1} Σ_{21} ।

$\boldsymbol\Sigma_{22} - \boldsymbol\Sigma_{21} \boldsymbol\Sigma_{11}^{-1} \boldsymbol\Sigma_{21}.$ (যাদের সূত্র থেকে ধারণকৃত অনুলিপি করা বহুচলকীয় লম্ব উইকিপিডিয়ার পৃষ্ঠা ।) একই ক্ষেত্রে প্রযোজ্য যেহেতু অন্য একটি সাধারণ ভেক্টর।

p (y (s_{0}) ∣ x (s_{0}), X, Y)

$p(y(s_0)\mid x(s_0), {\bf{X}}, {\bf{Y}})$

(y (s_{0}), x (s_{0}), X, Y)

$(y(s_0), x(s_0), {\bf{X}}, {\bf{Y}})$

প্রশ্ন 2: ভবিষ্যদ্বাণীমূলক হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে অর্থাত্ বর্তমান ডেটা প্রদত্ত পোস্টারিয়রগুলির পূর্ববর্তী বিতরণ ব্যবহার করে প্যারামিটারগুলি সংহত করে । সুতরাং পুরো উত্তরটির জন্য আরও কিছুটা আছে। স্পষ্টতই, আপনি যদি কেবল ভবিষ্যদ্বাণীমূলক থেকে অনুকরণ করতে চান তবে থেকে যৌথভাবে অনুকরণের আপনার ধারণাটি এবং তারপরে বৈধ। $p(y(s_0)\mid x(s_0), {\bf{X}}, {\bf{Y}})$

পি (Y ({গুলি}_{0}) | এক্স ({গুলি}_{0}), এক্স, ওয়াই) = \int পি (Y ({গুলি}_{0}) | এক্স ({গুলি}_{0}), এক্স, ওয়াই, μ, টি, φ) পি (μ, টি, φ | এক্স ({গুলি}_{0}), এক্স, ওয়াই) ঘ μ ঘ টি ঘ φ,

$p(y(s_0) | x(s_0), {\bf{X}}, {\bf{Y}})=\int p(y(s_0)| x(s_0), {\bf{X}}, {\bf{Y}},\mu,T,\phi)\,p(\mu,T,\phi| x(s_0), {\bf{X}}, {\bf{Y}})\,\text{d}\mu\,\text{d} T\,\text{d}\phi\,,$

(X, Y, x (s_{0}))

$({\bf{X}}, {\bf{Y}},x(s_0))$

p (μ, T, ϕ ∣ X, x (s_{0}), Y)

$p(\mu, T, \phi\mid {\bf{X}}, x(s_0), {\bf{Y}})$

p (y (s_{0}) ∣ x (s_{0}), X, Y, μ, T, ϕ)

$p(y(s_0)\mid x(s_0), {\bf{X}}, {\bf{Y}},\mu,T,\phi)$

প্রশ্ন 3: যে ক্ষেত্রে পর্যবেক্ষণ করা হচ্ছে না, জোড় অন্য একটি ভবিষ্যদ্বাণীমূলক থেকে অনুমান করা যায় $x(s_0)$ $(x(s_0),y(s_0))$

পি (এক্স ({গুলি}_{0}), Y ({গুলি}_{0}) | এক্স, ওয়াই) = \int পি (এক্স ({গুলি}_{0}), Y ({গুলি}_{0}) | এক্স, ওয়াই, μ, টি, φ) পি (μ, টি, φ | এক্স, ওয়াই) ঘ μ ঘ টি ঘ φ ।

$p(x(s_0),y(s_0)\mid {\bf{X}}, {\bf{Y}})=\int p(x(s_0),y(s_0)\mid {\bf{X}}, {\bf{Y}},\mu,T,\phi)\,p(\mu,T,\phi\mid {\bf{X}}, {\bf{Y}})\,\text{d}\mu\,\text{d} T\,\text{d}\phi\,.$

যখন এই ভবিষ্যদ্বাণীমূলক থেকে অনুকরণ করা হয়, কারণ এটি কোনও পরিচালনাযোগ্য ফর্মের মধ্যে উপলভ্য নয়, একটি গীবস নমুনা চালানো যেতে পারে যা পুনরাবৃত্তভাবে সিমুলেট করে

$\mu\mid {\bf{X}}, {\bf{Y}},x(s_0),y(s_0),T,\phi$
$T\mid {\bf{X}}, {\bf{Y}},x(s_0),y(s_0),\mu,\phi$
$\phi\mid {\bf{X}}, {\bf{Y}},x(s_0),y(s_0),T,\mu$
$x(s_0)\mid {\bf{X}}, {\bf{Y}},y(s_0),\phi,T,\mu$
$y(s_0)\mid {\bf{X}}, {\bf{Y}},x(s_0),\phi,T,\mu$

অন্যথায় 4 এবং 5 পদক্ষেপগুলিকে একক পদক্ষেপে মার্জ করুন

$x(s_0),y(s_0)\mid {\bf{X}}, {\bf{Y}},\phi,T,\mu$

— সিয়ান
সূত্র